Prueba de la XIX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2023) Etapa Nacional - Nivel 2
22 de noviembre de 2023
1. Algunos profesores y 107 estudiantes fueron a una caminata. Por motivos de seguridad, todos los participantes se dividieron en grupos de exactamente 7 personas, de tal manera que en cada grupo haya por lo menos un profesor. Determine como mínimo cuántos profesores pudieron haber participado en la caminata.
2. a) Sean a y b números reales tales que a^2 + ab + b^2 = 3, determine el mayor valor posible de b.
b) Sean a, b y c números reales tales que a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc = 1, determine el mayor valor posible de b.
3. Sea ABC un triángulo tal que ∠BAC = 120° y AB > AC. Sea P un punto en el plano tal que AP = AB y AP es perpendicular a AC (suponga que el segmento PA interseca al segmento BC). Sea S el punto donde la recta perpendicular a CP que pasa por P, corta a la recta AC. Sea T un punto en el segmento AB tal que T B = CA y, finalmente, sea L el punto donde la recta CT corta al segmento BS. Demuestre que los puntos A, T, L y S pertenecen a una misma circunferencia.
4. Un profesor piensa en un n´umero entero N > 1 y le pide a Raúl que encuentre dicho n´umero. Para ayudar a Raúl, el profesor escribe algunas pistas en la pizarra. Las pistas pueden ser de dos tipos:
- El profesor elige un entero positivo a y escribe en la pizarra: “N es divisor de a”.
- El profesor elige un entero positivo b y escribe en la pizarra: “N no es divisor de b”.
Por ejemplo, si el profesor piensa en N = 2, entonces el profesor puede escribir en la pizarra las siguientes tres pistas: “N es divisor de 4”, “N es divisor de 6” y “N no es divisor de 5”. Con estas tres pistas Raúl puede decir con seguridad que el profesor pensó en el número N = 2.
Para cada N > 1, determine la menor cantidad de pistas que debe escribir el profesor para que Raúl consiga determinar con seguridad el valor de N.