Operaciones combinadas con números racionales | Sesión 1 Matemática 3.° Secundaria

Unidad 03 · Sesión 1 · Matemática

Resolvemos problemas combinando operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división con números racionales en situaciones cotidianas

Sesión de aprendizaje de 3.° de secundaria con jerarquía de operaciones, rúbrica de evaluación y ficha de 10 problemas resueltos paso a paso.

📘 Área: Matemática 🎓 3.° de Secundaria · Ciclo VI ⏱️ 90 minutos 📅 5 de agosto de 2026

Las operaciones combinadas con números racionales aparecen todos los días: al repartir un presupuesto familiar, al calcular la ganancia de una venta, al cortar un material o al preparar una mezcla. En esta sesión de aprendizaje de Matemática para 3.° de secundaria, los estudiantes aprenden a traducir esas situaciones a expresiones con fracciones y decimales, a respetar la jerarquía de las operaciones y a justificar sus procedimientos. La sesión fue adaptada por el prof. Carlos Guarniz para la I.E. «José Gálvez Egúsquiza» y se alinea con el Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB).

Aquí encontrarás la sesión completa (propósito, criterios, rúbrica, secuencia didáctica y atención a la diversidad) y, además, la ficha de aprendizaje resuelta: cada uno de los 10 problemas incluye su resolución desplegable para que puedas verificar los resultados o usarla como retroalimentación.

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En este artículo

1. Datos informativos
2. Propósito y competencia
3. Criterios y evidencia de aprendizaje
4. Rúbrica de evaluación
5. Secuencia didáctica
6. Jerarquía y operaciones en Q
7. Recursos, diversidad y retroalimentación
8. Ficha de aprendizaje resuelta
9. Preguntas frecuentes
10. Bibliografía

I. Datos informativos

Elemento	Detalle
Institución Educativa	«José Gálvez Egúsquiza»
Área curricular	Matemática
Nivel	Secundaria
Ciclo / Grado	Ciclo VI (3.° de secundaria)
Duración	90 minutos
Docente	Juan Carlos Guarniz Vargas
Fecha	5 de agosto de 2026

II. Propósito de la sesión

Intención pedagógica: promover que los estudiantes comprendan, modelen y ejecuten operaciones combinadas con números racionales (fracciones y decimales), respetando la jerarquía de las operaciones y las propiedades operatorias, para resolver situaciones problemáticas de su entorno social y económico.

Competencia: «Resuelve problemas de cantidad»

La sesión moviliza de manera articulada las cuatro capacidades de la competencia:

• Traduce cantidades a expresiones numéricas.
• Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones.
• Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo.
• Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones.

III. Criterios de evaluación y evidencia de aprendizaje

Los criterios derivan del estándar de aprendizaje del Ciclo VI y de los desempeños del grado:

1. Traducción: identifica los datos en situaciones cotidianas y los transforma en expresiones numéricas con operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división con números racionales.
2. Estrategias y cálculo: aplica la jerarquía de las operaciones y estrategias heurísticas o algoritmos adecuados para operar con fracciones y decimales.
3. Argumentación y justificación: explica los procedimientos seguidos, la jerarquía aplicada y razona sobre la validez de los resultados.

Evidencia de aprendizaje: resolución justificada de la Ficha de Aprendizaje de 10 problemas, donde el estudiante muestra el proceso de resolución y explica el procedimiento utilizado.

IV. Instrumento de evaluación: rúbrica analítica

La rúbrica registra el progreso formativo del estudiante en cuatro niveles: C (en inicio), B (en proceso), A (logrado) y AD (destacado).

Criterios	En inicio (C)	En proceso (B)	Logrado (A)	Destacado (AD)
Traduce cantidades a expresiones numéricas	Identifica datos pero le cuesta plantear la operación combinada con racionales.	Plantea la operación combinada de forma parcial o con omisión de paréntesis.	Traduce correctamente los datos del problema a una expresión de operaciones combinadas con racionales.	Traduce los datos y justifica la pertinencia del modelo racional elegido.
Usa estrategias y procedimientos de cálculo	Realiza operaciones básicas con errores y no respeta la jerarquía.	Aplica los algoritmos operatorios de racionales pero comete errores ocasionales en la jerarquía.	Aplica correctamente los algoritmos de suma, resta, multiplicación y división respetando la jerarquía operatoria.	Emplea estrategias eficientes (simplificación previa, conversión a equivalentes) optimizando el cálculo.
Argumenta afirmaciones sobre relaciones operatorias	No logra explicar cómo obtuvo el resultado.	Explica de forma superficial sin fundamentar la jerarquía utilizada.	Explica con claridad la jerarquía aplicada y la coherencia de la respuesta final.	Argumenta con lenguaje matemático riguroso las propiedades de las operaciones combinadas utilizadas.

V. Secuencia didáctica

15 minInicio

60 minDesarrollo

15 minCierre

1. Inicio (15 minutos)

Motivación y saberes previos

El docente saluda a los estudiantes y presenta una situación de la vida diaria:

«Un comerciante compra 1212 kg de azúcar a S/ 3,80 el kilo. Si vende la mitad en bolsitas de 14 kg a S/ 1,20 cada una, ¿cuánto dinero recauda por esa parte?»

Se recogen los saberes previos con preguntas como: ¿qué operaciones observan en la situación?, ¿en qué orden debemos resolver si hay multiplicaciones, divisiones y sumas juntas?, ¿cómo se multiplican o dividen fracciones y decimales?

Ver la resolución de la situación inicial

1. Mitad del azúcar: 1212 ÷ 2 = 252 ÷ 2 = 254 = 6,25 kg.
2. Número de bolsitas de 14 kg: 254 ÷ 14 = 254 × 4 = 25 bolsitas.
3. Recaudación: 25 × 1,20 = S/ 30.

El precio de compra (S/ 3,80) es un dato que no se usa para esta pregunta; identificarlo ayuda a distinguir datos necesarios de datos innecesarios.

Conflicto cognitivo

Se plantea: si en una expresión numérica no hay signos de agrupación, ¿por qué efectuar primero las sumas antes que las multiplicaciones altera completamente el resultado? Con un ejemplo sencillo, como 2 + 3 × 4, los estudiantes comprueban que obtienen 14 al respetar la jerarquía y 20 al sumar primero.

Comunicación del propósito y organización

Se comunica el propósito de la sesión y se consensúan los acuerdos de convivencia: escucha activa, respeto en el trabajo colaborativo y uso responsable del material.

2. Desarrollo (60 minutos): procesos didácticos de Matemática

A. Comprensión del problema

El docente presenta una situación significativa contextualizada:

«La familia Pérez destina 25 de su ingreso mensual al pago de alquiler y servicios. De lo que queda, gasta los 34 en alimentación y educación, y el resto lo divide en partes iguales entre 2 hijos para sus pasajes. Si el ingreso total es de S/ 2400, ¿cuánto le corresponde a cada hijo?»

Los estudiantes leen individualmente y dialogan en pares: ¿de qué trata el problema?, ¿cuáles son los datos?, ¿qué nos piden averiguar?

B. Búsqueda y ejecución de estrategias

En equipos heterogéneos, elaboran representaciones gráficas o numéricas. El planteamiento numérico identifica las operaciones requeridas:

• Resto inicial = 1 − 25 = 35
• Gasto en alimentos y educación = 34 × 35
• Monto restante por hijo = ( 35 − 920 ) ÷ 2

El docente monitorea el trabajo y orienta la aplicación de la jerarquía: primero los signos de agrupación, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y al final adiciones y sustracciones.

Ver la resolución de la situación de la familia Pérez

1. Resto inicial: 1 − 25 = 35 del ingreso.
2. Alimentación y educación: 34 × 35 = 920.
3. Lo que sobra: 35 − 920 = 1220 − 920 = 320 del ingreso.
4. Para cada hijo: 320 ÷ 2 = 340 del ingreso.
5. En soles: 340 × 2400 = S/ 180 para cada hijo.

C. Socialización de sus representaciones

Equipos seleccionados presentan sus estrategias en la pizarra o en papelógrafos. Explican cómo operaron con los racionales: conversión de fracciones a decimales o viceversa, simplificación antes de multiplicar y uso del inverso multiplicativo para dividir.

D. Formalización y reflexión

El docente formaliza la jerarquía y las operaciones básicas en Q (ver el apartado siguiente) y reflexiona con el grupo sobre los errores comunes, por ejemplo no simplificar antes de multiplicar o sumar primero sin respetar la jerarquía.

3. Cierre (15 minutos)

• Evaluación: los estudiantes inician la resolución individual de los primeros ejercicios de la ficha de aprendizaje.
• Metacognición: ¿qué pasos seguiste para resolver una expresión combinada con racionales?, ¿tuviste alguna dificultad al operar con fracciones y decimales al mismo tiempo?, ¿cómo la superaste?, ¿en qué situaciones cotidianas te resultará útil dominar las operaciones combinadas?

VI. Jerarquía y operaciones básicas con números racionales (Q)

Jerarquía de las operaciones

1. Efectuar los signos de agrupación: ( ), [ ], { }, de adentro hacia afuera.
2. Calcular multiplicaciones y divisiones en orden de aparición, de izquierda a derecha.
3. Calcular adiciones y sustracciones en orden de aparición, de izquierda a derecha.

Operaciones básicas en Q

Operación	Regla	Ejemplo
Suma y resta de fracciones	Se usa el MCM de los denominadores o fracciones equivalentes.	34 + 12 = 34 + 24 = 54
Multiplicación	(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d), con b y d ≠ 0 (conviene simplificar antes).	54 × 25 = 1020 = 12
División	(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c), con b, c y d ≠ 0 (inverso multiplicativo).	110 ÷ 12 = 110 × 21 = 15

Errores frecuentes

• Sumar antes de multiplicar cuando no hay paréntesis (es justo el error del problema 10).
• Sumar numeradores y denominadores por separado: 12 + 13 no es 25.
• Dividir sin invertir la segunda fracción.
• No simplificar el resultado final a su mínima expresión.

VII. Recursos, atención a la diversidad y retroalimentación

Recursos y materiales

• Materiales educativos: pizarra, plumones, papelógrafos, regla y calculadora (solo para la verificación final).
• Recursos impresos: ficha de aprendizaje «Operaciones combinadas con números racionales».

Atención a la diversidad

• Apoyo personalizado: para quienes tienen dificultades con el cálculo fraccionario, se facilitan esquemas gráficos (rectas numéricas o bloques de fracciones) que muestran la equivalencia.
• Altas capacidades: retos de mayor complejidad, como formular problemas propios o resolver expresiones con múltiples paréntesis anidados.
• Trabajo colaborativo: parejas de aprendizaje con tutoría entre pares.

Retroalimentación

Se aplica una retroalimentación por descubrimiento o reflexiva. En lugar de señalar el error numérico, el docente pregunta: «Observa el segundo paso de tu ejercicio: ¿qué operación realizaste primero entre la suma y la multiplicación? ¿Qué nos indica la norma de jerarquía operatoria?». También se promueve la coevaluación: los compañeros verifican si el resultado cumple la lógica del problema planteado.

VIII. Ficha de aprendizaje resuelta: operaciones combinadas con números racionales

Instrucciones: lee atentamente cada situación problemática, representa los datos mediante expresiones numéricas con racionales, aplica la jerarquía de las operaciones y justifica tu procedimiento. Intenta resolver cada problema antes de abrir la resolución.

Problema 1 · Operaciones básicas directas

Resuelve la siguiente expresión respetando la jerarquía de las operaciones:

( 34 + 12 ) × 25 − 110 ÷ 12

Ver resolución paso a paso

1. Signos de agrupación: 34 + 12 = 34 + 24 = 54.
2. Multiplicación: 54 × 25 = 1020 = 12.
3. División: 110 ÷ 12 = 110 × 21 = 210 = 15.
4. Sustracción: 12 − 15 = 510 − 210 = 310.

Respuesta: 310 = 0,3

Problema 2 · Combinación de fracciones y decimales

Calcula el valor exacto de la siguiente expresión combinada:

2,5 × ( 45 − 0,3 ) + 32 ÷ 1,5

Ver resolución paso a paso

1. Unificamos a decimales: 45 = 0,8 y 32 = 1,5.
2. Paréntesis: 0,8 − 0,3 = 0,5.
3. Multiplicación: 2,5 × 0,5 = 1,25.
4. División: 1,5 ÷ 1,5 = 1.
5. Adición: 1,25 + 1 = 2,25.

Como valor exacto en fracción: 2,25 = 94.

Respuesta: 94 = 2,25

Problema 3 · Reparto y fracciones de una cantidad

Un depósito contiene 12012 litros de agua. Se extraen primero 25 del total y luego se agregan 15,75 litros. ¿Cuántos litros de agua quedan finalmente en el depósito?

Ver resolución paso a paso

1. Volumen inicial: 12012 L = 120,5 L.
2. Se extrae: 25 × 120,5 = 48,2 L.
3. Queda: 120,5 − 48,2 = 72,3 L.
4. Se agrega: 72,3 + 15,75 = 88,05 L.

Expresión numérica: 120,5 − 25 × 120,5 + 15,75 = 88,05.

Respuesta: 88,05 litros

Problema 4 · Presupuesto familiar

Un padre de familia gana S/ 3200 al mes. Si gasta 38 en vivienda, 14 en alimentación y 0,15 del sueldo en servicios básicos, ¿cuánto dinero le queda para su fondo de ahorro mensual?

Ver resolución paso a paso

1. Vivienda: 38 × 3200 = S/ 1200.
2. Alimentación: 14 × 3200 = S/ 800.
3. Servicios básicos: 0,15 × 3200 = S/ 480.
4. Gasto total: 1200 + 800 + 480 = S/ 2480.
5. Ahorro: 3200 − 2480 = S/ 720.

Verificación por fracciones del sueldo: 38 + 14 + 0,15 = 0,375 + 0,25 + 0,15 = 0,775; queda 1 − 0,775 = 0,225 y 0,225 × 3200 = S/ 720.

Respuesta: S/ 720

Problema 5 · Signos de agrupación anidados

Efectúa la siguiente expresión simplificando los resultados a su mínima expresión:

56 − [ 13 + ( 34 × 23 ) ÷ 52 ]

Ver resolución paso a paso

1. Paréntesis interno: 34 × 23 = 612 = 12.
2. División dentro del corchete: 12 ÷ 52 = 12 × 25 = 210 = 15.
3. Suma dentro del corchete: 13 + 15 = 515 + 315 = 815.
4. Sustracción final: 56 − 815 = 2530 − 1630 = 930 = 310.

Respuesta: 310

Problema 6 · Comercio de productos

Un comerciante compra 48,5 kg de café a S/ 12,40 el kilo. Vende la tercera parte a S/ 15,50 el kilo y el resto a S/ 14,00 el kilo. ¿Cuál fue su ganancia total?

Ver resolución paso a paso

1. Costo de compra: 48,5 × 12,40 = S/ 601,40.
2. Primera venta (13 del café): 48,5 ÷ 3 = 976 kg, que a S/ 15,50 el kilo dan S/ 250,58 (aprox.).
3. Segunda venta (resto, 23): 973 kg a S/ 14,00 el kilo dan S/ 452,67 (aprox.).
4. Ingreso total: S/ 703,25.
5. Ganancia: 703,25 − 601,40 = S/ 101,85.

Estrategia eficiente (nivel AD): el precio medio de venta es 13 × 15,5 + 23 × 14 = 14,5 soles por kilo. Entonces la ganancia es 48,5 × (14,5 − 12,4) = 48,5 × 2,1 = S/ 101,85, sin trabajar con decimales periódicos.

Respuesta: S/ 101,85

Problema 7 · Corte de materiales

Un carpintero tiene un listón de madera de 3,6 metros de largo. Corta primero un pedazo de 114 metros y el resto lo divide en 4 partes exactamente iguales. ¿Cuál es la longitud, en metros, de cada una de las 4 partes?

Ver resolución paso a paso

1. Pedazo cortado: 114 m = 1,25 m.
2. Resto del listón: 3,6 − 1,25 = 2,35 m.
3. Cada parte: 2,35 ÷ 4 = 0,5875 m.

Expresión numérica: (3,6 − 114) ÷ 4. En fracción, 0,5875 m = 4780 m, es decir, 58,75 cm.

Respuesta: 0,5875 m (4780 m)

Problema 8 · Mezclas y proporciones

Se mezclan 212 litros de jugo de naranja con 1,75 litros de jugo de piña y 34 de litro de agua. Si toda la mezcla se distribuye en vasos de 0,25 litros de capacidad, ¿cuántos vasos completos se pueden llenar?

Ver resolución paso a paso

1. Convertimos a decimales: 212 = 2,5 y 34 = 0,75.
2. Volumen total: 2,5 + 1,75 + 0,75 = 5 L.
3. Número de vasos: 5 ÷ 0,25 = 20.

Como 20 es exacto, no sobra mezcla: se llenan 20 vasos completos.

Respuesta: 20 vasos

Problema 9 · Fracción de fracción restante

María tenía cierta suma de dinero. Gastó 13 en un libro y luego 25 de lo que le quedaba en un cuaderno. Si aún le quedan S/ 36, ¿cuánto dinero tenía María al inicio?

Ver resolución paso a paso

1. Sea x el dinero inicial.
2. Después del libro queda: x − 13x = 23x.
3. Gasto en el cuaderno: 25 × 23x = 415x.
4. Queda al final: 23x − 415x = 1015x − 415x = 615x = 25x.
5. Ecuación: 25x = 36, entonces x = 36 × 52 = 90.

Comprobación: libro S/ 30, quedan S/ 60; cuaderno 25 × 60 = S/ 24; quedan 60 − 24 = S/ 36 ✔.

Respuesta: S/ 90

Problema 10 · Evaluación crítica de un error

Un estudiante resolvió de esta manera el ejercicio 12 + 32 × 45:

Paso del estudiante: ( 12 + 32 ) × 45 = 42 × 45 = 2 × 45 = 85

a) Identifica y explica detalladamente el error cometido, según las reglas de jerarquía de operaciones. b) Resuelve la expresión de manera correcta argumentando tus pasos.

Ver resolución paso a paso

a) Error del estudiante. Agregó un paréntesis que el ejercicio no tiene y sumó antes de multiplicar. Como no hay signos de agrupación, la jerarquía indica que la multiplicación 32 × 45 debe resolverse antes que la adición. Al sumar primero, se alteró el orden de las operaciones y el resultado cambió de 1710 a 85.

b) Resolución correcta.

1. Multiplicación primero: 32 × 45 = 1210 = 65.
2. Adición: 12 + 65 = 510 + 1210 = 1710.

El resultado correcto es 1710 = 1,7, y no 85 = 1,6.

Respuesta: a) Sumó antes de multiplicar · b) 1710 = 1,7

Resumen de respuestas

N.°	Tema	Respuesta
1	Operaciones básicas directas	310 = 0,3
2	Combinación de fracciones y decimales	94 = 2,25
3	Reparto y fracciones de una cantidad	88,05 litros
4	Presupuesto familiar	S/ 720
5	Signos de agrupación anidados	310
6	Comercio de productos	S/ 101,85
7	Corte de materiales	0,5875 m (4780 m)
8	Mezclas y proporciones	20 vasos
9	Fracción de fracción restante	S/ 90
10	Evaluación crítica de un error	a) Sumó antes de multiplicar · b) 1710 = 1,7

Preguntas frecuentes sobre operaciones combinadas con racionales

¿Cuál es la jerarquía de las operaciones con números racionales?

Primero se resuelven los signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves, de adentro hacia afuera); luego las multiplicaciones y divisiones en orden de aparición, de izquierda a derecha; y al final las adiciones y sustracciones, también de izquierda a derecha.

¿Cómo se suman y restan fracciones con denominadores distintos?

Se halla el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores, se convierte cada fracción en una equivalente con ese denominador común y se suman o restan los numeradores. Por ejemplo, 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4.

¿Cómo se dividen dos fracciones?

Se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda: a/b ÷ c/d = a/b × d/c, con b, c y d distintos de cero. Antes de multiplicar conviene simplificar.

¿Es mejor trabajar con fracciones o con decimales en una expresión combinada?

Depende de los datos. Si los decimales son exactos (0,3; 2,5; 0,25), convertirlos a fracción o convertir las fracciones a decimales da el mismo resultado. Lo importante es no mezclar formas a mitad del cálculo sin convertir y mantener la jerarquía de operaciones.

¿Cómo se evalúa esta sesión en 3.° de secundaria?

Mediante una rúbrica analítica con tres criterios (traducción a expresiones numéricas, estrategias y cálculo, y argumentación) y cuatro niveles de logro: C (en inicio), B (en proceso), A (logrado) y AD (destacado). La evidencia es la resolución justificada de la ficha de 10 problemas.

IX. Bibliografía

• Ministerio de Educación del Perú. (2016). Programa Curricular de Educación Secundaria. Lima: MINEDU.
• Ministerio de Educación del Perú. (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica. Lima: MINEDU.

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