Matemática
3.° de secundaria · Ciclo VII
Unidad 4 · Sesión 03
3 horas pedagógicas
Competencia CNEB

Descubrimos la función cuadrática en la arquitectura y proyectos de nuestra comunidad

Q: ¿Cómo se calcula el vértice de una parábola?

La abscisa es h = −b ÷ 2a y la ordenada se obtiene evaluando la función: k = f(h). El vértice es V(h, k) y la recta x = h es el eje de simetría.

Q: ¿Para qué grado y competencia sirve esta sesión?

Está diseñada para 3.° de secundaria (Ciclo VII) y desarrolla la competencia Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio del CNEB.

Q: ¿Cuánto dura la sesión y qué metodología usa?

Dura 3 horas pedagógicas (135 minutos) y sigue los cuatro pasos de Pólya: comprender el problema, diseñar una estrategia, ejecutarla y reflexionar.

Q: ¿Puedo adaptar el documento para mi institución?

Sí. El documento se descarga en formato editable para que cambies el contexto, los datos de la I.E. y los problemas según tu realidad local.

¿Qué forma describe el chorro de una manguera de riego, el lanzamiento de una pelota en la losa deportiva o el arco de un portal rústico? Una parábola. Esta sesión de aprendizaje de Matemática para 3.° de secundaria convierte esa curva cotidiana en una función cuadrática: los estudiantes la tabulan, la grafican y descubren el vértice y el eje de simetría resolviendo un problema real de Pichugán, el de la parcela de área máxima.

Descarga la sesión completa y la Ficha de Aprendizaje N.° 03
Documento editable, listo para adaptar a tu aula.

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1. Datos informativos de la sesión

Institución educativa“José Gálvez Egúsquiza” – Pichugán

Área curricularMatemática

Grado y sección3.er grado de secundaria (Ciclo VII)

Unidad didácticaUnidad N.° 04

Duración3 horas pedagógicas (135 minutos)

DocenteLic. Carlos Guarniz

Fecha16 de septiembre de 2026

Título de la sesión“Descubrimos la función cuadrática en la arquitectura y proyectos de nuestra comunidad”

2. Propósito de la sesión

Que los estudiantes identifiquen y comprendan la estructura algebraica, tabular y gráfica de la función cuadrática f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0, reconociendo sus elementos fundamentales —vértice, eje de simetría, orientación y concavidad— a partir de situaciones reales: arcos rústicos, proyectiles agrícolas y delimitación de parcelas de área máxima.

Competencia del CNEB: “Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio”. La sesión fortalece la capacidad de traducir relaciones de variación no lineal a expresiones cuadráticas, elaborar representaciones gráficas en el plano cartesiano e interpretar el vértice para tomar decisiones en la comunidad.

3. Criterios de evaluación y evidencia de aprendizaje

Criterios de evaluación

Criterio 1: identifica expresiones y patrones de variación cuadrática a partir de tablas, gráficos e imágenes de estructuras o trayectorias parabólicas en Pichugán.
Criterio 2: modela situaciones del entorno tabulando valores numéricos y construyendo la gráfica de la parábola en el plano cartesiano.
Criterio 3: comunica la comprensión de los elementos clave de la función cuadrática (orientación, vértice V(h, k) y eje de simetría) al resolver problemas básicos de optimización.

Evidencias de aprendizaje

Registro y gráfica del arco parabólico comunal: tabulación de datos y trazado en papel milimetrado de la parábola de un portal de entrada o reservorio agrícola.
Ficha de Aprendizaje N.° 03: resolución individual y colaborativa de 10 problemas contextualizados de identificación, tabulación y graficación de funciones cuadráticas.

4. Secuencia didáctica (135 minutos)

Inicio 25 min

Motivación y saberes previos (10 min)

El docente saluda y muestra en la pizarra la imagen de un puente rústico o reservorio con arco parabólico de Chiguirip, junto al lanzamiento en arco de una pelota de fútbol en la losa deportiva de Pichugán. Se activan los saberes previos con tres preguntas:

¿Qué forma geométrica describe el chorro de agua de una manguera de riego o el lanzamiento de una pelota?
¿Esa curva es una línea recta o tiene un punto de inflexión o curva máxima?
Si en una función lineal el mayor exponente de x es 1, ¿cuál será el exponente en una función que genera una curva con simetría?

Conflicto cognitivo (5 min)

“Un agricultor de Pichugán quiere cercar una parcela rectangular para hortalizas bordeando una pared de piedra. Si dispone de 20 metros de malla para los otros tres lados, ¿cuál será la expresión algebraica que represente el área del terreno? ¿Es una función lineal o de qué tipo? ¿Cómo sabremos las dimensiones exactas para obtener la mayor área posible?”

Propósito y organización (10 min)

Se comunican el propósito y los criterios de evaluación, y se forman equipos heterogéneos para la indagación matemática colaborativa.

Desarrollo 90 min

El desarrollo sigue los cuatro pasos del método de George Pólya para resolver problemas.

Comprensión del problema 20 min

Los estudiantes leen el problema de la parcela y establecen las variables:
- Ancho = x
- Largo = 20 − 2x (la malla cubre 2 anchos y 1 largo)
- Área = A(x) = x(20 − 2x) = 20x − 2x² = −2x² + 20x
El docente guía la identificación de la variable independiente (x) y la dependiente (A), y formaliza el concepto:

f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)Si a > 0 la parábola abre hacia arriba (∪) y tiene un mínimo · Si a < 0 abre hacia abajo (∩) y tiene un máximo
Búsqueda y diseño de una estrategia 15 min

Los equipos eligen la estrategia de tabulación y representación gráfica: asignan valores enteros al ancho x para calcular el área A(x), ubican los pares ordenados (x, A(x)) en el plano cartesiano y los unen con una curva suave.

Ejecución de la estrategia 40 min

Cada estudiante completa la tabla en su cuaderno:

Ancho x (m)	Expresión A(x) = −2x² + 20x	Área (m²)	Par ordenado
1	−2(1)² + 20(1) = −2 + 20	18	(1, 18)
2	−2(2)² + 20(2) = −8 + 40	32	(2, 32)
3	−2(3)² + 20(3) = −18 + 60	42	(3, 42)
5	−2(5)² + 20(5) = −50 + 100	50	(5, 50)
7	−2(7)² + 20(7) = −98 + 140	42	(7, 42)
9	−2(9)² + 20(9) = −162 + 180	18	(9, 18)

En papel milimetrado ubican los puntos y trazan la curva. Observan que el punto más alto es V(5, 50), el vértice, y deducen su abscisa con la fórmula h = −b ÷ 2a:

h = −20 ÷ 2(−2) = −20 ÷ (−4) = 5

Gráfica de A(x) = −2x² + 20x: el área máxima (50 m²) se alcanza en el vértice, con ancho de 5 m.

Conclusión del problema: el área máxima es 50 m² y se logra con un ancho de 5 m y un largo de 10 m.

Reflexión y visión retrospectiva 15 min

Se dialoga sobre la simetría: la parábola es idéntica a ambos lados de la recta vertical x = 5, el eje de simetría. Luego se contrasta la curva con las rectas de las funciones lineales trabajadas antes.

Cierre 20 min

Síntesis y metacognición (10 min)

Se sistematizan en la pizarra las características de f(x) = ax² + bx + c y se plantean preguntas metacognitivas:

¿Cómo identificamos rápidamente si una función es cuadrática?
¿Qué representa el vértice en la vida real (área máxima, altura máxima, costo mínimo)?
¿En qué otros proyectos de Pichugán vemos parábolas?

Evaluación y cierre (10 min)

Se aplica la lista de cotejo sobre la gráfica elaborada y se entregan las orientaciones para resolver la Ficha de Aprendizaje N.° 03.

5. Instrumento de evaluación: lista de cotejo

Instrumento para la evaluación formativa de la competencia “Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio”.

N.°	Criterio de evaluación	Logrado	En proceso	Inicio	Observaciones
01	Distingue una función cuadrática de una lineal reconociendo el exponente de grado 2.
02	Tabula correctamente puntos (x, f(x)) y traza curvas parabólicas en el plano cartesiano.
03	Identifica el vértice V(h, k) e interpreta si representa un punto máximo o mínimo.

6. Recursos, atención a la diversidad y retroalimentación

Recursos y materiales

Materiales educativos: Cuaderno de trabajo de Matemática 3.° de secundaria (Minedu, pp. 132-137), papel milimetrado, reglas, colores y plumones.
Recursos impresos: ficha de aprendizaje con problemas aplicados al entorno rural.

Atención a la diversidad

Soporte guiado: fichas con tablas parcialmente completas para quienes necesiten afianzar el cuadrado de números y la ley de signos.
Reto de ampliación: determinar algebraicamente el dominio y el rango de funciones cuadráticas con restricciones contextuales.

Retroalimentación

Tipo: reflexiva, por descubrimiento. Si un estudiante une los puntos con segmentos rectos en lugar de una curva suave, se le pregunta: “¿El cambio de área ocurre a saltos o de manera continua? ¿Cómo debe ser el trazo para reflejar un crecimiento y decrecimiento continuo?”

7. Ficha de Aprendizaje N.° 03: la función cuadrática en nuestro entorno

Resumen teórico. Estructura: f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0. Orientación: si a > 0 abre hacia arriba (∪); si a < 0, hacia abajo (∩). Vértice V(h, k): h = −b ÷ 2a y k = f(h).

Problema 1

Identifica cuáles de estas expresiones son funciones cuadráticas e indica los coeficientes a, b y c:

a) f(x) = 3x − 5
b) g(x) = −2x² + 8x − 3
c) h(x) = x² − 16
d) p(x) = 4 ÷ x + 2

Problema 2

Tabula y grafica en papel milimetrado f(x) = x² para x en el intervalo [−3, 3]. Indica las coordenadas de su vértice y su eje de simetría.

Problema 3

Un grupo de estudiantes de la I.E. “José Gálvez Egúsquiza” analiza la trayectoria del chorro de agua de un canal rústico, h(x) = −x² + 4x, donde x es la distancia horizontal (m) y h(x) la altura (m). Calcula la altura máxima y la distancia horizontal total recorrida.

Problema 4

Se lanza verticalmente una piedra desde el suelo en las colinas de Pichugán. Su altura (m) en función del tiempo t (s) es h(t) = −5t² + 20t.

a) ¿En qué segundo alcanza su altura máxima?
b) ¿Cuál es esa altura máxima?

Problema 5

Grafica f(x) = −x² + 6x − 5. Determina el vértice V(h, k) y los puntos donde la curva corta al eje X (interceptos).

Problema 6

Un comunero quiere construir un corral rectangular para sus ovinos aprovechando un cerco de piedra existente. Tiene 24 m de malla metálica para los otros tres lados. Expresa el área A(x) en función del ancho x y determina el área máxima que se puede encerrar.

Problema 7

Dada f(x) = 2x² − 8x + 6:

a) Indica hacia dónde se abre la parábola.
b) Calcula el vértice V(h, k).
c) ¿El vértice es un punto máximo o mínimo? Justifica.

Problema 8

El ingreso semanal (en soles) de un taller artesanal de Chiguirip por la venta de x mantas tejidas es I(x) = −10x² + 300x. ¿Cuántas mantas se deben fabricar y vender a la semana para obtener el ingreso máximo? ¿A cuánto asciende?

Problema 9

Completa la tabla de valores de g(x) = x² − 4x + 3 y responde.

x	−1	0	1	2	3	4	5
g(x)

¿Para qué valores de x la función se hace cero (g(x) = 0)?

Problema 10

El portal de bienvenida de la comunidad tiene forma de arco parabólico, y = −(1/2)x² + 2x, con x e y en metros desde el origen en el suelo. Dibuja el esquema del portal, calcula su altura máxima y su ancho a nivel del suelo.

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8. Solucionario para el docente

Respuestas de verificación para la Ficha N.° 03. Despliega cada una después de que los estudiantes lo intenten.

Problema 1: reconocer funciones cuadráticas

a) No: es lineal (grado 1). b) Sí: a = −2, b = 8, c = −3. c) Sí: a = 1, b = 0, c = −16. d) No: la variable está en el denominador (función racional).

Problema 2: f(x) = x²

Tabla: x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 → f(x) = 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Vértice V(0, 0); eje de simetría x = 0; abre hacia arriba.

Problema 3: chorro del canal

h = −4 ÷ 2(−1) = 2 → h(2) = −4 + 8 = 4. Altura máxima: 4 m. Al resolver −x² + 4x = 0 se obtiene x = 0 y x = 4, así que recorre 4 m horizontalmente.

Problema 4: lanzamiento de la piedra

t = −20 ÷ 2(−5) = 2. a) A los 2 segundos. b) h(2) = −20 + 40 = 20 m.

Problema 5: f(x) = −x² + 6x − 5

h = 3, k = −9 + 18 − 5 = 4 → V(3, 4). Interceptos con el eje X: x² − 6x + 5 = 0 → (1, 0) y (5, 0). Corte con el eje Y: (0, −5).

Problema 6: corral de ovinos

Largo = 24 − 2x → A(x) = −2x² + 24x. h = 6 → A(6) = −72 + 144 = 72 m² (ancho 6 m, largo 12 m).

Problema 7: f(x) = 2x² − 8x + 6

a) Hacia arriba, porque a = 2 > 0. b) h = 8 ÷ 4 = 2; k = 8 − 16 + 6 = −2 → V(2, −2). c) Es un mínimo, pues la parábola abre hacia arriba.

Problema 8: taller de mantas

x = −300 ÷ 2(−10) = 15 → I(15) = −2250 + 4500 = 2250. Se deben vender 15 mantas, con un ingreso máximo de S/ 2 250.

Problema 9: tabla de g(x) = x² − 4x + 3

g(−1) = 8; g(0) = 3; g(1) = 0; g(2) = −1; g(3) = 0; g(4) = 3; g(5) = 8. La función se anula en x = 1 y x = 3.

Problema 10: portal parabólico

h = −2 ÷ 2(−1/2) = 2 → y(2) = −2 + 4 = 2. Altura máxima: 2 m. Con y = 0: x = 0 y x = 4, así que el ancho al nivel del suelo es 4 m. Esquema: arco con vértice V(2, 2) y base entre (0, 0) y (4, 0).

9. Preguntas frecuentes sobre esta sesión

¿Qué es una función cuadrática?

Es una función de la forma f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0. Su gráfica es una parábola: abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.

¿Cómo se calcula el vértice de una parábola?