Elipse: definición, elementos, ecuaciones y ejercicios resueltos

La elipse es una de las cónicas fundamentales de la geometría analítica: aparece en las órbitas de los planetas, en la arquitectura y en la óptica. En esta guía encontrarás su definición, sus elementos, las ecuaciones canónica y general, las demostraciones del lado recto y de la directriz, gráficos y 10 ejercicios resueltos paso a paso.

Contenido

1. Definición de la elipse
2. Elementos de la elipse
3. Propiedades básicas
4. Lado recto y directriz (demostraciones)
5. Ecuación cartesiana
6. Ecuación general y ejemplo resuelto
7. Área, perímetro y otras fórmulas
8. 10 ejercicios resueltos
9. Preguntas frecuentes

1. Definición de la elipse

Dados dos puntos fijos distintos F₁ y F₂, llamados focos, la elipse es el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x; y) tales que la suma de sus distancias a los focos es igual a una constante 2a, con 2a mayor que la distancia entre los focos (2c).

d(P, F₁) + d(P, F₂) = 2a

Figura 1. Para todo punto P de la elipse, d₁ + d₂ = 2a (constante).

Definición por excentricidad. Por definición de cónica, la elipse es el conjunto de puntos P tales que la razón entre su distancia a un foco y su distancia a la recta directriz correspondiente es una constante e:

d(P, F)d(P, L) = e  ,   e = ca < 1

La excentricidad de la elipse siempre es menor que uno (0 < e < 1). Cuando e = 0 los focos coinciden y la cónica es una circunferencia.

2. Elementos asociados a la elipse

Figura 2. Elementos de la elipse (a = 5, b = 3, c = 4).

Elemento	Notación	Descripción
Centro	C(h; k)	Punto medio entre los focos y entre los vértices.
Focos	F₁, F₂	Puntos fijos de la definición. F₁F₂ = 2c (distancia focal).
Eje mayor	V₁V₂ = 2a	Segmento que une los vértices y contiene a los focos.
Eje menor	B₁B₂ = 2b	Segmento perpendicular al eje mayor por el centro.
Vértices	V₁, V₂	Extremos del eje mayor.
Lado recto	MM′ = 2b²/a	Cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje focal.
Cuerda focal	—	Cuerda que pasa por uno de los focos.
Directrices	L₁, L₂	Rectas perpendiculares al eje focal a una distancia a²/c del centro.
Eje focal	—	Recta que contiene a los focos y a los vértices.
Eje normal	—	Recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro.

Los ejes focal y normal son los ejes de simetría de la elipse.

3. Propiedades básicas de la elipse

1. Por definición, el extremo B₁ del eje menor cumple B₁F₁ + B₁F₂ = 2a. Como B₁ está a igual distancia de ambos focos (B₁F₁ = B₁F₂), se obtiene B₁F₁ = a.
2. En el triángulo rectángulo B₁CF₁, por el teorema de Pitágoras:
   a² = b² + c²  ,   a > b  y  a > c
3. Excentricidad. Se observa que d(V₁, F₁) = a − c y que la distancia de V₁ a su directriz es a²/c − a. Aplicando la definición de cónica:
   e = a − ca²c − a = ca

4. Demostraciones: lado recto y directriz

Longitud del lado recto

Demostrar: el lado recto MM′ mide 2b²/a, donde F₁ y F₂ son los focos.

Figura 3. Triángulo rectángulo F₁F₂M: F₂M = m, F₁M = 2a − m, F₁F₂ = 2c.

1. Sea m = F₂M = F₂M′. En el triángulo rectángulo F₁F₂M, por Pitágoras: F₁M² = m² + (2c)².  …(1)
2. Por definición de elipse: F₁M + F₂M = 2a ⇒ F₁M = 2a − m.  …(2)
3. Reemplazando (2) en (1): (2a − m)² = m² + 4c² ⇒ 4a² − 4am = 4c².
4. Despejando: m = (a² − c²)/a = b²/a.

Lado recto = MM′ = 2m = 2b²a

Distancia del foco a la directriz

Demostrar: en la elipse x²a² + y²b² = 1, la distancia del foco F(c; 0) a la directriz unilateral es b²/c.

1. De e = c/a, la directriz del lado derecho es x = a/e = a²/c.
2. Distancia del foco (c; 0) a la recta x = a²/c:
   a²c − c = a² − c²c = b²c

5. Ecuación cartesiana de la elipse

La ecuación depende de la ubicación del eje focal respecto a los ejes coordenados. Deducción: con F₁(−c; 0), F₂(c; 0) y P(x; y), la condición d(P,F₁) + d(P,F₂) = 2a se escribe √[(x+c)² + y²] + √[(x−c)² + y²] = 2a. Aislando una raíz y elevando al cuadrado dos veces se llega a (a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²); como a² − c² = b², al dividir por a²b² resulta la forma canónica.

	Eje focal horizontal (∥ eje X)	Eje focal vertical (∥ eje Y)
Centro (h; k)	(x − h)²a² + (y − k)²b² = 1	(x − h)²b² + (y − k)²a² = 1
Centro (0; 0)	x²a² + y²b² = 1	x²b² + y²a² = 1
Focos	(h ± c; k)	(h; k ± c)
Vértices	(h ± a; k)	(h; k ± a)
Extremos del eje menor	(h; k ± b)	(h ± b; k)
Directrices	x = h ± a²/c	y = k ± a²/c

Regla práctica: en la forma canónica, a² es siempre el denominador mayor. Si está debajo de (x − h)² el eje focal es horizontal; si está debajo de (y − k)², es vertical. Además, a² = b² + c².

Con eje focal en el eje X

Con centro en el origen C(0; 0) y eje focal en el eje X: x²a² + y²b² = 1.

Figura 4a. Eje focal horizontal: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b).

Con eje focal en el eje Y

Con centro en el origen C(0; 0) y eje focal en el eje Y: x²b² + y²a² = 1.

Figura 4b. Eje focal vertical: x²/b² + y²/a² = 1 (a > b).

6. Ecuación general de la elipse y ejemplo resuelto

Al desarrollar la ecuación canónica se obtiene la forma general:

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0  ,   A · C > 0  y  A ≠ C

(A y C deben tener el mismo signo y ser distintos; si A = C la curva es una circunferencia). Para pasar a la forma canónica se completan cuadrados.

Ejemplo. Hallar centro, vértices y focos de 9x² + 4y² − 36x + 8y + 4 = 0.

1. Agrupar: 9(x² − 4x) + 4(y² + 2y) = −4.
2. Completar cuadrados: 9(x − 2)² + 4(y + 1)² = −4 + 36 + 4 = 36.
3. Dividir entre 36: (x − 2)²4 + (y + 1)²9 = 1.
4. a² = 9 (debajo de y) ⇒ eje focal vertical; a = 3, b = 2, c = √(9 − 4) = √5 ≈ 2,24, e = √5/3 ≈ 0,75.

Centro (2; −1) · Vértices (2; 2) y (2; −4) · Focos (2; −1 ± √5) · Lado recto 2·4/3 = 8/3.

Figura 5. (x − 2)²/4 + (y + 1)²/9 = 1: centro (2; −1), eje focal vertical.

7. Área, perímetro y otras fórmulas

Concepto	Fórmula
Área	A = π · a · b
Perímetro (aprox. de Ramanujan)	P ≈ π [3(a + b) − √((3a + b)(a + 3b))]
Ecuaciones paramétricas	x = h + a cos t  ,  y = k + b sen t   (eje focal horizontal)
Excentricidad	e = c/a = √(1 − b²/a²)
Lado recto	2b²/a

Con a = 5 y b = 3: área = 15π ≈ 47,12 u² y perímetro ≈ 25,53 u.

Propiedad reflectora: un rayo que sale de un foco se refleja en la elipse y pasa por el otro foco. Por eso se usa en galerías de susurros, en reflectores y en la litotricia médica; además, según la primera ley de Kepler, los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.

8. Ejercicios resueltos de la elipse

Intenta resolver cada ejercicio por tu cuenta y luego despliega la resolución para comparar tu procedimiento.

Ejercicio 1

Los focos de una elipse son F₁(3; 1) y F₂(−1; 1). Hallar la ecuación de la elipse si uno de los extremos del eje menor está en la recta x − 2y − 3 = 0.

Ejercicio 1: la recta x − 2y − 3 = 0 corta al eje menor en B(1; −1).

Ver resolución paso a paso

1. Centro = punto medio de los focos: C(1; 1). Como ambos focos tienen y = 1, el eje focal es horizontal y c = 2.
2. Los extremos del eje menor son (1; 1 ± b). Con x = 1 en la recta: 1 − 2y − 3 = 0 → y = −1.
3. Entonces 1 − b = −1 → b = 2.
4. a² = b² + c² = 4 + 4 = 8.

Comprobación: (1 − 1)²/8 + (−1 − 1)²/4 = 1 ✓.

Rpta.: (x − 1)²8 + (y − 1)²4 = 1

Ejercicio 2

Los focos de una elipse están en las rectas 3x − 5y − 25 = 0 y 2x + 3y + 1 = 0. El eje focal es la recta x = 10. Hallar la ecuación de la elipse si su eje menor mide 8.

Ejercicio 2: eje focal x = 10, centro (10; −3), b = 4.

Ver resolución paso a paso

1. Los focos están sobre x = 10. En la primera recta: 30 − 5y − 25 = 0 → y = 1. En la segunda: 20 + 3y + 1 = 0 → y = −7.
2. F₁(10; 1) y F₂(10; −7). Centro C(10; −3), eje focal vertical y 2c = 8 → c = 4.
3. Eje menor = 8 → b = 4. Luego a² = b² + c² = 16 + 16 = 32.

Rpta.: (x − 10)²16 + (y + 3)²32 = 1

Ejercicio 3

Hallar la ecuación de la elipse cuyos ejes son las rectas x + y − 2 = 0 y x − y + 2 = 0, siendo los semiejes 1 y 4.

Ejercicio 3 (caso A): eje mayor sobre x − y + 2 = 0, semiejes 4 y 1.

Ver resolución paso a paso

1. El centro es la intersección de los ejes: x + y = 2 y x − y = −2 → C(0; 2).
2. Los ejes son perpendiculares (pendientes −1 y 1), así que la elipse está inclinada 45°. La distancia de P(x; y) a cada eje es d₁ = |x + y − 2|/√2 y d₂ = |x − y + 2|/√2.
3. La coordenada de P medida sobre un eje es su distancia al otro eje. Si el eje mayor (semieje 4) es x − y + 2 = 0: d₁²/16 + d₂²/1 = 1.
4. Reemplazando y multiplicando por 32 se obtiene la ecuación del caso A. Si el eje mayor es x + y − 2 = 0, se intercambian los papeles (caso B).

El enunciado no indica cuál eje es el mayor, por eso hay dos elipses posibles.

Rpta.: Caso A: (x + y − 2)² + 16(x − y + 2)² = 32  |  Caso B: 16(x + y − 2)² + (x − y + 2)² = 32

Ejercicio 4

Una elipse con centro en el primer cuadrante y sobre la recta y = 2x es tangente a los ejes coordenados y pasa por el punto (2; 2). Hallar la suma de los semiejes de la elipse que cumple tales condiciones.

Ejercicio 4: h = 1 (azul) y h = 5 (verde); ambas pasan por (2; 2).

Ver resolución paso a paso

1. Centro C(h; 2h) con h > 0. Se asume que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados.
2. Tangente al eje Y: semieje horizontal = h. Tangente al eje X: semieje vertical = 2h.
3. Ecuación: (x − h)²h² + (y − 2h)²4h² = 1.
4. Pasa por (2; 2): (2 − h)² + (1 − h)² = h² → h² − 6h + 5 = 0 → h = 1 ó h = 5.
5. Semiejes: para h = 1 son 1 y 2 (suma 3); para h = 5 son 5 y 10 (suma 15).

Ambas elipses cumplen las condiciones: (x − 1)² + (y − 2)²/4 = 1 y (x − 5)²/25 + (y − 10)²/100 = 1.

Rpta.: la suma de los semiejes es 3 (h = 1) o 15 (h = 5)

Ejercicio 5

Hallar la ecuación de la elipse con extremos del eje menor en (−9; 0) y (15; 0) y cuya excentricidad es e.

Ver resolución paso a paso

Nota del autor: en el documento original la excentricidad era una imagen que no se puede leer en el texto. Aquí se resuelve en general y se muestra el caso e = 3/5. Revisa y ajusta el valor de e según tu enunciado.

1. Centro = punto medio: C(3; 0). Eje menor = 24 → b = 12.
2. El eje menor es horizontal, así que el eje focal es vertical (la recta x = 3).
3. De e = c/a y a² = b² + c² se obtiene a = b/√(1 − e²) = 12/√(1 − e²).

e	a	a²	Ecuación
3/5	15	225	(x − 3)²/144 + y²/225 = 1
4/5	20	400	(x − 3)²/144 + y²/400 = 1
5/13	13	169	(x − 3)²/144 + y²/169 = 1

Rpta.: para e = 3/5: (x − 3)²144 + y²225 = 1

Ejercicio 6

Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos y vértices coinciden con los focos y vértices de las parábolas P₁: y² + 4x − 12 = 0 y P₂: y² − 4x − 12 = 0.

Ejercicio 6: la elipse comparte focos y vértices con las parábolas.

Ver resolución paso a paso

1. P₁: y² = −4(x − 3) → vértice (3; 0), p = 1, foco (2; 0).
2. P₂: y² = 4(x + 3) → vértice (−3; 0), foco (−2; 0).
3. La elipse tiene vértices (±3; 0) y focos (±2; 0): a = 3, c = 2 y b² = 9 − 4 = 5, con centro en el origen.

Rpta.: x²9 + y²5 = 1

Ejercicio 7

Los focos de una elipse son F₁(−4; 0) y F₂(−4; −4). Hallar la ecuación de la elipse si uno de los extremos del eje menor está en la recta L: 2x − y + 10 = 0.

Ejercicio 7: L: 2x − y + 10 = 0 pasa por el extremo B(−6; −2) del eje menor.

Ver resolución paso a paso

1. Mismo x en ambos focos: eje focal vertical (x = −4). Centro C(−4; −2), c = 2.
2. El eje menor es horizontal (y = −2); sus extremos son (−4 ± b; −2). En L: 2x + 2 + 10 = 0 → x = −6.
3. −4 − b = −6 → b = 2, y a² = 4 + 4 = 8.

Rpta.: (x + 4)²4 + (y + 2)²8 = 1

Ejercicio 8

Determinar los vértices del triángulo equilátero circunscrito a la curva 9x² + 4y² = 36, sabiendo que uno de los vértices está en el eje Y y tiene ordenada positiva.

Ejercicio 8: triángulo equilátero de vértices A, B y C.

Ver resolución paso a paso

1. 9x² + 4y² = 36 ⇒ x²4 + y²9 = 1 (semieje 2 en X y 3 en Y).
2. El triángulo es simétrico respecto al eje Y: vértice A(0; t) y lados laterales de pendiente ±√3 (ángulos de 60° con la base).
3. Una recta y = mx + n es tangente a x²/p² + y²/q² = 1 si n² = p²m² + q². Aquí n² = 4·3 + 9 = 21, luego t = √21.
4. La base es la tangente horizontal inferior y = −3. Intersectándola con y = ±√3x + √21 se obtiene x = ±(√7 + √3).
5. Comprobación: los tres lados miden 2(√7 + √3) ≈ 8,76 ✓.

Rpta.: A(0; √21), B(−(√7 + √3); −3) y C(√7 + √3; −3)

Ejercicio 9

Hallar la ecuación de la elipse de centro C(0; 0), con un foco en el eje X y que pasa por un punto dado.

Ver resolución paso a paso

Nota del autor: el foco y el punto por donde pasa eran imágenes en el documento original y no se leen en el texto. Completa los datos de tu enunciado y aplica este método.

1. Como el foco está en el eje X, la ecuación es x²a² + y²b² = 1.
2. Del foco F(c; 0) se obtiene c y la relación a² = b² + c².
3. Se reemplaza el punto (x₀; y₀) en la ecuación: x₀²b² + c² + y₀²b² = 1.
4. Se resuelve la ecuación en b² (cuadrática) y se descarta la solución negativa.

Rpta.: completar con los datos de tu enunciado

Ejercicio 10

Hallar la ecuación de la elipse de centro C(−3; 0), un foco F(−1; 0) y que es tangente al eje Y.

Ejercicio 10: tangente al eje Y en el origen; a = 3, c = 2.

Ver resolución paso a paso

1. C(−3; 0) y F(−1; 0): eje focal horizontal y c = 2.
2. Las tangentes verticales a la elipse pasan por los vértices: x = h ± a. Tangente al eje Y (x = 0) ⇒ a = 3.
3. b² = a² − c² = 9 − 4 = 5.

Rpta.: (x + 3)²9 + y²5 = 1

9. Preguntas frecuentes sobre la elipse

¿Qué es una elipse en geometría analítica?

Es el lugar geométrico de los puntos P(x; y) del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a, con 2a mayor que la distancia entre los focos.

¿Cuál es la ecuación de una elipse con centro en el origen?

Si el eje focal es horizontal: x²/a² + y²/b² = 1 con a > b. Si el eje focal es vertical: x²/b² + y²/a² = 1 con a > b. En ambos casos a² = b² + c².

¿Cómo saber si el eje mayor es horizontal o vertical?

Mira el denominador mayor (a²): si está debajo de (x − h)², el eje focal es horizontal; si está debajo de (y − k)², el eje focal es vertical.

¿Qué es la excentricidad de una elipse?

Es el cociente e = c/a entre la semidistancia focal y el semieje mayor. Siempre cumple 0 < e < 1; cuanto más cerca de 0, más se parece a una circunferencia.

¿Cómo se calcula la longitud del lado recto?

El lado recto mide 2b²/a, donde a es el semieje mayor y b el semieje menor.

¿Cuál es la diferencia entre una elipse y una circunferencia?

La circunferencia es el caso particular de elipse con e = 0: los dos focos coinciden en el centro y a = b.

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