Composición de Traslaciones y Rotaciones: Sesión de Aprendizaje 07 – Matemática 5° Secundaria

Área: Matemática | Grado: 5° de Secundaria | Duración: 90 minutos | Unidad: UA N° 02 | Sesión: 07

I.E.: "José Gálvez Egúsquiza" – Centro Poblado Pichugán, Distrito Chiguirip, Provincia Chota, Región Cajamarca | Docente: Prof. Carlos Guarniz

Esta sesión de aprendizaje desarrolla, en estudiantes de 5° de secundaria, la capacidad de aplicar composiciones sucesivas de transformaciones isométricas —traslaciones vectoriales y rotaciones con ángulos determinados— sobre figuras bidimensionales en el plano cartesiano. El contexto motivador es genuinamente local: el diseño aerodinámico y decorativo de las cometas tradicionales que vuelan en las pampas de Pichugán, cuya simetría y equilibrio de peso se modelan matemáticamente.

1. Propósito de la sesión y competencia CNEB

Título de la sesión

"Damos equilibrio y belleza: Composición de traslaciones y rotaciones"

Intención pedagógica

Lograr que los estudiantes modelen geométricamente la simetría, la estética y el centro de gravedad de estructuras planas mediante composiciones de transformaciones isométricas —sucesiones de traslaciones vectoriales y rotaciones con ángulos determinados— sobre figuras bidimensionales. El fin práctico es garantizar que los patrones decorativos y aerodinámicos de las cometas tradicionales de Pichugán distribuyan el peso de forma homogénea.

Competencia y capacidades (CNEB)

La sesión moviliza prioritariamente la competencia "Resuelve problemas de forma, movimiento y localización", articulando de manera integrada las capacidades:

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.
Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.

Evidencia de aprendizaje

La Plantilla de Diseño Aerodinámico "Cometa Pichugán": una lámina técnica en plano cartesiano donde los estudiantes dibujan la mitad o un cuadrante del ala decorativa y, mediante una composición explícita de transformaciones (rotación de 90° o 180° combinada con una traslación vectorial), generan el ala simétrica complementaria con el cálculo preciso de las coordenadas algebraicas de todos los vértices resultantes.

2. Criterios de evaluación

Derivados del estándar de aprendizaje del Ciclo VII para la competencia de forma y movimiento:

Modela variaciones de posición de una figura plana aplicando composiciones de traslaciones vectoriales y rotaciones de forma sucesiva y ordenada.
Identifica y describe las condiciones de invarianza (conservación de medidas de ángulos y lados) en figuras sometidas a transformaciones isométricas.
Justifica la relación entre equilibrio estructural y simetría geométrica obtenida mediante composiciones isométricas para el diseño de prototipos técnicos funcionales.

Instrumento: Rúbrica Analítica de Desempeño Geométrico que evalúa: precisión del cálculo de coordenadas bajo vectores de traslación, exactitud en los ángulos de rotación, justificación teórica de la conservación isométrica y calidad del acabado constructivo.

3. Secuencia didáctica (90 minutos)

Inicio – 20 minutos

Motivación y sensibilización

El docente ingresa al aula con un diseño tradicional de cometa estrellada de Pichugán. Muestra que las decoraciones de papel celofán se repiten idénticamente alrededor de la caña central y plantea la pregunta detonadora:

"Si cortamos un solo triángulo de papel rojo, ¿cómo hacemos para que los otros cinco triángulos queden exactamente en la misma posición, con la misma inclinación y a la misma distancia sin necesidad de volver a medir uno por uno desde cero? Si una de las alas se traslada un centímetro más arriba que la otra, ¿qué le sucederá a la cometa cuando reciba el impacto de los fuertes vientos de las pampas de Pichugán?"

Recuperación de saberes previos

Los estudiantes recuerdan transformaciones aisladas estudiadas en grados anteriores: el vector de traslación v⃗ = (x, y), el concepto de rotación, la diferencia entre ángulo positivo (sentido antihorario) y negativo (sentido horario), y el rol del origen de coordenadas (0, 0).

Conflicto cognitivo

Se plantea el reto central de la sesión:

"Si tomamos un punto A(2, 3) y primero lo trasladamos con el vector v⃗ = (4, 1) y al resultado le aplicamos una rotación de 90° respecto al origen, ¿obtendremos el mismo punto final si hacemos primero la rotación y después la traslación? ¿El orden de las transformaciones altera la belleza o el equilibrio de nuestra figura geométrica?"

Comunicación del propósito

El docente escribe en la pizarra: "Hoy aprenderemos a aplicar composiciones secuenciales de traslaciones y rotaciones sobre figuras planas en el plano cartesiano, determinando matemáticamente sus coordenadas para aplicarlas al diseño preciso y equilibrado de nuestras cometas tradicionales."

Desarrollo – 50 minutos

Familiarización con el problema

El docente entrega a los equipos papelotes cuadriculados con un eje cartesiano y la figura de un polígono irregular ABCD (patrón de un parche de papel cometa). El problema central exige aplicar la siguiente composición: primero una traslación con v⃗ = (5, −2) y luego una rotación de 180° con centro en el origen (0, 0).

Búsqueda y ejecución de estrategias

Fase 1: Aplicación de la traslación

Los estudiantes toman las coordenadas originales de cada vértice (ej: A(1, 2)) y suman algebraicamente las componentes del vector v⃗ = (5, −2) para hallar el vértice intermedio A':

A' = (1 + 5 ; 2 + (−2)) = (6, 0)

Repiten el procedimiento con todos los vértices y dibujan la figura trasladada temporal en el plano.

Fase 2: Aplicación de la rotación

El docente formaliza las reglas algebraicas para rotaciones con centro en el origen:

Rotación de 90° antihorario: (x, y) → (−y, x)
Rotación de 180°: (x, y) → (−x, −y)
Rotación de 270° antihorario (equivalente a 90° horario): (x, y) → (y, −x)

Aplicando la rotación de 180° al punto intermedio A'(6, 0): A'' = (−6, 0). Los estudiantes verifican con transportador y regla que la distancia desde el origen a A' es idéntica a la distancia desde el origen a A''.

Socialización y representación

Cada equipo expone su papelote. Explican cómo la figura final mantiene exactamente la misma área, la misma forma y las mismas medidas de los ángulos internos (propiedad de isometría), pero ha cambiado de posición y orientación. Discuten cómo esta técnica automatiza el diseño industrial y artesanal.

Formalización y reflexión

El docente sistematiza en la pizarra la definición de Composición de Transformaciones: la aplicación sucesiva de dos o más transformaciones geométricas sobre una misma figura original. Se destacan dos conclusiones clave:

La composición de transformaciones isométricas produce otra isometría.
En general, la composición de una traslación y una rotación no es conmutativa: T ∘ R ≠ R ∘ T.

Cierre – 20 minutos

Evaluación y transferencia

Los estudiantes resuelven de forma individual los ítems iniciales de la Ficha de Aprendizaje para constatar la asimilación de las reglas de coordenadas en el plano cartesiano.

Metacognición

Reflexión mediante preguntas abiertas:

¿Qué pasos ordenados debemos seguir para no confundir las coordenadas intermedias con las definitivas?
¿Cómo influyen los signos negativos del plano cartesiano en la orientación de una figura rotada?
¿Por qué es importante dominar estas transformaciones para el diseño gráfico, la arquitectura o la textilería comunal?

4. Ficha de aprendizaje – Composición de traslaciones y rotaciones en el diseño de cometas (Descargar aquí)

Instrucción general: Resuelve analíticamente cada uno de los problemas propuestos en los ejes cartesianos, determinando las coordenadas numéricas y graficando con exactitud matemática las figuras resultantes.

Problema 1 – Vector resultante de dos traslaciones sucesivas

Un punto del plano cartesiano correspondiente al extremo del ala de una cometa está ubicado en P(4, 5). Se le aplica una composición: primero una traslación con v⃗ = (−2, 3) y luego otra traslación con w⃗ = (−3, −6).

Calcula las coordenadas del punto intermedio P' y del punto final P''.
Demuestra: encuentra un único vector resultante u⃗ que ejecute la misma transformación en un solo paso directo.

Resolución: P' = (4−2 ; 5+3) = (2, 8). Luego P'' = (2−3 ; 8−6) = (−1, 2). El vector resultante es u⃗ = (−2−3 ; 3−6) = (−5, −3). Verificación: P + u⃗ = (4−5 ; 5−3) = (−1, 2) ✓

Problema 2 – Rotación de 90° antihorario de un triángulo

Triángulo ABC con vértices A(1, 1), B(4, 1) y C(2, 4). Se aplica una rotación de 90° antihorario respecto al origen usando la regla (x, y) → (−y, x).

Halla las nuevas coordenadas A', B' y C'. Grafica ambas figuras en un plano cartesiano limpio.

Resolución: A' = (−1, 1), B' = (−1, 4), C' = (−4, 2).

Problema 3 – Composición: rotación + traslación. Análisis de isometría

Con el triángulo A'B'C' del Problema 2, aplica una traslación con v⃗ = (2, −3) para obtener A''B''C''.

Escribe las coordenadas finales de A''B''C''.
Analiza: ¿las longitudes de los lados y las áreas del triángulo original ABC y del final A''B''C'' han cambiado? Justifica con el concepto de isometría.

Resolución: A'' = (1, −2), B'' = (1, 1), C'' = (−2, −1). Las longitudes de los lados y el área se conservan porque toda composición de isometrías es una isometría: las distancias entre puntos homólogos no se alteran.

Problema 4 – Composición R°T: traslación primero, luego rotación de 180°

Segmento MN con M(−1, 2) y N(−3, 5). Se aplica R_(0,180°) ∘ T_v⃗, es decir: primero la traslación con v⃗ = (4, 1) y luego la rotación de 180° respecto al origen.

Calcula las coordenadas definitivas del segmento final M''N''.

Resolución: Traslación: M' = (3, 3), N' = (1, 6). Rotación 180°: M'' = (−3, −3), N'' = (−1, −6).

Problema 5 – Composición T°R: rotación primero, luego traslación. No conmutatividad

Con el mismo segmento M(−1, 2) y N(−3, 5), invierte el orden: primero la rotación de 180° y luego la traslación con v⃗ = (4, 1).

Encuentra las coordenadas finales y compara con las del Problema 4.
Explica analíticamente si la composición es conmutativa.

Resolución: Rotación 180°: M' = (1, −2), N' = (3, −5). Traslación: M'' = (5, −1), N'' = (7, −4). Las coordenadas difieren de las del Problema 4. La composición no es conmutativa: el orden de aplicación sí importa, porque la traslación desplaza el centro de giro efectivo.

Problema 6 – Rotación de 270° antihorario

En las pampas de Pichugán, un vértice crítico del marco poligonal de una cometa está en K(−2, −4). El plano se somete a una rotación de 270° antihorario respecto al origen. La regla algebraica equivalente es (x, y) → (y, −x).

Determina la coordenada exacta del punto rotado K'.

Resolución: K' = (−4, −(−2)) = (−4, 2).

Problema 7 – Vector equivalente de tres traslaciones sucesivas

Cuadrilátero con vértices P(0,0), Q(2,4), R(5,4) y S(3,0). Se aplican tres traslaciones que representan ráfagas de viento: v⃗₁ = (1, 2), v⃗₂ = (−3, 5), v⃗₃ = (2, −4).

Calcula el vector único equivalente sumando componentes.
Encuentra las coordenadas del cuadrilátero final.

Resolución: u⃗ = (1−3+2 ; 2+5−4) = (0, 3). Cuadrilátero final: P''(0,3), Q''(2,7), R''(5,7), S''(3,3).

Problema 8 – Verdadero o Falso sobre propiedades de transformaciones isométricas

Escribe V (Verdadero) o F (Falso) frente a cada afirmación:

a) Una rotación seguida de otra rotación con el mismo centro equivale a una única rotación cuyo ángulo es la suma de los ángulos individuales. (V)
b) Al aplicar una traslación a un polígono, la orientación de sus vértices (sentido horario o antihorario) se invierte. (F) — La traslación preserva la orientación.
c) La distancia entre cualquier par de puntos de la figura original es siempre idéntica a la de sus homólogos en la figura transformada por una composición de traslación y rotación. (V)

Problema 9 – Composición: rotación 90° horario + reflexión en el eje Y

Polígono DEF con D(2,2), E(4,2) y F(3,5). Desarrolla la siguiente composición:

Rotación de 90° en sentido horario (equivalente a 270° antihorario): (x, y) → (y, −x).
Reflexión en el eje Y: (x, y) → (−x, y).

Resolución: Rotación 90° horario: D'(2,−2), E'(2,−4), F'(5,−3). Reflexión en eje Y: D''(−2,−2), E''(−2,−4), F''(−5,−3).

Problema 10 – Reto de ingeniería de vuelo: equilibrio de la cometa Pichugán

Para que una cometa tradicional de estrella vuele estable sobre los cielos de Pichugán, su centro de gravedad debe coincidir con el origen (0,0). El ala izquierda está definida por el triángulo X(−5, 1), Y(−2, 4), Z(−1, 1).

Instrucción: El ala derecha debe ser el reflejo geométrico obtenido mediante una rotación de 180° con centro en el origen.
Calcula las coordenadas del ala derecha X'Y'Z'.
Demuestra que el ala derecha cubre exactamente la misma superficie de resistencia al viento calculando el área del triángulo original por base × altura.

Resolución: Rotación de 180°: X'(5,−1), Y'(2,−4), Z'(1,−1). Área del triángulo original: base ZX = |−5−(−1)| = 4 unidades; altura = distancia vertical desde Y al segmento ZX = |4−1| = 3 unidades; Área = (4×3)/2 = 6 u². El ala derecha X'Y'Z' tiene las mismas dimensiones por isometría, por tanto área = 6 u². El prototipo queda simétricamente equilibrado. ✓

5. Recursos y materiales

Materiales educativos: pizarra, plumones de colores, reglas acrílicas largas, transportadores grandes para pizarra.
Recursos impresos: ficha de aprendizaje con problemas algebraico-geométricos, papel milimetrado o cuadriculado para los estudiantes.
Texto oficial: Matemática de 5° de Secundaria – MINEDU.
Material concreto: hojas de acetato o micas plásticas para apoyo a estudiantes con barreras de visualización espacial.
Recurso contextual: cometa estrellada tradicional de Pichugán como objeto de aprendizaje situado.

6. Atención a la diversidad y retroalimentación

Estrategias inclusivas

Para estudiantes con barreras en la visualización espacial abstracta o dificultades con coordenadas negativas, se utiliza material concreto con hojas de acetato o micas plásticas: los estudiantes dibujan la figura original en la mica, realizan físicamente el arrastre sobre el papel cuadriculado (traslación) y luego, colocando la punta del lápiz en el origen (0, 0), giran físicamente la mica los grados indicados (rotación). Este andamiaje táctil y concreto es esencial para la fijación del concepto geométrico.

Retroalimentación por descubrimiento

Si un estudiante rota B(3, 4) en 90° antihorario y escribe B'(−3, −4) en lugar de B'(−4, 3), el docente interviene así:

"Usemos el transportador y midamos el ángulo formado entre la línea OB y la línea OB'. ¿Mide exactamente 90° o mide 180°? Si giramos en sentido contrario a las agujas del reloj, ¿en qué cuadrante debería aterrizar tu punto si originalmente estaba en el primer cuadrante? Vamos a verificar la regla del giro de 90°: (x, y) → (−y, x)."

7. Preguntas frecuentes sobre composición de traslaciones y rotaciones

¿Qué es una composición de transformaciones isométricas?

Es la aplicación sucesiva de dos o más transformaciones geométricas —como traslaciones y rotaciones— sobre una misma figura original. La figura resultante de cada transformación se convierte en la figura de entrada para la siguiente. Lo fundamental es que la composición de isometrías siempre produce otra isometría: se conservan las distancias, los ángulos y las áreas.

¿Por qué el orden de las transformaciones es importante?

Porque la composición de una traslación y una rotación no es conmutativa. Aplicar primero la traslación T y luego la rotación R (R ∘ T) produce un resultado diferente al de aplicar primero R y luego T (T ∘ R). Los Problemas 4 y 5 de la ficha de esta sesión demuestran esto numéricamente con el mismo segmento de partida.

¿Cuáles son las reglas algebraicas para las rotaciones más comunes respecto al origen?

Las reglas para rotaciones con centro en el origen (0, 0) son: 90° antihorario → (x, y) convierte en (−y, x); 180° → (x, y) convierte en (−x, −y); 270° antihorario (= 90° horario) → (x, y) convierte en (y, −x).

¿Qué significa que una transformación sea isométrica?

Una transformación isométrica preserva las distancias entre todos los pares de puntos de la figura original. Esto implica que la figura transformada tiene exactamente la misma forma y el mismo tamaño que la original: los lados, los ángulos y las áreas no cambian. Las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones son las tres isometrías del plano.

¿Cómo se calcula el vector resultante de varias traslaciones sucesivas?

Si se aplican traslaciones con vectores v⃗₁, v⃗₂, …, v⃗ₙ de forma sucesiva, el vector único equivalente es la suma vectorial de todos ellos: u⃗ = v⃗₁ + v⃗₂ + … + v⃗ₙ. Las componentes horizontales y verticales se suman por separado.

¿Cómo se relaciona esta sesión con el diseño de cometas tradicionales de Pichugán?

Las cometas tradicionales de las pampas de Pichugán, Chiguirip, tienen estructuras decorativas con simetría radial: sus patrones de papel celofán se repiten alrededor de la caña central. Esta repetición simétrica es matemáticamente una composición de rotaciones y traslaciones. Además, para que la cometa vuele de forma estable, las alas deben ser simétricas respecto al centro de gravedad, lo que se modela geométricamente con rotaciones de 180° respecto al origen del plano cartesiano.

Bibliografía

Ministerio de Educación del Perú (2016). Programa Curricular de Educación Secundaria. Lima: MINEDU.
Ministerio de Educación del Perú. Texto de Matemática para el estudiante – 5° de Secundaria. Lima: MINEDU.

Composición de traslaciones y rotaciones | Sesión 07 Matemática 5 Secundaria + Ficha