Medimos qué tan variables son nuestras cosechas: Rango, Varianza y Desviación Estándar — Sesión de Aprendizaje N°11 para 3° de Secundaria
Área: Matemática | Grado: 3° de Secundaria | Unidad: 02 | Sesión: 11 | Duración: 90 minutos (2 horas pedagógicas)
En esta sesión de aprendizaje los estudiantes de tercer grado de secundaria aprenden a calcular e interpretar las medidas de dispersión estadística —rango, varianza y desviación estándar— a partir de datos reales de producción agrícola y ganadera de nuestra comunidad de Pichugán. El recurso está alineado a la competencia «Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre» del Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB-MINEDU) e incluye una ficha de trabajo con 10 problemas contextualizados.
I. Datos Informativos
- Institución Educativa: I.E. «José Gálvez Egúsquiza» — Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca
- Área Curricular: Matemática
- Grado y Sección: Tercer Grado de Secundaria — Sección Única
- Duración: 2 horas pedagógicas (90 minutos)
- Docente: Prof. Carlos Guarniz
II. Propósito de la Sesión
Esta sesión tiene como finalidad que los estudiantes comprendan, calculen e interpreten las medidas de dispersión (rango, varianza y desviación estándar) a partir de datos no agrupados sobre la producción agrícola local. El objetivo central es que logren diferenciar entre un conjunto de datos homogéneo (estable) y uno heterogéneo (inestable), permitiéndoles evaluar el riesgo y la predictibilidad en la producción de sus parcelas.
La sesión desarrolla directamente la competencia «Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre». Exige que el estudiante conecte las diferencias de los datos respecto a su media aritmética, transforme esas relaciones en estimaciones numéricas de dispersión, comunique su comprensión mediante justificaciones estadísticas y tome decisiones analíticas basadas en la confiabilidad de los promedios.
III. Criterios de Evaluación
- Calcula el rango de un conjunto de datos agrícolas para identificar la amplitud total de la variación de la producción.
- Determina la varianza y la desviación estándar de datos no agrupados ejecutando con precisión operaciones de diferencias al cuadrado y raíces cuadradas.
- Interpreta el significado de la desviación estándar en el contexto productivo local, reconociendo si los datos están dispersos o concentrados alrededor de la media.
- Emite conclusiones y predicciones justificadas sobre la estabilidad o el riesgo de una producción a partir de los indicadores calculados.
IV. Evidencias de Aprendizaje
- Ficha de trabajo individual resuelta paso a paso, con tablas de desvíos, cálculo de la media y desarrollo analítico de las sumatorias de cuadrados.
- Informe comparativo en parejas que evalúa el rendimiento y la estabilidad de dos tipos de cultivos o abonos en Pichugán, determinando cuál es el más predecible mediante el análisis de su dispersión.
V. Secuencia Didáctica
Inicio — 20 minutos: ¿El promedio nos cuenta toda la verdad?
El docente escribe en la pizarra la producción de sacos de papa de dos agricultores durante sus últimas 4 campañas:
- Agricultor A: 20, 20, 20, 20 sacos.
- Agricultor B: 0, 40, 10, 30 sacos.
Los estudiantes calculan que ambos tienen el mismo promedio: 20 sacos. El docente repregunta: «¿Sus cosechas se comportan de la misma manera? ¿Cuál de los dos es más seguro para planificar un negocio? ¿Por qué el promedio no nos cuenta toda la verdad sobre el Agricultor B?»
A continuación se plantea el conflicto cognitivo: dos parcelas en Pichugán usaron abonos distintos, ambas obtuvieron un promedio exacto de 50 kg de maíz, pero con producciones completamente opuestas (una muy estable, otra muy extrema). ¿Cómo medir matemáticamente ese «desorden» de los datos?
Desarrollo — 55 minutos: Las herramientas de medición de la variabilidad
El docente presenta y modela de forma secuencial las tres medidas de dispersión fundamentales:
1. Rango (R)
Es la medida más simple: diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos.
R = Xmáx − Xmín
2. Varianza (S²)
Mide el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada dato respecto a la media. Se eleva al cuadrado para evitar que las distancias negativas y positivas se anulen entre sí (recuerda: la suma de las desviaciones siempre es cero por definición de la media).
S² = Σ(xi − x̄)² / N
3. Desviación Estándar (S)
Es la raíz cuadrada de la varianza. La devuelve a las mismas unidades originales de los datos (kg, litros, soles), lo que la hace la medida de dispersión más usada en contextos financieros y científicos.
S = √S²
Ejemplo modelado: producción de papas en 4 parcelas
Datos en kilogramos: 45, 48, 52, 55
Paso 1 — Calcular la media:
x̄ = (45 + 48 + 52 + 55) / 4 = 200 / 4 = 50 kg
Paso 2 — Tabla de desviaciones al cuadrado:
| Dato (xi) | Desviación (xi − x̄) | Cuadrado (xi − x̄)² |
|---|---|---|
| 45 | 45 − 50 = −5 | (−5)² = 25 |
| 48 | 48 − 50 = −2 | (−2)² = 4 |
| 52 | 52 − 50 = 2 | (2)² = 4 |
| 55 | 55 − 50 = 5 | (5)² = 25 |
| Total | Σ = 0 (propiedad de la media) | Σ(xi − x̄)² = 58 |
Paso 3 — Varianza:
S² = 58 / 4 = 14,5 kg²
Paso 4 — Desviación Estándar:
S = √14,5 ≈ 3,81 kg
Esto significa que los datos de producción se alejan, en promedio, 3,81 kg de la media de 50 kg — una variación relativamente pequeña que indica producción estable.
Trabajo en equipos
Organizados en equipos de cuatro, los estudiantes reciben datos reales de la producción de leche de dos establos locales. Construyen sus propias tablas en papelógrafos y exponen sus resultados argumentando cuál establo es más homogéneo y por qué. Ejemplo de conclusión esperada: «El Establo 1 tiene una desviación estándar de 1,2 litros y el Establo 2 tiene 4,5 litros. Por lo tanto, el Establo 1 es mucho más predecible en su producción diaria.»
Cierre — 15 minutos: Consolidación y metacognición
Reto analítico rápido: Si un conjunto de datos tiene una varianza de 49 soles², ¿cuánto vale la desviación estándar y qué indica?
Respuesta: S = √49 = 7 soles → los datos se desvían, en promedio, 7 soles de la media.
Reflexión metacognitiva oral o escrita:
- ¿Por qué el rango no es suficiente para medir la dispersión en un conjunto grande de datos?
- ¿Qué significa prácticamente una desviación estándar muy alta?
- ¿Qué parte del proceso de cálculo me exigió mayor esfuerzo y cómo lo superé?
VI. Atención a la Diversidad
Se forman parejas de trabajo heterogéneas donde un estudiante con destreza aritmética colabora con un compañero con habilidades para la redacción o el dibujo organizativo. Para los estudiantes que presenten dificultades en la secuencia de la fórmula de la varianza, se entrega una hoja de ruta visual de 4 estaciones coloreadas:
- 🟡 Estación 1: Hallar la media
- 🟠 Estación 2: Restar (calcular desviaciones)
- 🔴 Estación 3: Elevar al cuadrado
- 🟢 Estación 4: Dividir y aplicar raíz cuadrada
VII. Retroalimentación por Descubrimiento
El error más frecuente es anotar (−5)² = −25 (no aplicar la ley de signos correctamente). La intervención del docente: «Multiplica de forma manual en tu borrador: menos por menos, ¿qué signo nos da según la ley de signos? Todo número elevado al cuadrado da un resultado positivo — revisa tus sumas parciales de la tercera columna.»
VIII. Ficha de Aprendizaje: «Medimos la Variabilidad de Nuestras Cosechas» (Descargar aquí)
Instrucciones: Lee con atención cada situación estadística contextualizada en las actividades productivas de Pichugán, Chiguirip y Chota. Desarrolla paso a paso: calcula la media aritmética, completa las tablas de desviaciones, determina el rango, la varianza y la desviación estándar, y redacta una conclusión analítica basada en la dispersión obtenida.
Problema 1
Un agricultor de Pichugán midió los sacos de maíz cosechados en sus 5 parcelas de igual tamaño: 12, 15, 14, 16, 13.
- Calcula el Rango de la producción.
- Determina la Media Aritmética (x̄) de los sacos cosechados.
Problema 2
Con los datos del Problema 1, completa la tabla de desviaciones al cuadrado:
| Dato (xi) | Media (x̄) | Desviación (xi − x̄) | Cuadrado (xi − x̄)² |
|---|---|---|---|
| 12 | 14 | ||
| 15 | 14 | ||
| 14 | 14 | ||
| 16 | 14 | ||
| 13 | 14 | ||
| Total | Σ = | Σ(xi − x̄)² = |
Problema 3
Usando la sumatoria del Problema 2:
- Aplica la fórmula y calcula la Varianza (S²).
- Extrae la raíz cuadrada y determina la Desviación Estándar (S).
Problema 4
Redacta una interpretación del valor de la desviación estándar obtenida. Si el agricultor considera que una desviación estándar menor a 2 sacos representa una producción estable y altamente predecible, analiza razonadamente si su cosecha cumple con esta condición.
Problema 5
Un comité de ganaderos evalúa la producción diaria de leche (en litros) de dos vacas Brown Swiss durante 5 días:
- Vaca Estrella: 18, 19, 20, 21, 22 litros.
- Vaca Milagrosa: 12, 15, 20, 25, 28 litros.
- Demuestra que ambas vacas tienen el mismo promedio diario.
- Calcula los Rangos de ambas vacas y determina cuál presenta la producción más inestable.
Problema 6
Con los datos del Problema 5:
- Construye la tabla de desviaciones y calcula la desviación estándar de la Vaca Estrella.
- Construye la tabla de desviaciones y calcula la desviación estándar de la Vaca Milagrosa.
- Determina cuál de las dos vacas es estadísticamente más confiable para la producción industrial de quesos.
Problema 7
Un grupo de tejedoras de sombreros de Chota registró el tiempo (en días) en elaborar un sombrero típico: 8, 10, 7, 12, 9, 8 días. Desarrolla el proceso estadístico completo y calcula la Varianza y la Desviación Estándar de los tiempos de confección.
Problema 8
Una microempresa acopiadora de café en Chiguirip evalúa dos lotes:
- Lote 1: x̄ = 12% de humedad, S = 0,5%
- Lote 2: x̄ = 12% de humedad, S = 2,8%
Explica analíticamente cuál lote corre mayor riesgo de sufrir hongos por exceso de humedad, basándote en la dispersión.
Problema 9
Un estudiante afirma que si un conjunto de datos tiene un Rango igual a cero (R = 0), entonces la varianza y la desviación estándar también son obligatoriamente cero. Justifica de forma matemática y conceptual si la afirmación es verdadera o falsa, proponiendo un ejemplo con datos reales de la comunidad.
Problema 10
Se registraron los precios de un saco de fertilizante orgánico en 4 establecimientos de la provincia de Chota: S/. 85,00; S/. 92,00; S/. 88,00; S/. 95,00. Calcula la Media Aritmética, la Varianza y la Desviación Estándar de los precios de mercado.
Preguntas Frecuentes sobre las Medidas de Dispersión
¿Qué son las medidas de dispersión en estadística?
Las medidas de dispersión son indicadores estadísticos que miden qué tan separados o concentrados están los datos respecto a su media aritmética. Las principales son el rango (amplitud total del conjunto), la varianza (promedio de los cuadrados de las desviaciones) y la desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza, en las mismas unidades que los datos).
¿Cómo se calcula la desviación estándar de datos no agrupados paso a paso?
Se siguen 4 pasos: (1) Calcular la media aritmética. (2) Restar la media a cada dato y elevar el resultado al cuadrado. (3) Sumar todos los cuadrados y dividir entre el número de datos — eso es la varianza (S²). (4) Extraer la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar (S).
¿Por qué se eleva al cuadrado en la fórmula de la varianza?
Porque las desviaciones positivas y negativas de los datos respecto a la media siempre se anulan al sumarse (Σ(xi − x̄) = 0 es una propiedad de la media aritmética). Al elevar al cuadrado, todos los valores se vuelven positivos y se puede obtener una medida real de la dispersión total.
¿Cuál es la diferencia entre varianza y desviación estándar?
La varianza (S²) tiene unidades elevadas al cuadrado (por ejemplo, kg²), lo que dificulta su interpretación práctica. La desviación estándar (S) es la raíz cuadrada de la varianza, lo que la devuelve a las mismas unidades de los datos originales (kg, litros, soles), siendo mucho más fácil de interpretar en contextos reales.
¿Para qué sirve la desviación estándar en actividades agropecuarias?
Permite evaluar la estabilidad y el riesgo productivo. Una desviación estándar baja indica que las cosechas o producciones son homogéneas y predecibles (bajo riesgo). Una desviación estándar alta señala inestabilidad, lo que representa mayor riesgo para la planificación económica de parcelas, establos o microempresas agropecuarias.
Recursos y Bibliografía
- Ministerio de Educación del Perú (MINEDU). (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB). Lima, Perú.
- Ministerio de Educación del Perú (MINEDU). (2026). Texto de Matemática de 3° grado de Secundaria. Lima, Perú.
- Ministerio de Educación del Perú (MINEDU). Cuaderno de Trabajo: Resolvamos Problemas 3. Lima, Perú.
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Elaborado por el Prof. Carlos Guarniz · I.E. «José Gálvez Egúsquiza» · Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca · Sesión N°11, Unidad 02 · 3° de Secundaria
