Sesión de aprendizaje de 3.º de secundaria: analizamos la forma f(x) = ax² + c y sus desplazamientos verticales

Analizamos la forma f(x) = ax² + c y sus desplazamientos verticales en la infraestructura comunal

📘 Matemática
🎓 3.º de Secundaria · Ciclo VII
📅 Unidad 04 · Sesión 05
⏱️ 135 minutos
🗓️ 22 de octubre de 2026

¿Por qué un arco de piedra que nace del suelo y otro que se apoya en pedestales tienen la misma curva, pero distinta altura? En esta sesión de aprendizaje de Matemática para 3.º de secundaria, los estudiantes descubren cómo la constante c desplaza verticalmente la parábola en la función cuadrática f(x) = ax² + c, reubica el vértice en V(0, c) y determina los puntos de corte con el eje X, a partir de arcos, portales rústicos y reservorios de la comunidad de Pichugán.

📌 En resumen: lo que encontrarás en esta sesión

Propósito, competencia CNEB y criterios de evaluación listos para tu programación.
Secuencia didáctica completa (inicio, desarrollo con los 4 pasos de Pólya y cierre).
Gráfica comparativa de tres parábolas con traslación vertical.
Lista de cotejo, atención a la diversidad y retroalimentación.
Ficha de aprendizaje N.º 05 con 10 problemas y solucionario desplegable.
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I. Datos informativos

Institución educativa“José Gálvez Egúsquiza” – Pichugán

Área curricularMatemática

Grado y sección3.er grado de Secundaria (Ciclo VII)

Unidad didácticaUnidad N.º 04

Duración3 horas pedagógicas (135 minutos)

DocenteLic. Carlos Guarniz

Fecha22 de octubre de 2026

II. Título de la sesión

“Analizamos la forma f(x) = ax² + c y sus desplazamientos verticales en la infraestructura comunal”

III. Propósito de la sesión

Que los estudiantes identifiquen, representen y analicen la función cuadrática de la forma f(x) = ax² + c (a ≠ 0), comprendiendo el efecto de la constante c como una traslación o desplazamiento vertical de la parábola básica f(x) = ax² (hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0), reubicando el vértice en el punto V(0, c), a partir de situaciones reales de diseño de arcos de puentes, portales rústicos y reservorios agrícolas.

La sesión contribuye al desarrollo de la competencia “Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio” del Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB), fortaleciendo la capacidad de traducir relaciones de variación cuadrática a expresiones algebraicas desplazadas, graficar parábolas con traslación vertical e interpretar la altura inicial o nivel base c en contextos de la vida cotidiana.

La función f(x) = ax² + c en 3 ideas

Antes de la secuencia didáctica, conviene tener claras las tres ideas que los estudiantes institucionalizan con el apoyo del texto del MINEDU (pág. 146):

1. Vértice

El vértice se desplaza verticalmente al punto V(0, c), pues f(0) = c.

2. Eje de simetría

Sigue siendo el eje Y: la recta x = 0. La traslación vertical no lo mueve.

3. Efecto de c

Si c > 0, sube c unidades; si c < 0, baja |c| unidades. La forma y la apertura no cambian.

¿Dónde corta la parábola al eje X?

ax² + c = 0 → ax² = −c → x² = −c/a → x = ± √(−c/a)Solo existen cortes en los números reales si −c/a ≥ 0

IV. Criterios de evaluación

Criterio 1: Modela situaciones del entorno mediante la función cuadrática f(x) = ax² + c, reconociendo el significado del término independiente c.
Criterio 2: Grafica funciones cuadráticas de la forma f(x) = ax² + c a partir de la traslación vertical de la curva y = ax², identificando el nuevo vértice V(0, c) y el eje de simetría x = 0.
Criterio 3: Interpreta y argumenta cómo influyen las variaciones del parámetro c en la altura máxima, mínima o en los interceptos con el eje de las abscisas (eje X) en problemas de arquitectura y producción rural.

V. Evidencia de aprendizaje

Matriz de traslación vertical

Gráfica, en un mismo sistema de ejes cartesianos, de f(x) = x², g(x) = x² + 3 y h(x) = x² − 4, ubicando vértices e interceptos.

Ficha de aprendizaje N.º 05

Resolución de 10 problemas de modelado algebraico, traslaciones verticales y análisis de interceptos con f(x) = ax² + c.

VI. Instrumento de evaluación: lista de cotejo

Evaluación formativa de la competencia “Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio”.

N.º	Criterio de evaluación	Logrado	En proceso	Inicio	Observaciones
01	Identifica el punto V(0, c) como el vértice de la función f(x) = ax² + c.
02	Grafica correctamente desplazamientos hacia arriba (c > 0) y hacia abajo (c < 0).
03	Determina analíticamente los puntos de corte con el eje X (f(x) = 0) cuando existen.

VII. Secuencia didáctica

1 · INICIO

Motivación y saberes previos (25 min)

Motivación y saberes previos · 10 min

El docente saluda a la clase y dibuja en la pizarra dos esquemas de arcos parabólicos para el ingreso a un vivero comunitario:

Arco A: nace directamente desde el nivel del suelo y su ecuación es y = −x².
Arco B: se apoya sobre dos pedestales de piedra de 2 metros de altura y su ecuación es y = −x² + 2.

Se recuperan los saberes previos con estas preguntas:

¿En qué se parecen y en qué se diferencian ambas ecuaciones algebraicas?
¿Cuál es el vértice del Arco A y cuál es el vértice del Arco B?
¿Qué le hizo el número +2 a la gráfica del Arco A?

Conflicto cognitivo · 5 min

“Si la función básica es f(x) = −0.5x² y tiene su punto más alto en (0, 0), ¿cuál será la ecuación de una parábola idéntica pero cuyo punto más alto se ubique 5 metros más arriba? ¿Y si se traslada 3 metros por debajo del nivel del suelo en un reservorio? ¿Cómo hallamos los puntos donde la curva corta al suelo (eje X)?”

Propósito y organización · 10 min

Se comunica el propósito de la sesión, se explican los criterios de evaluación y se organiza a los estudiantes en equipos heterogéneos de trabajo.

2 · DESARROLLO

Metodología de George Pólya (90 min)

20 min
Comprensión del problema

Los estudiantes analizan la estructura general f(x) = ax² + c y se institucionaliza el contenido con el texto del MINEDU (pág. 146): el vértice pasa a V(0, c), el eje de simetría sigue siendo x = 0 y la constante c produce una traslación vertical. Además, se deducen los interceptos con el eje X resolviendo ax² + c = 0.
15 min
Búsqueda y diseño de una estrategia

Se adopta el análisis de traslación directa: en lugar de tabular todos los puntos desde cero, se parte de la curva base y = ax² y se desliza cada punto verticalmente |c| unidades hacia arriba o hacia abajo. Luego se verifican algebraicamente los puntos críticos (vértice e interceptos).

40 min

Ejecución de la estrategia

Los equipos completan la tabla comparativa de f(x) = −0.5x², g(x) = −0.5x² + 2 y h(x) = −0.5x² − 2, y después grafican las tres curvas en papel milimetrado.

x	f(x) = −0.5x²	g(x) = −0.5x² + 2	h(x) = −0.5x² − 2
−4	−8	−8 + 2 = −6	−8 − 2 = −10
−2	−2	−2 + 2 = 0	−2 − 2 = −4
0	0 → V(0, 0)	2 → V(0, 2)	−2 → V(0, −2)
2	−2	−2 + 2 = 0	−2 − 2 = −4
4	−8	−8 + 2 = −6	−8 − 2 = −10

Las tres curvas son idénticas en forma y apertura; solo cambia su posición vertical. La parábola verde corta al eje X en (−2, 0) y (2, 0).

Para g(x) = −0.5x² + 2, los estudiantes hallan los cortes con el eje X:

−0.5x² + 2 = 0 → 0.5x² = 2 → x² = 4 → x = ± 2Puntos de corte: (−2, 0) y (2, 0)

15 min
Reflexión y visión retrospectiva

Se analiza el significado en el contexto: en el portal g(x), las columnas están separadas 4 metros entre sí (desde x = −2 hasta x = 2) y la altura máxima en el centro es de 2 metros. Se concluye que el término c representa la altura inicial o punto de partida vertical en problemas físicos y arquitectónicos.

3 · CIERRE

Síntesis, metacognición y evaluación (20 min)

Síntesis y metacognición · 10 min

Se sistematiza el aprendizaje en la pizarra con un cuadro resumen y se plantean preguntas de metacognición:

¿Cómo identificamos rápidamente el vértice de f(x) = ax² + c?
¿Qué condición debe cumplirse para que la gráfica de f(x) = ax² + c corte al eje X?
¿En qué situaciones de construcciones agrícolas en Pichugán es útil aplicar el desplazamiento vertical?

Evaluación y cierre · 10 min

Se aplica la lista de cotejo sobre las gráficas elaboradas y se asigna la Ficha de aprendizaje N.º 05.

VIII. Recursos y materiales

Materiales educativos: Cuaderno de trabajo de Matemática 3.º de Secundaria (MINEDU, pp. 146-148), papel milimetrado, regla, colores y plumones.
Recursos impresos: ficha de trabajo individual y grupal.

IX. Atención a la diversidad

Soporte adaptado

Plantillas transparentes de la parábola base y = x² recortadas en cartulina, para que los estudiantes las deslicen sobre el eje Y e identifiquen el nuevo vértice.

Reto de profundización

Casos que combinan el cambio de apertura (a) con el desplazamiento (c) para modelar puentes suspendidos.

X. Retroalimentación

Tipo: retroalimentación reflexiva por descubrimiento.

Error frecuente: si un estudiante ubica el vértice de f(x) = 2x² − 5 en (−5, 0) en lugar de (0, −5), se le orienta con preguntas: “Si x = 0, ¿cuánto vale f(0)? ¿En qué eje se ubica el punto donde la primera coordenada es 0?”

Ficha de aprendizaje N.º 05: analizamos f(x) = ax² + c y sus desplazamientos

Propiedades de la forma f(x) = ax² + c

Vértice: V(0, c).
Eje de simetría: x = 0 (eje Y).
Cortes con el eje X: se calculan haciendo f(x) = 0 → ax² + c = 0.

Problema 1

Sin realizar la gráfica detallada, escribe las coordenadas del vértice V(0, c) y el sentido de la concavidad (hacia arriba o hacia abajo) de estas funciones:

a) f(x) = 3x² + 7
b) g(x) = −x² + 9
c) h(x) = (1/2)x² − 8
d) p(x) = −4x² − 5

Problema 2

A partir de la función básica f(x) = x², describe la traslación geométrica que sufre la gráfica para obtener:

a) g(x) = x² + 5
b) h(x) = x² − 6

Problema 3

Grafica en un mismo plano cartesiano, en papel milimetrado, las funciones f(x) = −x², g(x) = −x² + 4 y h(x) = −x² − 1. Señala con claridad el vértice de cada una.

Problema 4

Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje X (si existen) de:

a) f(x) = x² − 25
b) g(x) = −2x² + 18
c) h(x) = 3x² + 12

Problema 5 · Reservorio rústico

El perfil de un reservorio rústico de agua construido en Pichugán sigue la curva y = 0,1x² − 4, donde x es la distancia horizontal desde el centro (m) e y la profundidad o altura respecto al nivel del suelo (m).

a) ¿Cuál es la profundidad máxima del reservorio en su centro?
b) ¿A qué distancia del centro la superficie del agua llega al nivel del suelo (y = 0)?

Problema 6 · Almacén agrícola

Un objeto se lanza hacia arriba desde la azotea de un almacén agrícola de 10 metros de altura. Su altura h (m) respecto al suelo en función del tiempo t (s) es h(t) = −5t² + 10, con t ≥ 0.

a) ¿Cuál es la altura del objeto al momento del lanzamiento (t = 0)?
b) ¿En qué segundo impacta contra el suelo (h = 0)?

Problema 7 · Arco de la plaza de Chiguirip

El arco parabólico de la entrada a la plaza de Chiguirip se modela con y = −0,2x² + 5, con x e y en metros. Determina la altura máxima del arco y el ancho total de su base al nivel del suelo.

Problema 8

Halla la fórmula de la función cuadrática de la forma f(x) = ax² + c sabiendo que su vértice es V(0, 3) y que su gráfica pasa por el punto A(2, 11).

Problema 9

Dada la función f(x) = −3x² + 12:

a) Indica el dominio y el rango.
b) Determina los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Problema 10 · Tazón de madera

Un artesano de la comunidad diseña un tazón de madera cuyo borde superior circular tiene un radio de 3 cm. Si el perfil transversal interior responde a y = 0,5x² − 4,5 (x e y en cm), dibuja el esquema en un plano cartesiano, identifica la profundidad total del tazón y comprueba que sus bordes se ubican en x = −3 y x = 3.

Solucionario de la ficha

👉 Ver las respuestas (para el docente)

Vértices y concavidad: a) V(0, 7), hacia arriba; b) V(0, 9), hacia abajo; c) V(0, −8), hacia arriba; d) V(0, −5), hacia abajo.
Traslaciones: a) 5 unidades hacia arriba; b) 6 unidades hacia abajo.
Gráficas: vértices V(0, 0), V(0, 4) y V(0, −1); las tres abren hacia abajo y tienen la misma forma. g(x) corta al eje X en x = ±2; h(x) no lo corta.
Cortes con el eje X: a) x² = 25 → x = ±5; b) x² = 9 → x = ±3; c) x² = −4 → no tiene solución real, no corta al eje X.
Reservorio: a) en x = 0, y = −4: profundidad máxima de 4 m; b) 0,1x² = 4 → x² = 40 → x = ±√40 ≈ ±6,32 m.
Lanzamiento: a) h(0) = 10 m; b) 5t² = 10 → t² = 2 → t = √2 ≈ 1,41 s.
Arco: altura máxima = 5 m; −0,2x² + 5 = 0 → x² = 25 → x = ±5, por lo que el ancho de la base es 10 m.
Fórmula: c = 3; 11 = a(2)² + 3 → 4a = 8 → a = 2. Entonces f(x) = 2x² + 3.
Dominio y monotonía: a) Dom(f) = ℝ y Rango = (−∞, 12]; b) creciente en (−∞, 0) y decreciente en (0, +∞).
Tazón: vértice V(0, −4,5): profundidad total de 4,5 cm. Comprobación: y(±3) = 0,5·9 − 4,5 = 0, así que los bordes están en x = −3 y x = 3.

Preguntas frecuentes sobre f(x) = ax² + c

¿Qué efecto tiene la constante c en f(x) = ax² + c?

Traslada verticalmente la parábola y = ax²: hacia arriba c unidades si c > 0 y hacia abajo |c| unidades si c < 0. La forma, la apertura y el eje de simetría (x = 0) no cambian.

¿Cuál es el vértice de f(x) = ax² + c?

Es el punto V(0, c), porque al reemplazar x = 0 se obtiene f(0) = c.

¿Cómo se hallan los puntos de corte con el eje X?

Se resuelve f(x) = 0: ax² + c = 0, luego x² = −c/a y x = ±√(−c/a). Solo hay cortes reales cuando −c/a ≥ 0.

¿Cuándo la parábola no corta al eje X?

Cuando −c/a < 0, es decir, cuando a y c tienen el mismo signo. Por ejemplo, h(x) = 3x² + 12 no corta al eje X porque x² = −4 no tiene solución real.

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