¿A cuántos metros cae el agua de un aspersor sin graficar punto por punto? Con la función cuadrática f(x) = ax² + bx y un simple factor común, tus estudiantes lo calculan en segundos.
- 📚 Matemática · Ciclo VII
- ⏱️ 2 horas pedagógicas (90 min)
- 🎯 Competencia: regularidad, equivalencia y cambio
- 📍 Contexto: Pichugán, Chota
En esta sesión de aprendizaje de Matemática para 3.er grado de secundaria, los estudiantes representan situaciones reales con la función cuadrática incompleta f(x) = ax² + bx, hallan sus interceptos con el eje X mediante factorización por factor común, calculan el vértice V(h, k) y trazan el eje de simetría. Todo ocurre en escenarios cercanos a la comunidad: el chorro de un aspersor de riego en una parcela de papa, la trayectoria de una pelota, los ingresos de una asociación ganadera, un canal de irrigación y un invernadero con arco parabólico.
La sesión está alineada al Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB – MINEDU), sigue los cuatro pasos de resolución de problemas de George Pólya y se apoya en el Texto de Matemática 3.° de Secundaria del Minedu (pp. 149-151). Al final encontrarás la Ficha de Aprendizaje N.° 06 con 10 problemas y su solucionario desplegable.
I Datos informativos
| Institución Educativa | “José Gálvez Egúsquiza” – Pichugán |
|---|---|
| Área curricular | Matemática |
| Grado y sección | 3.er grado de Secundaria (Ciclo VII) |
| Unidad didáctica | Unidad N.° 04 |
| Duración | 2 horas pedagógicas (90 minutos) |
| Docente | Lic. Carlos Guarniz |
| Fecha | 23 de septiembre de 2026 |
II Título y propósito de la sesión
“Representamos la forma f(x) = ax² + bx y sus interceptos en el diseño de proyectos comunales”
Propósito
Que los estudiantes analicen, representen y resuelvan situaciones modeladas por la función cuadrática de la forma f(x) = ax² + bx (con a ≠ 0 y b ≠ 0): que determinen algebraicamente sus raíces o interceptos con el eje X mediante factor común, calculen las coordenadas de su vértice V(h, k) y su eje de simetría, y lo apliquen al cálculo de alcances máximos, trayectorias de riego y delimitación de superficies en Pichugán.
La actividad contribuye a la competencia “Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio”, fortaleciendo la capacidad de traducir relaciones de variación no lineal a expresiones algebraicas factorizables, interpretar los puntos de corte con los ejes cartesianos y determinar puntos de optimización (máximos y mínimos) en su contexto productivo.
III Criterios de evaluación y evidencias
Modela situaciones del entorno con f(x) = ax² + bx, identificando las variables dependiente e independiente.
Determina analíticamente los interceptos con el eje X igualando a cero y factorizando: x(ax + b) = 0.
Calcula V(h, k) con h = −b/2a y k = f(h), y grafica la parábola justificando el significado del vértice y los interceptos.
Evidencias de aprendizaje
- Modelamiento y gráfica del alcance de aspersión de riego: resolución paso a paso, en papel milimetrado, de la trayectoria parabólica de un chorro de agua, identificando el origen (0, 0), el alcance horizontal total y la altura máxima.
- Ficha de Aprendizaje N.° 06: resolución de 10 problemas sobre factor común, vértices e interceptos en la forma f(x) = ax² + bx.
IV Instrumento: lista de cotejo
Evaluación formativa de la competencia “Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio”.
| N.° | Criterios de evaluación | Logrado | En proceso | Inicio | Observaciones |
|---|---|---|---|---|---|
| 01 | Factoriza correctamente ax² + bx = 0 para determinar los interceptos x₁ = 0 y x₂ = −b/a. | ||||
| 02 | Calcula la abscisa del vértice h = −b/2a como el punto medio entre los dos interceptos. | ||||
| 03 | Interpreta el vértice V(h, k) como la altura o ingreso máximo y los interceptos como los puntos de inicio y llegada. |
V Secuencia didáctica
1. Inicio 15 min
Motivación y saberes previos (5 min)
El docente saluda y presenta en la pizarra un problema real del campo:
“Un aspersor instalado en una parcela de papa en Pichugán impulsa un chorro de agua cuyo perfil parabólico responde a la ecuación h(x) = −0,1x² + 2x, donde x es la distancia horizontal recorrida por el agua (en metros) y h(x) es la altura sobre el suelo (en metros).”
Se activan los saberes previos con preguntas:
- ¿En qué punto empieza el chorro de agua? Si empieza en el suelo, ¿cuánto vale su altura h?
- En h(x) = −0,1x² + 2x, ¿qué término falta respecto de la forma completa ax² + bx + c? (c = 0).
- ¿Cómo podemos factorizar −0,1x² + 2x sacando la x como factor común?
Conflicto cognitivo (5 min)
Pregunta retadora: dado que falta el término independiente c, ¿la parábola pasará siempre por el origen (0, 0)? ¿Cómo sabemos exactamente a cuántos metros caerá el agua al suelo sin graficar punto por punto?
Propósito y organización (5 min)
Se comunica el propósito, se explican los criterios de evaluación y se organiza el trabajo colaborativo en equipos de 4 integrantes.
2. Desarrollo 60 min
Se trabaja con los procesos didácticos de la Matemática propuestos por George Pólya.
Paso 1 · Comprensión del problema 10 min
Los estudiantes examinan la forma f(x) = ax² + bx y, con apoyo del texto Minedu, se institucionaliza el contenido:
Interceptos con el eje X (f(x) = 0): ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0
Primera raíz: x₁ = 0 (siempre pasa por el origen).
Segunda raíz: ax + b = 0 → x₂ = −b/a
Vértice V(h, k): por simetría, h es el punto medio de las raíces:
h = (x₁ + x₂)/2 = (0 + (−b/a))/2 = −b/2a, y k = f(h).
Paso 2 · Búsqueda y diseño de una estrategia 10 min
Se adopta la estrategia de factorización por factor común y simetría:
- Igualar la función a cero para calcular los interceptos x₁ y x₂.
- Determinar el eje de simetría h = −b/2a.
- Reemplazar h en la función para hallar el máximo o mínimo k.
- Esbozar la gráfica uniendo (0, 0), V(h, k) y (x₂, 0).
Paso 3 · Ejecución de la estrategia 25 min
Los estudiantes resuelven la situación del aspersor: h(x) = −0,1x² + 2x.
① Interceptos (h(x) = 0):
−0,1x² + 2x = 0 → x(−0,1x + 2) = 0
x₁ = 0 (el aspersor está en el origen)
−0,1x + 2 = 0 → 0,1x = 2 → x₂ = 2 ÷ 0,1 = 20 m
Interpretación: el agua cae al suelo a los 20 metros de distancia.
② Vértice V(h, k):
h = −b/2a = −2 / (2 · (−0,1)) = −2 / (−0,2) = 10 m
k = h(10) = −0,1(10)² + 2(10) = −10 + 20 = 10 m
Interpretación: la altura máxima del agua es de 10 metros, justo a los 10 metros de recorrido horizontal (la mitad del trayecto).
③ Construcción gráfica: se ubican (0, 0), (10, 10) y (20, 0) y se traza la parábola cóncava hacia abajo (a = −0,1 < 0).
Paso 4 · Reflexión y visión retrospectiva 15 min
- Se destaca la eficiencia del método: con solo hallar el factor común x y el punto medio, se grafica la parábola completa sin tablas largas.
- Se reflexiona sobre cómo este cálculo ayuda a los agricultores a ubicar la distancia exacta entre aspersores y no desperdiciar agua.
3. Cierre 15 min
Síntesis y metacognición (10 min)
Se sintetizan los pasos en la pizarra y se plantean preguntas de metacognición:
- ¿Por qué toda función f(x) = ax² + bx pasa por el punto (0, 0)?
- ¿Cómo nos ayuda el factor común a encontrar la distancia total recorrida?
- ¿De qué manera la simetría simplifica el cálculo del vértice?
Evaluación y cierre (5 min)
Se verifica el trabajo grupal y se entrega la Ficha de Aprendizaje N.° 06.
VI Resumen de la teoría en 30 segundos
La parábola abre hacia abajo: el vértice es la altura o el ingreso máximo.
La parábola abre hacia arriba: el vértice es el punto más bajo (profundidad, costo mínimo).
“Cancelar” la x y perder la raíz x₁ = 0. Hay que factorizar, no simplificar.
VII Recursos, atención a la diversidad y retroalimentación
Recursos y materiales
- Materiales educativos: Cuaderno de trabajo de Matemática 3.° de Secundaria (Minedu, pp. 149-151), papel milimetrado, regla y plumones.
- Recursos impresos: ficha de aprendizaje grupal e individual.
Atención a la diversidad
- Acompañamiento guiado: tarjetas de apoyo paso a paso para resolver ecuaciones de primer grado al despejar −ax + b = 0.
- Reto de extensión: problemas de maximización de ingresos I(x) = p·x − q·x² aplicados a la comercialización de la producción de papa en Chota.
Retroalimentación
Tipo: descriptiva y reflexiva.
Si un estudiante olvida la raíz x₁ = 0 al “cancelar” una x a ambos lados (y escribe −0,1x + 2 = 0), se le pregunta: “Si eliminas la x, ¿qué valor de x hace que x · (−0,1x + 2) sea igual a cero cuando el primer factor se anula?”
VIII Ficha de aprendizaje N.° 06: 10 problemas propuestos
Representamos la forma f(x) = ax² + bx y sus interceptos. Recuerda: interceptos x₁ = 0 y x₂ = −b/a · vértice V(h, k) con h = −b/2a y k = f(h) · eje de simetría x = h.
Factor común. Factoriza cada función cuadrática e indica los dos puntos de corte con el eje X:
- a) f(x) = x² − 8x
- b) g(x) = −2x² + 10x
- c) h(x) = 3x² + 12x
- d) p(x) = −0,5x² + 3x
Función f(x) = −x² + 6x.
- a) Halla los interceptos con el eje X.
- b) Calcula las coordenadas de su vértice V(h, k).
- c) Indica si el vértice es un punto máximo o mínimo.
La pelota de fútbol. Un joven de Pichugán patea una pelota desde el suelo. Su trayectoria es h(x) = −0,05x² + 1,2x, donde x es la distancia horizontal (m) y h(x) la altura (m).
- a) ¿A qué distancia horizontal cae la pelota al suelo?
- b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
Gráfica en papel milimetrado. Grafica g(x) = 2x² − 8x y señala las raíces x₁ y x₂, el vértice V(h, k) y el eje de simetría.
Queso de Chiguirip. El ingreso mensual (en soles) de una asociación ganadera por vender x toneladas de queso es I(x) = −20x² + 400x.
- a) ¿Cuántas toneladas deben vender para obtener el ingreso máximo?
- b) ¿A cuánto asciende ese ingreso máximo?
- c) ¿Para qué valores de x el ingreso es igual a cero soles?
Canal de irrigación. Un canal rústico tiene sección transversal parabólica y = 0,25x² − 2x, con x e y en decímetros. Calcula el ancho de la superficie al nivel del suelo (y = 0) y la profundidad máxima del canal.
Hallar la fórmula. Halla la función f(x) = ax² + bx sabiendo que sus interceptos con el eje X son (0, 0) y (8, 0) y que su punto máximo es V(4, 16).
Función h(x) = −3x² + 15x.
- a) Determina el valor exacto del eje de simetría x = h.
- b) Calcula el valor máximo de la función.
La piedra y la acequia. Se lanza una piedra en forma parabólica desde el borde de una acequia: y = −0,2x² + 1,6x. Completa la tabla y dibuja la gráfica.
| x (m) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| y (m) |
El invernadero. Un agricultor construye un invernadero con arco parabólico y = (−1/3)x² + 4x (en metros). Calcula la luz (ancho de la base) y la altura máxima en el centro del arco.
IX Solucionario de la ficha
Intenta resolver cada problema antes de abrir la respuesta. Haz clic en cada ítem para verla.
Problema 1 · Factor común
a) x² − 8x = x(x − 8) → cortes en (0, 0) y (8, 0)
b) −2x² + 10x = −2x(x − 5) → (0, 0) y (5, 0)
c) 3x² + 12x = 3x(x + 4) → (0, 0) y (−4, 0)
d) −0,5x² + 3x = −0,5x(x − 6) → (0, 0) y (6, 0)
Problema 2 · f(x) = −x² + 6x
a) −x(x − 6) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 6
b) h = −6 / (2·(−1)) = 3; k = f(3) = −9 + 18 = 9 → V(3, 9)
c) Como a = −1 < 0, el vértice es un punto máximo.
Problema 3 · La pelota de fútbol
a) −0,05x² + 1,2x = 0 → x(−0,05x + 1,2) = 0 → x = 1,2 ÷ 0,05 = 24 m
b) h = 24 ÷ 2 = 12; altura = −0,05(12)² + 1,2(12) = −7,2 + 14,4 = 7,2 m
Problema 4 · Gráfica de g(x) = 2x² − 8x
Raíces: 2x(x − 4) = 0 → x₁ = 0 y x₂ = 4.
Vértice: h = 8 / 4 = 2; k = 2(4) − 16 = −8 → V(2, −8) (mínimo, pues a = 2 > 0).
Eje de simetría: x = 2. La parábola abre hacia arriba y pasa por (0, 0), (2, −8) y (4, 0).
Problema 5 · Queso de Chiguirip
a) h = −400 / (2·(−20)) = 10 toneladas
b) I(10) = −20(100) + 4000 = S/ 2 000
c) −20x(x − 20) = 0 → x = 0 y x = 20 toneladas
Problema 6 · Canal de irrigación
0,25x² − 2x = 0 → x(0,25x − 2) = 0 → x = 0 y x = 8. Ancho = 8 dm.
h = 2 / 0,5 = 4; y(4) = 0,25(16) − 8 = −4. Profundidad máxima = 4 dm.
Problema 7 · Hallar la fórmula
Como (8, 0) es raíz: 64a + 8b = 0 → b = −8a. Con V(4, 16): 16a + 4b = 16 → 16a − 32a = 16 → a = −1 y b = 8.
Función: f(x) = −x² + 8x. Verificación: f(4) = −16 + 32 = 16 ✔
Problema 8 · h(x) = −3x² + 15x
a) h = −15 / (2·(−3)) = 15/6 = 5/2 = 2,5 → eje de simetría x = 2,5
b) k = −3(6,25) + 15(2,5) = −18,75 + 37,5 = 18,75 (valor máximo)
Problema 9 · Tabla de valores
| x (m) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| y (m) | 0 | 2,4 | 3,2 | 2,4 | 0 |
La piedra alcanza su máximo de 3,2 m en x = 4 m y cae a los 8 m. Observa la simetría: y(2) = y(6).
Problema 10 · El invernadero
x(−x/3 + 4) = 0 → x = 0 y x = 12. Luz (ancho) = 12 m.
h = 6; y(6) = −(1/3)(36) + 24 = −12 + 24 = 12 m de altura máxima.
X Preguntas frecuentes
¿Cuáles son los interceptos de f(x) = ax² + bx con el eje X?
Se iguala a cero y se factoriza: ax² + bx = x(ax + b) = 0. Las raíces son x₁ = 0 y x₂ = −b/a, es decir, los puntos (0, 0) y (−b/a, 0).
¿Por qué toda función f(x) = ax² + bx pasa por el origen?
Porque no tiene término independiente (c = 0): f(0) = a·0² + b·0 = 0.
¿Cómo se calcula el vértice de f(x) = ax² + bx?
La abscisa es h = −b/2a (el punto medio entre las raíces) y la ordenada es k = f(h). El eje de simetría es la recta x = h.
¿Cuándo el vértice es máximo y cuándo mínimo?
Si a < 0, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo. Si a > 0, abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
¿Dónde descargo la sesión y la ficha?
Con cualquiera de los botones de descarga de esta entrada: abren el documento editable en Google Docs con la sesión completa y la Ficha de Aprendizaje N.° 06.
XI Bibliografía
- Ministerio de Educación del Perú (Minedu). (2026). Texto de Matemática 3.° de Secundaria (pp. 149-151). Lima: Minedu.
- Pólya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. México D. F.: Trillas.
- Guarniz, C. (2026). Recursos y actividades pedagógicas para educación rural. carlosguarnizteaches.com.
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