Función lineal y su representación sesión de Matemática 2.° de secundaria

Unidad 4 · Sesión 06 · Matemática

Función lineal y = mx: modelamos el costo de transporte y producción en Pichugán

Sesión de aprendizaje para 2.° de secundaria que enseña a traducir situaciones de proporcionalidad directa a una tabla de valores, a una ecuación y a una gráfica que siempre pasa por el origen (0, 0).

⏱ 90 minutos (2 horas pedagógicas) 🎓 Ciclo VI · CNEB 📅 16 de setiembre de 2026 📘 Texto MINEDU, pp. 149-151

¿Cuánto cuesta trasladar 40 sacos de papa de Pichugán a Chota si cada saco paga S/ 3? ¿Cuánto ingresa por vender 10 litros de leche a S/ 2.00 el litro? Estas preguntas tienen algo en común: el resultado crece de manera constante con la cantidad. En matemática, esa regularidad se modela con la función lineal, y en esta sesión los estudiantes la descubren a partir de la vida productiva de su comunidad.

En este artículo encontrarás la sesión completa —propósito, criterios de evaluación, secuencia didáctica con los procesos de George Pólya, recursos, atención a la diversidad y retroalimentación—, además de la ficha de trabajo con 10 problemas contextualizados y su solucionario.

I. Datos informativos

Ficha técnica de la sesión de aprendizaje.
Campo	Detalle
Institución educativa	«José Gálvez Egúsquiza» – Pichugán, Chiguirip, Chota
Área curricular	Matemática
Grado y sección	2.° de secundaria (Ciclo VI) – Sección única
Unidad didáctica	Unidad 4
Duración	2 horas pedagógicas (90 minutos)
Docente	Lic. Carlos Guarniz
Fecha	16/09/2026 (octubre de 2026 en la versión adaptada)
Título de la sesión	«Modelamos el costo de transporte y producción: Función lineal y su representación»

II. Propósito de la sesión

Intención pedagógica

Comprender, modelar y representar relaciones de proporcionalidad directa mediante la función lineal y = mx, organizando datos en tablas de valores y construyendo su gráfica en el plano cartesiano para verificar que toda función lineal pasa por el origen (0, 0).

Competencia CNEB

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio. Fortalece la capacidad de traducir datos de variación constante (costo de transporte por saco, venta de leche por litro) a expresiones algebraicas y gráficas.

III. ¿Qué es la función lineal y = mx?

Una función lineal describe una relación en la que dos magnitudes son directamente proporcionales: si la cantidad se duplica, el costo también se duplica. Se escribe:

f(x) = mx o y = mx

donde m es la constante de proporcionalidad (m ≠ 0) y b = 0: no hay término independiente.

x – variable independiente: cantidad, tiempo o peso (sacos, litros, minutos, hectáreas).
y – variable dependiente: costo total, ingreso o producción.
m – constante de proporcionalidad o pendiente: el precio o costo unitario (en el ejemplo del flete, m = 3).
Propiedad geométrica: su gráfica es una recta continua que pasa por el origen (0, 0).

💡 Idea clave para el aula: si no compramos nada (x = 0), no pagamos nada (y = 0). Por eso la recta de una función lineal siempre toca el origen. Cuando aparece un término extra (y = 3x + 4), ya no es lineal sino función afín, tema que continúa la unidad.

IV. Criterios de evaluación, evidencia e instrumento

Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio

Criterio 1

Traducción tabular y algebraica

Traduce relaciones de proporcionalidad directa de situaciones productivas a una tabla de valores y a la ecuación algebraica de la función y = mx.

Criterio 2

Representación y modelado gráfico

Ubica correctamente los pares ordenados (x, y) en el plano cartesiano y traza la recta verificando que pasa por el origen (0, 0).

Evidencia de aprendizaje

Ficha de trabajo y aprendizaje resuelta: tablas de valores, ecuaciones y = mx y gráficas en papel milimetrado sobre costos de fletes y producción ganadera en Pichugán, aplicando los 4 pasos de George Pólya.

Instrumento de evaluación

Lista de cotejo para evaluación formativa. Registra el desempeño individual y grupal en la tabulación de datos, la identificación de la constante m, la precisión en el plano cartesiano y la interpretación del origen (0, 0).

V. Secuencia didáctica (90 minutos)

La sesión se organiza en tres momentos: Inicio (15 min), Desarrollo (60 min) y Cierre (15 min). El desarrollo sigue el enfoque de resolución de problemas de George Pólya.

1. Inicio 15 min

Motivación y sensibilización

El docente muestra una balanza y una lista de precios de leche fresca del establo de Pichugán:

«El litro de leche fresca se vende a S/ 2.50. Si no compramos ningún litro (0 L), pagamos S/ 0.00; si compramos 1 L, pagamos S/ 2.50; si compramos 2 L, pagamos S/ 5.00…»

Recuperación de saberes previos

Mediante lluvia de ideas:

¿Cómo varía el costo total a medida que compramos más litros de leche?
¿Existe una razón constante de proporcionalidad entre el costo y los litros? ¿Cuál es?

Problematización (conflicto cognitivo)

«Un camión transporta sacos de papa de Pichugán a Chota cobrando S/ 3 por cada saco trasladado. ¿Cómo representamos algebraicamente el costo total y para cualquier cantidad x de sacos? Si graficamos esta relación en el plano cartesiano, ¿por qué punto exacto de los ejes debe pasar obligatoriamente la línea recta?»

Comunicación del propósito

«Hoy aprenderemos a modelar situaciones de costo y producción mediante la función lineal y = mx, construyendo tablas de valores y representándolas en el plano cartesiano.»

2. Desarrollo 60 min

Procesos didácticos del área de Matemática – enfoque centrado en la resolución de problemas (George Pólya).

A. Familiarización con el problema (10 min)

El docente plantea en la pizarra la situación del transporte de sacos de papa y los estudiantes identifican:

Variable independiente (x): cantidad de sacos transportados.
Variable dependiente (y): costo total del flete, en soles.
Tarifa por saco: S/ 3.

B. Búsqueda y ejecución de estrategias (30 min)

En parejas, los estudiantes elaboran la tabla de valores (ver sección siguiente), formalizan la función y la grafican en papel milimetrado:

Dibujar los ejes perpendiculares X (horizontal) y Y (vertical).
Ubicar los puntos (0, 0), (1, 3), (2, 6) y (3, 9).
Trazar la recta con regla y comprobar que es una línea recta continua que pasa por el origen.

C. Socialización y formalización (12 min)

Los representantes de cada grupo presentan sus gráficas en papelotes. El docente enfatiza la propiedad central: toda función lineal y = mx carece de término independiente (b = 0), lo que garantiza que su gráfica pase por (0, 0).

D. Reflexión y transferencia (8 min)

De forma individual, los estudiantes resuelven los dos primeros ejercicios de la ficha de aprendizaje.

3. Cierre 15 min

Evaluación formativa: revisión de las gráficas trazadas por los estudiantes.
Cierre afectivo: felicitación por la precisión gráfica y el trabajo ordenado.

Metacognición

¿Cuál es la forma general de una función lineal? (y = mx)
¿Qué representa la letra m en una situación de ventas o fletes? (el precio o costo unitario)
¿Por qué la gráfica de una función lineal siempre toca el origen (0, 0)?

VI. Tabla de valores y gráfica del caso guía

Caso guía: el camión que cobra S/ 3 por saco de papa. La función es y = 3x.

Tabla de valores de la función lineal y = 3x.
Sacos de papa (x)	Proceso de cálculo (3x)	Costo total en soles (y)	Par ordenado (x, y)
0	3(0)	0	(0, 0)
1	3(1)	3	(1, 3)
2	3(2)	6	(2, 6)
3	3(3)	9	(3, 9)
x	3(x)	y = 3x	(x, 3x)

Gráfica de y = 3x: una recta continua que pasa por el origen (0, 0), con pendiente m = 3.

⚠️ Error frecuente: comenzar la recta en (1, 3) sin llevarla hasta el origen. Si x = 0 (ningún saco), el costo es y = 0, así que el punto (0, 0) pertenece a la gráfica.

VII. Recursos y materiales

Materiales educativos: papel milimetrado, reglas graduadas, plumones, papelotes y fichas impresas.
Recursos impresos: Ficha de trabajo y aprendizaje N.° 06 (10 problemas contextualizados).
Fuente bibliográfica: Texto de Matemática 2.° de secundaria (MINEDU, 2026), páginas 149-151.

VIII. Atención a la diversidad

Uso de escalas sencillas en los ejes cartesianos (1 en 1 o 2 en 2) para facilitar la ubicación espacial.
Apoyo focalizado a estudiantes con dificultades para graduar proporcionalmente los ejes.

IX. Retroalimentación

Tipo previsto: por descubrimiento o guiada. En lugar de corregir directamente, el docente formula preguntas que llevan al estudiante a detectar su error.

Si un estudiante grafica y = 3x iniciando desde (1, 3) sin extender la recta hasta (0, 0), el docente pregunta: «Si no transportamos ningún saco (x = 0), ¿cuánto debemos pagar (y)? Ubiquemos el punto (0, 0) en el plano. ¿La recta debe continuar hasta ahí?»

X. Ficha de trabajo N.° 06: 10 problemas de función lineal

Recordemos: y = mx · x: variable independiente · y: variable dependiente · m: constante de proporcionalidad (m ≠ 0) · la gráfica es una recta que pasa por (0, 0).

Problema 1 · Venta de leche en Pichugán

Un productor ganadero vende el litro de leche a S/ 2.00.

a) Completa la tabla: x = 0, 1, 2, 5, 10 litros → costo total y (S/).
b) Escribe la expresión algebraica de la función lineal.
c) Grafícala verificando que pasa por (0, 0).

Problema 2 · Flete de pasajeros Chota–Pichugán

Un vehículo cobra S/ 8 por pasajero desde Chota hasta Pichugán.

a) Halla la ecuación del ingreso total y en función del número x de pasajeros.
b) ¿Cuánto recauda si transporta a 12 pasajeros?

Problema 3 · Producción agrícola por hora

Una máquina cosechadora en el distrito de Chiguirip procesa 15 kg de maíz por minuto. Modela con una función lineal f(x) los kilogramos procesados en x minutos y determina cuántos kg procesará en 45 minutos.

Problema 4 · Costo de siembra por hectárea

La mano de obra para sembrar papa cuesta S/ 120 por hectárea.

a) Elabora la expresión y = mx.
b) Grafica la relación para x = 0, 1, 2, 3 hectáreas.

Problema 5 · Identificación de funciones lineales

Determina cuáles representan una función lineal y fundamenta tu respuesta: a) y = 5x · b) y = 3x + 4 · c) y = −2x · d) y = x²

Problema 6 · Interpretación del origen

En la función de ventas y = 4.50x, x son los kilos de queso vendidos e y el ingreso. ¿Qué significa el par ordenado (0, 0) en este contexto?

Problema 7 · Construcción tabular y gráfica

Dada f(x) = 1.5x: a) construye una tabla para x ∈ {0, 2, 4, 6}; b) dibuja la gráfica en papel milimetrado.

Problema 8 · Determinación de la constante m

Una recta pasa por el origen (0, 0) y por el punto P(4, 20). a) Halla m. b) Escribe la función lineal.

Problema 9 · Análisis de error gráfico

Un estudiante graficó y = 6x uniendo (1, 6), (2, 12) y (3, 18), pero colocó el inicio en el eje Y en (0, 6). Explica su error y escribe las coordenadas correctas del corte con el eje Y.

Problema 10 · Emprendimiento escolar

Los estudiantes venden cuadernos ecológicos a S/ 6 la unidad. a) Expresa la función de ingresos I(x). b) ¿Cuántos cuadernos deben vender para obtener exactamente S/ 162?

XI. Solucionario para el docente

Ver respuestas de los 10 problemas

P1: a) y = 0, 2, 4, 10, 20. b) y = 2x. c) recta por (0, 0), (1, 2), (2, 4), (5, 10), (10, 20).
P2: a) y = 8x. b) y = 8(12) = S/ 96.
P3: f(x) = 15x; f(45) = 675 kg.
P4: a) y = 120x. b) puntos (0, 0), (1, 120), (2, 240), (3, 360).
P5: son lineales a) y = 5x y c) y = −2x (forma y = mx). No lo son b) y = 3x + 4 (tiene b = 4, es afín) ni d) y = x² (es cuadrática).
P6: si se venden 0 kg de queso, el ingreso es S/ 0: no hay venta, no hay ingreso.
P7: a) x = 0, 2, 4, 6 → f(x) = 0, 3, 6, 9. b) recta por (0, 0), (2, 3), (4, 6), (6, 9).
P8: a) m = 20 ÷ 4 = 5. b) f(x) = 5x.
P9: en y = 6x, si x = 0 entonces y = 0; la recta debe cortar el eje Y en (0, 0), no en (0, 6). Con (0, 6) ya no sería una función lineal.
P10: a) I(x) = 6x. b) 6x = 162 → x = 27 cuadernos.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una función lineal?

Es una relación de proporcionalidad directa que se escribe y = mx, con m ≠ 0. Su gráfica es una recta que pasa por el origen (0, 0).

¿Por qué la gráfica de y = mx siempre pasa por el origen?

Porque no tiene término independiente (b = 0). Al reemplazar x = 0 se obtiene y = m·0 = 0, es decir, el punto (0, 0).

¿Qué representa m en un problema de costos?

El precio o costo unitario: S/ 3 por saco de papa, S/ 2.50 por litro de leche, S/ 8 por pasajero. Es la razón constante entre el costo total y la cantidad.

¿En qué se diferencia la función lineal de la función afín?

La lineal es y = mx y pasa por (0, 0). La afín es y = mx + b con b ≠ 0 y corta el eje Y en (0, b); por eso no pasa por el origen.

¿Cómo descargo la sesión completa?

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Bibliografía

Ministerio de Educación del Perú (2026). Texto de Matemática 2.° de Secundaria. Lima: MINEDU (pp. 149-151).
Ministerio de Educación del Perú (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica Regular. Lima: MINEDU.
Pólya, George (1965). Cómo plantear y resolver problemas. México D.F.: Trillas.

Sesión adaptada por el Prof. Carlos Guarniz · I.E. «José Gálvez Egúsquiza», Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca · Publicado el 16 de octubre de 2026.
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