Pendiente de una función lineal: razón de cambio | Sesión 07 – Matemática 2.° de Secundaria

Unidad 04 · Sesión 07 · Matemática 2.° de Secundaria

Pendiente de una función lineal: aprende la razón de cambio con casos reales de Pichugán

Sesión de aprendizaje lista para usar: calcular e interpretar la pendiente m = Δy/Δx con reservorios, fletes y cosechas, siguiendo los 4 pasos de Pólya y el CNEB.

⏱ 90 min (2 h pedagógicas) 📘 Ciclo VI · 2.° grado 🎯 Regularidad, equivalencia y cambio

Descargar sesión de aprendizaje N.° 07Documento editable · Gratis

¿Qué significa realmente que una subida “tiene mucha pendiente”? En Pichugán lo decimos al caminar por un camino de herradura empinado, y las matemáticas nos permiten medir esa inclinación con un número. En esta sesión, los estudiantes de 2.° de secundaria descubren que la pendiente de una función lineal es una razón de cambio constante, y la usan para interpretar cómo se vacía un reservorio, cuánto cuesta un flete o qué cuadrilla cosecha más rápido.

📑 En este artículo

1. Datos informativos
2. Propósito y competencia
3. Criterios, evidencia e instrumento
4. Inicio: situación motivadora
5. Desarrollo con los pasos de Pólya
6. Los tres casos de pendiente
7. Cierre y metacognición
8. Recursos, diversidad y retroalimentación
9. Ficha de aprendizaje (10 problemas)
10. Preguntas frecuentes

I. Datos informativos de la sesión

Campo	Detalle
Institución Educativa	“José Gálvez Egúsquiza” – Pichugán, Chiguirip (Chota, Cajamarca)
Área curricular	Matemática
Grado y sección	2.° de Educación Secundaria (Ciclo VI) – Sección única
Unidad didáctica	Unidad 4
Duración	2 horas pedagógicas (90 minutos)
Docente	Lic. Carlos Guarniz
Fecha	21 de septiembre de 2026

Título de la sesión: “Analizamos la razón de cambio: Pendiente de la gráfica de una función lineal”.

II. Propósito de la sesión y competencia CNEB

Los estudiantes comprenden, calculan e interpretan la pendiente (m) de la gráfica de una función lineal como la razón de cambio constante entre dos variables, y relacionan su inclinación en el plano cartesiano con situaciones de la vida real: velocidad constante, llenado o vaciado de depósitos de agua y variación de costos de transporte.

Fórmula clave de la pendiente Variación vertical (eje y)Variación horizontal (eje x) = ΔyΔx = y₂ − y₁x₂ − x₁

🎯 Competencia

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio.

🧩 Capacidades que se fortalecen

Interpretar la tasa de variación, usar procedimientos algebraicos para hallar m con dos puntos y argumentar si la relación es creciente, decreciente o nula.

III. Criterios de evaluación, evidencia e instrumento

Criterio	Descripción
1. Cálculo y deducción algebraica	Aplica la fórmula m = Δy/Δx a partir de dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) de la recta en el plano cartesiano.
2. Interpretación y argumentación	Interpreta el significado físico o económico de m según el contexto y determina si la función es creciente o decreciente.

• Evidencia de aprendizaje: Ficha de Trabajo y Aprendizaje resuelta, con el cálculo e interpretación de la pendiente en situaciones de Pichugán (reservorios, combustible, fletes) aplicando los 4 pasos de George Pólya.
• Instrumento: Lista de cotejo para evaluación formativa (ubicación de puntos, uso de (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), signo de m e interpretación contextual).

IV. Secuencia didáctica · Inicio

1. Inicio: de la pendiente del camino a la pendiente matemática

15 min

Motivación y sensibilización

El docente dibuja en la pizarra dos caminos hacia la parte alta de Pichugán: uno suave y otro de herradura muy empinado. Pregunta:

“En la comunidad decimos que una subida ‘tiene mucha pendiente’. ¿A qué nos referimos físicamente? ¿Cómo podemos medir esa inclinación con números?”

Recuperación de saberes previos (lluvia de ideas)

• Si avanzamos horizontalmente en X y subimos verticalmente en Y, ¿cómo expresamos la relación entre lo que subimos y lo que avanzamos?
• En la función lineal y = mx, ¿qué letra representaba la constante de proporcionalidad?

Conflicto cognitivo

Un depósito de agua de riego de 100 litros se vacía a ritmo constante. A los 2 min quedan 80 L y a los 6 min quedan 40 L. La recta “va hacia abajo”: ¿la pendiente será positiva o negativa? ¿Qué significa obtener un valor como −10?

Propósito comunicado

“Hoy aprenderemos a calcular e interpretar la pendiente (m) de la gráfica de una función lineal como una razón de cambio constante entre dos variables.”

V. Secuencia didáctica · Desarrollo (60 minutos)

El desarrollo sigue el enfoque de resolución de problemas de George Pólya, con cuatro momentos que van de la comprensión del contexto a la transferencia autónoma.

A. Familiarización con el problema

10 min

Se presenta el caso del reservorio con sus dos puntos, donde x es el tiempo (min) e y el volumen (L):

• P₁(x₁, y₁) = (2, 80)
• P₂(x₂, y₂) = (6, 40)

B. Búsqueda y ejecución de estrategias

30 min

En parejas, los estudiantes deducen la fórmula de la pendiente a partir de la variación vertical y la horizontal. Para fortalecer la interpretación geométrica, se marca Δy en rojo y Δx en azul sobre el plano cartesiano.

Figura 1. El reservorio pierde 10 litros por cada minuto: la recta es decreciente (m < 0).

1. Plan: dividir lo que cambia en Y entre lo que cambia en X.
2. Ejecución:
   m = (40 − 80)/(6 − 2) = −40/4 = −10
3. Interpretación del signo: el signo negativo indica que la función es decreciente.
4. Interpretación del valor: 10 es la razón de cambio: el depósito pierde 10 litros por cada minuto.

C. Socialización y formalización

12 min

Estudiantes voluntarios resuelven en la pizarra un segundo ejemplo, el costo de un flete: P₁(1, 15) y P₂(4, 60).

m = (60 − 15)/(4 − 1) = 45/3 = +15 → costo de S/ 15 por kilómetro

Sistematización: la pendiente mide la inclinación de la recta y equivale al cociente entre la variación de Y y la variación de X.

D. Reflexión y transferencia

8 min

De forma autónoma, los estudiantes resuelven los primeros ejercicios de la Ficha de Aprendizaje y verifican que el signo y la interpretación sean coherentes con el contexto.

VI. Los tres casos de la pendiente

Con solo mirar el signo de m, se sabe cómo se comporta la función:

m > 0Creciente: al aumentar x, aumenta y.

m < 0Decreciente: al aumentar x, disminuye y.

m = 0Constante: recta horizontal.

VII. Cierre y metacognición

3. Cierre

15 min

Evaluación formativa: revisión de las pendientes calculadas y de sus interpretaciones verbales.

Preguntas de metacognición

• ¿Cuál es la fórmula para hallar la pendiente conociendo dos puntos? m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
• ¿Qué diferencia hay en la gráfica entre m = +5 y m = −5?
• ¿Por qué la pendiente indica la “razón de cambio” en problemas del campo y del transporte?

Cierre afectivo: reconocimiento al esfuerzo, el orden y el rigor en los procedimientos algebraicos.

VIII. Recursos, atención a la diversidad y retroalimentación

🧰 Recursos y materiales

• Papel milimetrado, reglas graduadas, plumones y papelotes.
• Ficha de Trabajo y Aprendizaje N.° 07 (10 problemas contextualizados).
• Texto de Matemática 2.° de Secundaria (Minedu, 2026), págs. 152–153.

🤝 Atención a la diversidad

• Colores diferenciados: Δy en rojo y Δx en azul.
• Apoyo focalizado a quienes confunden el orden (x, y) o el signo al restar enteros negativos.

Retroalimentación por descubrimiento (guiada). Si un estudiante escribe m = (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁), el docente pregunta: “La pendiente es lo que subimos o bajamos (vertical) entre lo que avanzamos (horizontal). ¿Qué eje representa la distancia vertical? Entonces, ¿qué variable va en el numerador?”

IX. Ficha de aprendizaje N.° 07: la pendiente como razón de cambio

Estos son los 10 problemas contextualizados de la ficha. Recuerda: m > 0 sube, m < 0 baja y m = 0 es horizontal.

Problema 1 · Cálculo directo

Calcula la pendiente de la recta que pasa por A(1, 3) y B(4, 15). Indica si la función es creciente o decreciente.

Problema 2 · Venta de leche

Un ganadero de Pichugán cobra S/ 5.00 por 2 litros, P₁(2, 5), y S/ 20.00 por 8 litros, P₂(8, 20). a) Calcula m. b) ¿Qué representa m en la vida real?

Problema 3 · Consumo de combustible

Un camión de Chota a Pichugán consume combustible a ritmo constante: a los 10 km quedan 18 galones, (10, 18); a los 50 km quedan 10 galones, (50, 10). a) Halla m. b) Interpreta su signo y valor.

Problema 4 · Pendiente nula / tarifa plana

Una balanza del almacén cobra S/ 12 por 3 sacos y S/ 12 por 10 sacos. Calcula m y explica qué recta se genera.

Problema 5 · Velocidad de cosecha

En Chiguirip, la Cuadrilla 1 pasa por (1, 40) y (3, 120) kg; la Cuadrilla 2, por (2, 50) y (4, 150) kg. Calcula la pendiente de cada una y determina cuál cosecha a mayor velocidad.

Problema 6 · Coordenadas negativas

Halla la pendiente de la recta que pasa por P₁(−2, −5) y P₂(3, 5) y grafícala aproximadamente en tu cuaderno.

Problema 7 · Desagüe de tanque de riego

Un reservorio escolar tiene 200 L en t = 0 min y 150 L a los 10 min. a) Identifica los dos puntos (t, V). b) Calcula m e interpreta cuántos litros se descargan por minuto.

Problema 8 · Incógnita dada la pendiente

La recta que pasa por A(2, 4) y B(6, k) tiene pendiente m = 3. Despeja y halla k.

Problema 9 · Análisis de error frecuente

Un estudiante calcula la pendiente entre R(2, 8) y S(5, 20) así: m = (5 − 2)/(20 − 8) = 3/12 = 0.25. Explica su error y halla el valor correcto.

Problema 10 · Emprendimiento escolar

Para fabricar 5 frascos de mermelada se gastan S/ 20 y para 15 frascos, S/ 60. a) Calcula m. b) Escribe C(x) = mx. c) ¿Cuánto costará un lote de 40 frascos?

✅ Ver respuestas de la ficha (para el docente)

1. m = (15 − 3)/(4 − 1) = 4 → creciente.
2. a) m = 15/6 = 2.5. b) Cada litro adicional de leche genera S/ 2.50.
3. a) m = (10 − 18)/(50 − 10) = −0.2. b) Decreciente: el camión gasta 0.2 galones por km.
4. m = 0: recta horizontal; la tarifa no depende del número de sacos.
5. Cuadrilla 1: m = 80/2 = 40 kg por unidad de tiempo. Cuadrilla 2: m = 100/2 = 50. Cosecha más rápido la Cuadrilla 2.
6. m = (5 − (−5))/(3 − (−2)) = 10/5 = 2.
7. a) (0, 200) y (10, 150). b) m = −50/10 = −5: se descargan 5 L por minuto.
8. (k − 4)/(6 − 2) = 3 → k − 4 = 12 → k = 16.
9. Invirtió la fórmula (Δx/Δy). Correcto: m = (20 − 8)/(5 − 2) = 12/3 = 4.
10. a) m = 40/10 = 4. b) C(x) = 4x. c) C(40) = S/ 160.

📥 Descarga la sesión completa

Lleva la sesión N.° 07 con su secuencia didáctica, criterios, instrumento y ficha de 10 problemas, lista para adaptar a tu aula.

Descargar sesión de aprendizaje N.° 07Google Docs · Gratis

Preguntas frecuentes sobre la pendiente de una función lineal

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta con dos puntos?

Con m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Por ejemplo, con (2, 80) y (6, 40): m = (40 − 80)/(6 − 2) = −10.

¿Qué significa que la pendiente sea negativa?

Que la función es decreciente: al aumentar x, disminuye y. En el reservorio, m = −10 significa que pierde 10 litros por minuto.

¿Qué pasa si la pendiente es cero?

La función es constante y su gráfica es una recta horizontal, como una tarifa plana que no cambia con la cantidad.

¿Cuál es el error más común al calcular m?

Invertir la fórmula y dividir Δx entre Δy. La pendiente siempre es lo que sube o baja (Y) entre lo que avanza (X).

Bibliografía

1. Ministerio de Educación del Perú (2026). Texto de Matemática 2.° de Secundaria. Lima: Minedu (págs. 152–153).
2. Ministerio de Educación del Perú (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica Regular. Lima: Minedu.
3. Pólya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. México D.F.: Trillas.

Etiquetas: Matemática 2.° secundariaUnidad 4Sesión de aprendizajeFunción linealPendienteRazón de cambioCNEBPichugán

Sesión adaptada por el Prof. Carlos Guarniz · I.E. “José Gálvez Egúsquiza”, Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca.