Teoría de Probabilidades: Guía Completa con 30 Problemas Resueltos Paso a Paso

Matemática · Aritmética · Preparación preuniversitaria

Teoría de Probabilidades: aprende los conceptos esenciales, domina las fórmulas y practica con 30 problemas resueltos paso a paso.

Por Carlos Guarniz · Actualizado: noviembre de 2026 · Lectura: 25 min

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos corazones de una baraja? ¿Y de acertar un número de teléfono al primer intento? La teoría de probabilidades es la rama de la matemática que responde preguntas como estas: mide qué tan posible es que ocurra un hecho cuyo resultado no podemos predecir con certeza.

En esta guía encontrarás todo lo que necesitas para estudiar probabilidades en secundaria o para el examen de admisión: definiciones claras, fórmulas, ejemplos y una práctica de 30 problemas con solución detallada.

📚 Contenido

1. Nociones previas
2. Tipos de eventos
3. Definición clásica (regla de Laplace)
4. Propiedades de la probabilidad
5. Probabilidad condicional y regla del producto
6. Probabilidad total y teorema de Bayes
7. Variable aleatoria, esperanza y varianza
8. Herramientas de conteo que necesitarás
9. 30 problemas resueltos
10. Tabla de respuestas
11. Preguntas frecuentes

1. Nociones previas

Experimento determinístico

Es aquel cuyo resultado se puede predecir con exactitud antes de realizarlo. Ejemplo: sacar una bola negra de una urna que solo contiene bolas negras.

Experimento aleatorio (ε)

Es aquel que, aunque se repita en las mismas condiciones, no permite predecir con exactitud cuál será el resultado. Su rasgo esencial es la incertidumbre.

• ε₁: lanzar dos monedas.
• ε₂: lanzar un dado.
• ε₃: extraer una carta de una baraja de 52 naipes.

Espacio muestral (Ω)

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Cada elemento se llama punto muestral, y n(Ω) es su cantidad.

Experimento	Espacio muestral	n(Ω)
Lanzar dos monedas (c = cara, s = sello)	{cc, cs, sc, ss}	4
Lanzar un dado	{1, 2, 3, 4, 5, 6}	6
Extraer una carta de la baraja	52 cartas (13 de cada palo)	52

Evento

Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se nombra con letras mayúsculas (A, B, C…).

• A₁: al lanzar dos monedas, salen resultados iguales → A₁ = {cc, ss}, n(A₁) = 2.
• A₂: al lanzar un dado, sale un número primo → A₂ = {2, 3, 5}, n(A₂) = 3.
• A₃: al extraer una carta, sale un as → n(A₃) = 4 (A♦, A♥, A♠, A♣).

Observaciones importantes

• El espacio muestral y los eventos son conjuntos, así que se les aplican las operaciones de conjuntos (unión, intersección, complemento).
• Evento imposible (∅): no tiene ningún punto muestral.
• Evento seguro (Ω): ocurre siempre.
• Evento elemental o unitario: tiene un solo punto muestral.

2. Tipos de eventos

Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir a la vez, es decir, si son conjuntos disjuntos:

A ∩ B = ∅

Ejemplo con una baraja de 52 cartas: A = «sale un 8», B = «sale un corazón», C = «sale un rey».

• A ∩ C = ∅ → A y C sí son mutuamente excluyentes (ningún 8 es rey).
• A ∩ B = {8♥} ≠ ∅ → A y B no son mutuamente excluyentes (el 8 de corazones cumple ambos).

Eventos independientes

Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro. Formalmente:

A y B independientes ⟺ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Ejemplo: se lanzan dos dados. Sea A = «el primer dado muestra 2» y B = «el segundo dado muestra 3».

• P(A) = 6/36 = 1/6 y P(B) = 6/36 = 1/6.
• A ∩ B = {(2, 3)}, así que P(A ∩ B) = 1/36 = (1/6)·(1/6).
• Como se cumple la igualdad, A y B son independientes: saber que el primer dado salió 2 no cambia la probabilidad de que el segundo salga 3.

Ojo con la confusión frecuente: «mutuamente excluyentes» e «independientes» no son lo mismo. Si dos eventos con probabilidad positiva son excluyentes, entonces son dependientes: si ocurre uno, el otro queda descartado.

3. Definición clásica de probabilidad (regla de Laplace)

Si Ω es finito y todos sus eventos elementales son equiprobables (igual de probables), la probabilidad de un evento A es:

P(A) = n(A)n(Ω) = casos favorablescasos posibles

Ejemplo rápido: al lanzar un dado, P(número primo) = n({2, 3, 5}) / 6 = 3/6 = 1/2.

4. Propiedades de la probabilidad

#	Propiedad	Fórmula
1	Toda probabilidad está entre 0 y 1; el evento seguro vale 1 y el imposible 0	0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0
2	Eventos mutuamente excluyentes	P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
3	Eventos cualesquiera (regla de la suma)	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
4	Complemento (evento contrario)	P(Aᶜ) = 1 − P(A)
5	Si A ⊂ B	P(A) ≤ P(B)

Truco de examen: cuando el enunciado dice «al menos uno» o «menor que…», suele convenir calcular el complemento: P(A) = 1 − P(Aᶜ).

5. Probabilidad condicional y regla del producto

Sea P(A) > 0. La probabilidad de que ocurra B sabiendo que ya ocurrió A es:

P(B | A) = P(A ∩ B)P(A)

Despejando se obtiene la regla del producto (válida siempre, sean los eventos dependientes o no):

P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)

Si A y B son independientes, P(B | A) = P(B), y la regla se reduce a P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Aplicación 1

Sean A y B eventos con P(A) = 0,6; P(B) = 0,2 y P(B | A) = 0,1. Calcula P(A ∪ B).

Solución:
P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A) = 0,6 × 0,1 = 0,06
P(A ∪ B) = 0,6 + 0,2 − 0,06 = 0,74

Aplicación 2

Una urna tiene 4 bolas negras y 5 blancas. Se extraen 2 bolas, una tras otra y sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?

Solución: A = «la 1.ª es negra», B = «la 2.ª es negra».
P(A) = 4/9 y, tras sacar una negra, quedan 3 negras de 8 bolas: P(B | A) = 3/8.
P(A ∩ B) = 4/9 × 3/8 = 12/72 = 1/6

6. Probabilidad total y teorema de Bayes

Si los eventos A₁, A₂, …, Aₙ forman una partición de Ω (son excluyentes entre sí y su unión es Ω), la probabilidad de cualquier evento B es:

P(B) = P(A₁)·P(B | A₁) + P(A₂)·P(B | A₂) + … + P(Aₙ)·P(B | Aₙ)

Esta es la fórmula de la probabilidad total. El teorema de Bayes la usa para «invertir» la condición: conociendo que B ocurrió, calcula qué tan probable es que viniera de cada Aᵢ.

P(Aᵢ | B) = P(Aᵢ) · P(B | Aᵢ)P(B)

Aplicación 3

La urna I tiene 3 bolas negras y 4 blancas; la urna II tiene 5 negras y 3 blancas. Se elige una urna al azar y de ella se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negra?

Solución (probabilidad total):
P(negra) = (1/2)(3/7) + (1/2)(5/8) = 3/14 + 5/16 = 24/112 + 35/112 = 59/112

Y con Bayes: si la bola salió negra, ¿cuál es la probabilidad de que viniera de la urna I?
P(I | negra) = (1/2 · 3/7) / (59/112) = (24/112)/(59/112) = 24/59 ≈ 0,41.

7. Variable aleatoria discreta, esperanza y varianza

Muchas veces el resultado de un experimento se resume en un número: la cantidad de caras al lanzar monedas, el número de piezas defectuosas en una muestra, etc. Una regla que asigna un número real a cada resultado se llama variable aleatoria; si toma valores aislados (contables), es discreta.

Ejemplo: se lanzan tres monedas, Ω = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}, n(Ω) = 8. Sea X = número de caras.

Función de probabilidad f(x)

Asigna a cada valor de X su probabilidad, y todas suman 1: Σ f(xᵢ) = 1.

Resultados	X	f(x) = P(X = x)
sss	0	1/8
css, scs, ssc	1	3/8
ccs, csc, scc	2	3/8
ccc	3	1/8

Esperanza matemática (valor esperado)

E(X) = Σ xᵢ · f(xᵢ)

E(X) = 0·(1/8) + 1·(3/8) + 2·(3/8) + 3·(1/8) = 12/8 = 3/2. Es el promedio a largo plazo: en muchas tiradas de tres monedas, saldrán en promedio 1,5 caras.

Varianza

V(X) = Σ [xᵢ² · f(xᵢ)] − [E(X)]²

Σ xᵢ² f(xᵢ) = 0·(1/8) + 1·(3/8) + 4·(3/8) + 9·(1/8) = 24/8 = 3.
V(X) = 3 − (3/2)² = 3 − 9/4 = 3/4. La desviación estándar es √(3/4) ≈ 0,87.

8. Herramientas de conteo que necesitarás

Para aplicar Laplace hay que contar casos. Estas tres ideas resuelven casi todos los problemas de abajo:

Herramienta	Cuándo usarla	Fórmula
Factorial / permutación	Ordenar n objetos distintos	n! = n·(n−1)·…·1
Combinación	Elegir k de n, sin importar el orden	C(n, k) = n! / [k!(n−k)!]
Principio multiplicativo	Pasos sucesivos e independientes	m × n formas

Al «extraer dos cartas a la vez» o «escoger tres estudiantes» el orden no importa, así que se usan combinaciones.

9. 30 problemas resueltos paso a paso

Intenta resolver cada problema antes de abrir la solución. Presiona «Ver solución» para comprobar tu respuesta.

Nivel básico

1. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas muestren la misma cara?

A) 1/3 · B) 1/2 · C) 3/4 · D) 2/3 · E) 0

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Ω = {cc, cs, sc, ss} → 4 casos. Favorables: {cc, ss} → 2.
P = 2/4 = 1/2.
Respuesta: B) 1/2

2. Se lanzan dos dados y se suman sus puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que 4?

A) 1/36 · B) 1/24 · C) 1/12 · D) 3/24 · E) 1/2

Ver solución

Total: 6 × 6 = 36 casos. Suma 2: (1,1). Suma 3: (1,2), (2,1). Favorables: 3.
P = 3/36 = 1/12.
Respuesta: C) 1/12

3. De una baraja de 52 cartas se extraen dos a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean corazones?

A) 1/4 · B) 1/17 · C) 7/36 · D) 3/4 · E) 7/51

Ver solución

Casos posibles: C(52,2) = 1326. Favorables: C(13,2) = 78.
P = 78/1326 = 1/17.
Con probabilidad condicional: (13/52)(12/51) = 1/17.
Respuesta: B) 1/17

4. Antes de un partido Alianza Lima – Sporting Cristal se encuestó sobre el resultado: 80 personas dieron como ganador a SC, 25 un empate y 15 a AL. Si se toma una encuesta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dé como ganador a SC?

A) 1/3 · B) 1/2 · C) 2/3 · D) 1/4 · E) 1

Ver solución

Total de encuestas: 80 + 25 + 15 = 120.
P = 80/120 = 2/3.
Respuesta: C) 2/3

5. A una gestante le diagnostican trillizos. Suponiendo que cada bebé es varón o mujer con igual probabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que nazcan tres varones?

A) 1/2 · B) 1/4 · C) 1/8 · D) 1/16 · E) 1/3

Ver solución

Cada bebé: 2 posibilidades → 2³ = 8 casos. Solo uno es «VVV».
P = (1/2)³ = 1/8.
Respuesta: C) 1/8

6. Los «primos absolutos» de una cifra son 2, 3, 5 y 7. Si se escogen 2 de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que su suma sea también un primo absoluto?

A) 1/12 · B) 1/6 · C) 1/5 · D) 1/4 · E) 1/3

Ver solución

Pares posibles: C(4,2) = 6 → (2,3), (2,5), (2,7), (3,5), (3,7), (5,7).
Sumas: 5, 7, 9, 8, 10, 12. Son primas: 5 y 7 → 2 casos.
P = 2/6 = 1/3.
Respuesta: E) 1/3

7. En un aula hay 10 niños y 8 niñas. Si se escogen tres estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres sean niñas?

A) 7/17 · B) 7/34 · C) 5/17 · D) 7/102 · E) 6/19

Ver solución

Posibles: C(18,3) = 816. Favorables: C(8,3) = 56.
P = 56/816 = 7/102.
Respuesta: D) 7/102

8. Las letras de la palabra GRAU se ordenan al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el arreglo GRUA?

A) 1/8 · B) 3/4 · C) 1/12 · D) 1/6 · E) 1/24

Ver solución

Cuatro letras distintas: 4! = 24 ordenamientos. Solo uno es GRUA.
P = 1/24.
Respuesta: E) 1/24

9. Se ordenan en fila 2 hombres y 3 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que las mujeres queden siempre juntas?

A) 1/10 · B) 3/10 · C) 1/5 · D) 2/5 · E) 1/3

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Total: 5! = 120. Favorables: pega a las 3 mujeres como un bloque → 3 elementos (bloque + 2 hombres) se ordenan de 3! = 6 formas, y dentro del bloque 3! = 6.
Favorables = 36. P = 36/120 = 3/10.
Respuesta: B) 3/10

10. Se lanzan 3 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que 17?

A) 1/54 · B) 5/216 · C) 53/54 · D) 54/55 · E) 52/53

Ver solución

Usamos el complemento: suma ≥ 17 → suma 18: (6,6,6) = 1 caso; suma 17: permutaciones de (6,6,5) = 3 casos. Total 4 de 216.
P(suma ≥ 17) = 4/216 = 1/54 → P(suma < 17) = 1 − 1/54 = 53/54.
Respuesta: C) 53/54

Nivel intermedio

11. Una máquina expendedora tiene 38 gomas de mascar naranjas, 30 moradas y 18 amarillas. Con una moneda de S/ 1 entrega una goma al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una morada o una amarilla?

A) 10/43 · B) 25/43 · C) 28/43 · D) 24/43 · E) 34/43

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Total: 38 + 30 + 18 = 86. Eventos excluyentes: 30 + 18 = 48.
P = 48/86 = 24/43.
Respuesta: D) 24/43

12. De una bolsa con bolas numeradas del 1 al 9 se extrae una, se anota su número y se devuelve. Sean A = {x : x es primo} y B = {x : x es múltiplo de 3}. Calcula P(A ∪ B).

A) 1/9 · B) 1/3 · C) 4/9 · D) 5/9 · E) 2/3

Ver solución

A = {2, 3, 5, 7} → 4; B = {3, 6, 9} → 3; A ∩ B = {3} → 1.
P(A ∪ B) = 4/9 + 3/9 − 1/9 = 6/9 = 2/3.
Respuesta: E) 2/3

13. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda y un número compuesto al lanzar un dado?

A) 1/4 · B) 1/6 · C) 2/3 · D) 2/9 · E) 5/12

Ver solución

Eventos independientes. P(cara) = 1/2. Compuestos en el dado: {4, 6} → P = 2/6 = 1/3 (el 1 no es primo ni compuesto).
P = 1/2 × 1/3 = 1/6.
Respuesta: B) 1/6

14. Una canasta tiene 30 bates, 15 guantes y 60 pelotas de béisbol. Se extraen dos objetos uno por uno, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un bate y luego una pelota?

A) 7/15 · B) 2/13 · C) 15/91 · D) 1/7 · E) 2/7

Ver solución

Total: 105 objetos. P(bate) = 30/105; luego quedan 104 objetos y 60 pelotas: P(pelota | bate) = 60/104.
P = (30/105)(60/104) = (2/7)(15/26) = 30/182 = 15/91.
Respuesta: C) 15/91

15. Se extrae un bolo de 10 numerados del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 3, sabiendo que es par?

A) 2/5 · B) 1/5 · C) 1/10 · D) 1/8 · E) 3/5

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Pares: {2, 4, 6, 8, 10} → 5 casos. De ellos, múltiplo de 3: solo el 6.
P(múltiplo de 3 | par) = 1/5.
Respuesta: B) 1/5

16. Sean A y B eventos con P(A) = 1/3 y P(B) = 1/2. Si A está contenido en B, halla la probabilidad de que ocurra B pero no A.

A) 5/6 · B) 3/8 · C) 1/6 · D) 1/8 · E) 5/24

Ver solución

Como A ⊂ B: P(B − A) = P(B) − P(A) = 1/2 − 1/3 = 1/6.
Respuesta: C) 1/6

17. Sean A y B eventos con P(A) = 0,4 y P(B) = 0,7. Halla el mayor valor posible de P(A ∩ B).

A) 0,3 · B) 0,7 · C) 0,1 · D) 0,2 · E) 0,4

Ver solución

La intersección no puede superar a ninguno de los dos eventos: P(A ∩ B) ≤ mín{0,4; 0,7} = 0,4. Se alcanza cuando A ⊂ B (compatible con P(A ∪ B) = 0,7 ≤ 1).
Respuesta: E) 0,4

18. Sean M y T eventos con P(M) = 3/8, P(T) = 1/2 y P(M ∩ T) = 1/4. Halla P(Mᶜ ∩ Tᶜ).

A) 1/10 · B) 1/4 · C) 3/8 · D) 1/2 · E) 5/8

Ver solución

P(M ∪ T) = 3/8 + 1/2 − 1/4 = 3/8 + 4/8 − 2/8 = 5/8.
Por De Morgan: P(Mᶜ ∩ Tᶜ) = 1 − P(M ∪ T) = 1 − 5/8 = 3/8.
Respuesta: C) 3/8

19. En un lote de 12 productos, 6 tienen fallas. Si se escogen 7 al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 con fallas y 4 sin fallas?

A) 25/66 · B) 35/66 · C) 15/66 · D) 25/96 · E) 55/96

Ver solución

Distribución hipergeométrica: P = C(6,3)·C(6,4) / C(12,7) = (20 × 15)/792 = 300/792 = 25/66.
Respuesta: A) 25/66

20. Cinco libros (3 de álgebra y 2 de aritmética) se ordenan en un estante. ¿Cuál es la probabilidad de que los de aritmética queden separados por los 3 de álgebra?

A) 1/2 · B) 1/3 · C) 1/4 · D) 1/5 · E) 1/10

Ver solución

Para que los 3 de álgebra queden entre los de aritmética, estos deben ocupar los extremos (posiciones 1 y 5).
Las 2 posiciones de aritmética se eligen entre 5: C(5,2) = 10 formas igual de probables; solo una es {1, 5}.
P = 1/10.
Respuesta: E) 1/10

Nivel avanzado

21. Quieres llamar a una amiga. Recuerdas los tres primeros dígitos de su número, pero olvidaste los últimos cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de marcar el número correcto en un solo intento?

A) 3/10⁷ · B) 7/10⁴ · C) 3/10⁴ · D) 1/10⁷ · E) 1/10⁴

Ver solución

Cuatro dígitos desconocidos, cada uno con 10 opciones: 10⁴ combinaciones. Solo una es correcta.
P = 1/10⁴ = 1/10 000.
Respuesta: E) 1/10⁴

22. De 4 números positivos y 5 negativos, todos distintos, se eligen 3 al azar (sin sustitución) y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea positivo?

A) 11/21 · B) 1/3 · C) 1/6 · D) 9/14 · E) 4/21

Ver solución

Total: C(9,3) = 84. El producto es positivo si hay 0 o 2 negativos:
• 3 positivos: C(4,3) = 4.
• 2 negativos y 1 positivo: C(5,2)·C(4,1) = 10 × 4 = 40.
Favorables = 44 → P = 44/84 = 11/21.
Respuesta: A) 11/21

23. En una unidad de cuidados intensivos (UCI), el 6,9 % de los pacientes ingresa con una infección comunitaria y el 13,7 % adquiere una infección intrahospitalaria. El 1,5 % presenta ambos tipos. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar tenga infección de cualquier tipo?

A) 0,54 · B) 0,122 · C) 0,221 · D) 0,191 · E) 0,206

Ver solución

Regla de la suma: P(C ∪ I) = 0,069 + 0,137 − 0,015 = 0,191.
Respuesta: D) 0,191

24. A un mono se le dan 12 bloques: tres cuadrados, tres rectángulos, tres triángulos y tres círculos. ¿Cuál es la probabilidad de que los coloque en orden por tipo, es decir, los tres de cada forma seguidos (por ejemplo, tres triángulos, luego tres cuadrados, etc.)?

A) 4!(3!)⁴/12! · B) (3!)⁴/12! · C) 4!/12! · D) (4!)⁴/12! · E) 3!(4!)⁴/12!

Ver solución

Consideramos los 12 bloques como distintos: casos posibles = 12!.
Favorables: ordenar los 4 grupos de tipos → 4! formas; dentro de cada grupo, 3! formas → (3!)⁴.
P = 4!·(3!)⁴ / 12!.
Respuesta: A) 4!(3!)⁴/12!

25. Cinco fabricantes producen un dispositivo electrónico y su calidad varía de uno a otro. Si eliges tres fabricantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la selección contenga exactamente dos de los tres mejores?

A) 7/10 · B) 3/5 · C) 3/10 · D) 1/2 · E) 6/11

Ver solución

Total: C(5,3) = 10. Favorables: 2 de los 3 mejores y 1 de los 2 restantes → C(3,2)·C(2,1) = 3 × 2 = 6.
P = 6/10 = 3/5.
Nota: si el enunciado fuera «al menos dos», habría que sumar el caso de los 3 mejores (1/10) y daría 7/10.
Respuesta: B) 3/5

26. En una población, el 51 % son varones y el 49 % mujeres. La tabla muestra las proporciones de daltonismo:
Daltónicos: varones 0,04 · mujeres 0,002 · total 0,042.
No daltónicos: varones 0,47 · mujeres 0,488 · total 0,958.
Si se elige una persona y es varón, ¿cuál es la probabilidad de que sea daltónico?

A) 2/490 · B) 40/51 · C) 20/21 · D) 4/51 · E) 2/21

Ver solución

P(daltónico | varón) = P(daltónico ∩ varón) / P(varón) = 0,04/0,51 = 4/51 ≈ 0,078.
Respuesta: D) 4/51

27. Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular. Halla la probabilidad de que dos personas determinadas queden en lugares contiguos.

A) 2/5 · B) 1/5 · C) 1/10 · D) 1/8 · E) 3/5

Ver solución

Fija a la primera persona. La segunda puede ocupar cualquiera de los 5 asientos restantes, y 2 de ellos son contiguos (uno a cada lado).
P = 2/5.
Respuesta: A) 2/5

28. El 3 % de una población adulta practica natación y el 20 % de esa misma población vive en zona rural. Si ambos eventos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que un adulto elegido al azar practique natación y además viva en zona rural?

A) 1/125 · B) 3/500 · C) 23/1000 · D) 17/1000 · E) 1/250

Ver solución

Por independencia: P = 0,03 × 0,20 = 0,006 = 6/1000 = 3/500.
Respuesta: B) 3/500

Nota: se reformuló el contexto del problema original, manteniendo los mismos datos numéricos.

29. Una caja tiene 7 bolas rojas y 3 blancas. Se sacan 3 bolas una tras otra, sin reposición. Halla la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca.

A) 9/40 · B) 13/50 · C) 7/30 · D) 7/40 · E) 21/80

Ver solución

P = (7/10)·(6/9)·(3/8) = 126/720 = 7/40.
Respuesta: D) 7/40

30. En un estudio de aguas cercanas a centrales eléctricas e industrias, el 5 % de las muestras presenta contaminación química y térmica, y el 35 % presenta contaminación térmica. Si un arroyo muestra contaminación térmica, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga contaminación química?

A) 1/7 · B) 5/7 · C) 6/7 · D) 2/7 · E) 4/7

Ver solución

P(química | térmica) = P(química ∩ térmica) / P(térmica) = 0,05/0,35 = 5/35 = 1/7.
Respuesta: A) 1/7

10. Tabla de respuestas

N.º	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Resp.	B	C	B	C	C	E	D	E	B	C
N.º	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Resp.	D	E	B	C	B	C	E	C	A	E
N.º	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Resp.	E	A	D	A	B	D	A	B	D	A

11. Preguntas frecuentes sobre probabilidades

¿Qué es la probabilidad de un evento?

Es un número entre 0 y 1 que mide qué tan posible es que el evento ocurra. 0 significa imposible y 1 significa seguro. Cuando todos los resultados son igual de probables, se calcula como casos favorables entre casos posibles.

¿Cuál es la diferencia entre eventos mutuamente excluyentes y eventos independientes?

Los excluyentes no pueden ocurrir a la vez (A ∩ B = ∅). Los independientes sí pueden ocurrir juntos, y la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro (P(A ∩ B) = P(A)·P(B)).

¿Cuándo uso combinaciones y cuándo permutaciones?

Usa combinaciones cuando solo importa qué elementos se eligen (por ejemplo, sacar dos cartas a la vez). Usa permutaciones o factoriales cuando importa el orden (por ejemplo, ordenar letras o personas en fila).

¿Cuál es la diferencia entre probabilidad total y teorema de Bayes?

La probabilidad total calcula P(B) combinando varios «caminos» posibles. El teorema de Bayes hace el camino inverso: dado que B ocurrió, calcula la probabilidad de cada camino.

¿Qué significa la esperanza matemática?

Es el valor promedio que se obtendría al repetir el experimento muchísimas veces. No tiene por qué ser un valor que la variable pueda tomar realmente (por ejemplo, 1,5 caras).

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