Prueba de la XIX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2023) Etapa DRE - Nivel 3 Fase 3
EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.
1. En un restaurante de Arequipa por cada 5 platos de adobo arequipeño se venden 4 platos de rocoto relleno y por cada 3 platos de rocoto relleno se venden 2 platos de chupe de camarones. Cierto día se vendieron, en total, 210 platos de adobo arequipeño, rocoto relleno y chupe de camarones. ¿Cuántos platos de adobo arequipeño se vendieron ese día?
2. El mapa de un pueblo indica que 1 cm en el mapa equivale a 30 m en la realidad. En el mapa se observa que el terreno de mi abuelo tiene forma de rectángulo, donde uno de los lados es 1 cm mayor que el otro. Si el terreno de mi abuelo en realidad tiene 18000 m2 de área, calcule su perímetro en metros.
3. Un cubo tiene una cara pintada de rojo, dos caras pintadas de verde y tres caras pintadas de azul. El cubo se lanza tres veces seguidas. Si p es la probabilidad de que la primera vez salga rojo, la segunda vez salga verde y la tercera vez salga azul, determine el valor de 360p.
4. Juan elige tres n´umeros enteros a, b, c cuya suma es 1 y escribe los siguientes n´umeros:
1 − a, 1 − b, 1 − c, ab + bc + ca, abc.
Si al ordenar los números que escribió Juan, de menor a mayor, obtenemos −10, −3, 2, 3, 8, encuentre el valor de a^2 + b^2 + c^2.
5. Sean ABCD un rectángulo y M el punto medio del lado BC. Sea P el punto de intersección de los segmentos AM y BD. Si P C = CD = 4√2, determine la longitud del lado AD.
6. Determine cuántos enteros positivos n, con 1 < n < 100, cumplen que la suma de todos los divisores positivos de n^2 + 2n es n^2 + 4n + 3.
7. Tres hormigas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de 22 cm de lado. Comienzan a recorrer los lados del triángulo en las direcciones mostradas con velocidades de 1 cm/min, 2 cm/min y 3 cm/min y se detienen en el momento en que la hormiga más rápida llega a un vértice. Determine luego de cuántos minutos de iniciado el recorrido se cumple que el área del triángulo formado por las hormigas es mínima.
Aclaración: 1 cm/min significa 1 centímetro por minuto.
8. Luz Mery quiere escribir el número 2023 pero con más de un cero, es decir, quiere escribir un número de la forma:
donde k > 1. Determine el menor valor posible de k si el n´umero de Luz Mery debe ser múltiplo de 2023.
9. Los cinco vértices de un pentágono ABCDE pertenecen a una circunferencia de radio R. Si AB = BC = 3, CD = DE = 5 y EA = 7, determine el valor de 12 · R^2.
10. Determine de cuántas maneras distintas se puede colocar 8 fichas L-triminó en el siguiente tablero de 3 × 15 si ninguna ficha puede cubrir una casilla negra y, además, las fichas no se deben superponer.
