ONEM-AA 2025 Etapa I.E. - Nivel 3

XXI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática - Aceros Arequipa ONEM-AA 2025 Etapa I.E. - Nivel 3

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Problemas

1. Los hijos de Francisca: Antonio, Benito, Camilo, Danilo y Elmer, prepararon un discurso cada uno para dedicar a su madre. Acordaron que, por turnos, Antonio tendría 5 minutos para hablar, Benito 6 minutos, Camilo 7 minutos, Danilo 8 minutos y Elmer 9 minutos. Se sabe que Antonio habló antes que Danilo, Benito habló después de Elmer, pero antes que Camilo, Elmer no fue el primero en hablar, y Danilo habló inmediatamente después de Benito. ¿Cuántos minutos de discurso tuvo el hijo que habló en segundo lugar?

Respuesta: Elmer, quien habló en segundo lugar, tuvo 9 minutos de discurso.

2. Se sabe que la figura mostrada a continuación ha sido construida uniendo los siguientes tipos de cuadrados:

• 1 cuadrado grande de 9 cm de lado.

• 3 cuadrados medianos de 3 cm de lado.

• 9 cuadrados pequeños de 1 cm de lado.

Determine el valor del perímetro de esta figura en cm.

Respuesta: El valor del perímetro de esta figura es 72 cm.

3. El profesor de matemáticas escribió en la pizarra todos los números de dos cifras en los que la cifra de las unidades es mayor que el doble de la cifra de las decenas. Luego, dejó como tarea, sumar todos los números escritos en la pizarra. Determine el valor de dicha suma.

Respuesta: Suma total = 112+135+114+49. Suma total = 410.

4. Un banco muy especial ofrece el siguiente servicio: el cliente debe depositar una cantidad entera de soles y por cada mes que el cliente deje su dinero, el banco duplicará el dinero de su cliente y cobrará un sol de comisión. Por ejemplo, si un cliente deposita 10 soles en enero y lo retira luego de

• 1 mes, recibirá 19 soles en febrero.

• 2 meses, recibirá 37 soles en marzo.

• 3 meses, recibirá 73 soles en abril.

• 4 meses, recibirá 145 soles en mayo.

El banco impone además un monto máximo de dinero que un cliente puede retirar: si en algún momento el dinero acumulado en la cuenta del cliente resulta mayor a 2exp(25) soles, entonces el banco se quedará con todo el dinero. ¿Cuántos soles debe depositar un cliente en este banco para que luego de 20 meses retire la mayor cantidad de soles posible?

Respuesta: La mayor cantidad de soles posible que se puede retirar es ... soles, y para lograrlo, se debe depositar 32 soles.

5. Juan y Guillermo necesitaban comprar una mesa cada uno y encontraron juntos un lindo modelo. Juan compró una para él y la pagó en 12 cuotas mensuales del mismo valor, incluyendo intereses. Guillermo también compró una para él, pero prefirió pagarla en 6 cuotas mensuales del mismo valor, incluyendo intereses. Así, el pago mensual de Guillermo resultó ser 50 soles más que el pago mensual de Juan. Si Juan terminó pagando 10 % más, respecto al precio de tienda, y a su vez Guillermo terminó pagando 5 % más, respecto a ese mismo precio de tienda, ¿cuántos soles terminó pagando Juan por la mesa?

Respuesta: Juan terminó pagando 660 soles por la mesa.

6. En el cálculo del impuesto a la renta, se consideran tasas diferenciadas dependiendo del monto facturado. Este cálculo sigue una función lineal por tramos, teniendo una pendiente inicial hasta el valor de N y luego cambiando la pendiente, tal como se muestra en la gráfica (eje horizontal en miles de soles y eje vertical en soles). Calcule el valor de N.

 Respuesta: El valor de N es 23.

7. La siguiente figura muestra un semicírculo de 50 cm de radio. El segmento AB es diámetro del semicírculo, el segmento AC mide 80 cm y los ángulos ∠DAC y ∠CAB miden lo mismo.

Determine el valor de la longitud del segmento AD en cm.

Respuesta: AD=28 cm es la longitud correcta.

8. El 46 % de los estudiantes del colegio Aceritos School proviene del Cono Norte de Lima, el 42 % proviene del Cono Sur de Lima, y el 12 % proviene del Cono Este. En el aniversario del colegio, el director elegirá al azar a dos estudiantes para ser los encargados de izar la bandera ese día. Si la probabilidad de que los dos estudiantes elegidos provengan de conos distintos es del 60 %, ¿cuántos estudiantes tiene el colegio?

Respuesta: El colegio tiene 250 estudiantes.

9. Para celebrar el Día Internacional de los Números, se construyó un muro con una forma muy singular y sobre él se escribieron los primeros diez mil números distribuidos de la forma que se muestra en la figura.

Si el 1 fue escrito en la columna número uno, el 2 y el 3 fueron escritos en la columna número dos, ¿en qué número de columna fue escrito el 2025?

Respuesta: El número 2025 está entre ... y ... , por lo tanto, está en la columna 168.

10. Ana eligió cuatro números enteros positivos. Luego, Mario calculó el máximo común divisor de cada pareja de los números elegidos por Ana, obteniendo así seis números, todos distintos entre sí. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar la suma de los seis números obtenidos por Mario?

Respuesta: La suma es 25.