Escala numérica y gráfica | Sesión 09 Matemática 1 Secundaria + Ficha de trabajo

Trazamos las rutas comerciales desde Pichugán en mapas: Coordenadas Cartesianas en 1.° de Secundaria

Sesión 09 | Unidad 02 | Matemática | I.E. "José Gálvez Egúsquiza" – Pichugán, Cajamarca
Por Prof. Carlos Guarniz · 24 de junio de 2026 · ⏱ 2 horas pedagógicas (90 min)

¿De qué trata esta sesión?

Cuando las familias de Pichugán llevan sus alforjas tejidas a la feria de Chota, o cuando traen maíz desde Conchán, están recorriendo rutas que pueden describirse matemáticamente con precisión. En esta sesión de aprendizaje los estudiantes de 1.° de Secundaria aprendieron a convertir esos caminos reales en vectores y segmentos sobre un plano cartesiano, utilizando coordenadas, escalas y el Teorema de Pitágoras para calcular distancias sin necesidad de recorrerlas físicamente.

El enfoque etnomatemático permite que los saberes abstractos de la geometría analítica cobren sentido en el contexto vivo de la comunidad: Pichugán se convierte en el origen de coordenadas (0,0) y los distritos vecinos en puntos del plano, conectados por los mismos caminos que recorren las familias cada semana de mercado.

Propósito y competencia CNEB-MINEDU

La sesión desarrolla la competencia "Resuelve problemas de forma, movimiento y localización" del Currículo Nacional de la Educación Básica. La intención pedagógica es que los estudiantes sean capaces de:

• Describir la ubicación de comunidades y puntos comerciales usando pares ordenados en el plano cartesiano.
• Graficar vectores de desplazamiento y calcular distancias geométricas lineales mediante la escala del mapa.
• Plantear y justificar rutas óptimas de transporte de mercancías combinando distintas trayectorias y direcciones cardinales.

Conceptos matemáticos fundamentales de la sesión

1. Sistema de Coordenadas Cartesianas

Es un sistema bidimensional formado por dos rectas perpendiculares: el eje X (horizontal o de abscisas) y el eje Y (vertical o de ordenadas). El punto donde se cruzan se llama origen de coordenadas (0, 0). En esta sesión, el origen representa la comunidad de Pichugán.

2. Par Ordenado (x, y)

Un par ordenado identifica una posición única en el plano. El primer valor x indica el desplazamiento horizontal (positivo = este; negativo = oeste) y el segundo valor y indica el desplazamiento vertical (positivo = norte; negativo = sur). El orden importa: el punto (5, 12) y el punto (12, 5) son ubicaciones distintas en el mapa.

3. Los cuatro cuadrantes

El plano cartesiano queda dividido en cuatro cuadrantes según el signo de las coordenadas:

• Cuadrante I: (+, +) → noreste
• Cuadrante II: (−, +) → noroeste
• Cuadrante III: (−, −) → suroeste
• Cuadrante IV: (+, −) → sureste

4. Distancia entre dos puntos (Teorema de Pitágoras aplicado)

Para calcular la distancia en línea recta entre el origen P(0, 0) y cualquier punto del plano se forma un triángulo rectángulo donde los catetos son las componentes horizontal y vertical del desplazamiento. La fórmula general es:

d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

En el problema principal de la sesión: distancia de Pichugán P(0,0) a la Feria de Chiguirip A(5, 12):

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 unidades

5. Escala del mapa

La escala establece la relación de proporción entre la medida en el mapa y la distancia real en el terreno. Si 1 unidad de cuadrícula = 2 km, entonces:

Distancia real = 13 unidades × 2 km/unidad = 26 kilómetros

Secuencia didáctica de la sesión (90 minutos)

🟡 Inicio – Motivación y conflicto cognitivo (20 min)

El prof. Guarniz inició la sesión con el mapa de la provincia de Chota sobre la pizarra y lanzó la pregunta generadora a la clase:

"Cuando nuestras familias viajan a vender las alforjas o a comprar productos que no se siembran aquí, ¿qué caminos toman? Si quisiéramos representar matemáticamente la distancia exacta entre Pichugán, Chiguirip y la ciudad de Chota, ¿qué herramientas nos ofrece la geometría para no perdernos?"

Los estudiantes mencionaron las carreteras locales, los caminos de herradura y cómo estiman el tiempo de viaje en horas o kilómetros. A continuación se presentó el conflicto cognitivo: si Pichugán está en el (0,0), Chiguirip queda 4 unidades al norte y 3 al este, y la feria de Chota a 8 al sur y 6 al oeste, ¿cuál trayecto es el más corto sin usar una cinta métrica sobre el mapa?

El propósito de la sesión se escribió en la pizarra y quedó visible todo el tiempo de clase.

🟢 Desarrollo – Trabajo matemático (55 min)

Problema central: Rutas de tejidos desde Pichugán

Establecido el sistema cartesiano local con Pichugán en el origen P(0,0), se identificaron tres destinos de entrega de tejidos:

• Feria de Chiguirip – Destino A(5, 12) → Cuadrante I
• Mercado de Conchán – Destino B(−8, 6) → Cuadrante II
• Plaza Comercial de Chota – Destino C(9, −4) → Cuadrante IV

Los estudiantes resolvieron el reto en tres pasos:

1. Graficar el plano y ubicar P, A, B y C con papel milimetrado, regla y escuadra.
2. Trazar los vectores de desplazamiento directo desde Pichugán hacia cada destino.
3. Calcular la distancia a Chiguirip aplicando el Teorema de Pitágoras:
   • d² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
   • d = √169 = 13 unidades
   • Distancia real = 13 × 2 km = 26 km

Técnica del museo

Los equipos pegaron sus planos cartesianos en las paredes del aula. Un representante de cada grupo explicó cómo aplicaron las propiedades del triángulo rectángulo sobre la cuadrícula para deducir distancias geográficas reales, promoviendo la socialización de estrategias y el aprendizaje entre pares.

Formalización de conceptos

El docente sistematizó los conceptos clave en la pizarra: sistema de coordenadas, par ordenado, fórmula de distancia entre dos puntos y escala del mapa. Luego entregó la ficha de aprendizaje individual para consolidar el aprendizaje.

🔵 Cierre – Metacognición y evaluación (15 min)

Los estudiantes reflexionaron respondiendo individualmente tres preguntas metacognitivas:

• ¿Qué estrategias me ayudaron a ubicar correctamente los pares ordenados con números negativos?
• ¿De qué manera la geometría nos ayuda a calcular rutas de viaje sin necesidad de recorrerlas previamente?
• ¿Cómo cambia la distancia real si modificamos el valor de la escala de la cuadrícula?

Se recolectaron los planos cartesianos y las fichas para evaluar con la Rúbrica Analítica (niveles: Inicio – Proceso – Logrado – Destacado).

Ficha de aprendizaje: 10 problemas propuestos (Descarga aquí)

La sesión incluyó una ficha individual con problemas contextualizados en las rutas comerciales de la región. Se presentan a continuación para que puedas practicar:

Problema 1 – Par ordenado

Pichugán está en el origen P(0,0). Si la comunidad de Lajas se ubica 7 unidades al este y 4 unidades al norte, escribe el par ordenado que representa a Lajas.

Problema 2 – Cuadrantes

Un camión sale de Pichugán P(0,0) hacia una bodega comunal en M(−6, −8). ¿En qué cuadrante está la bodega? Explica el significado de los signos negativos.

Problema 3 – Graficación

Grafica en papel cuadriculado los centros de acopio de lana: X(4, 3), Y(−5, 2) y Z(0, −6).

Problema 4 – Distancia con Pitágoras

Un comerciante viaja de P(0,0) a la feria ganadera G(6, 8). Calcula la distancia en unidades usando el Teorema de Pitágoras.

Problema 5 – Escala y distancia real

Si 1 unidad de cuadrícula = 3 km, ¿cuántos kilómetros reales recorrió el comerciante del Problema 4?

Problema 6 – Segmento horizontal

La ruta entre A(−3, 2) y B(5, 2): a) ¿Es horizontal o vertical? b) ¿Cuántas unidades separan A de B?

Problema 7 – Vector de desplazamiento y conversión de unidades

Un tejedor va de K(2, 1) a L(2, 10): a) Calcula la distancia en unidades. b) Si 1 unidad = 500 m, ¿cuántos kilómetros recorrió en total?

Problema 8 – Tabla analítica de coordenadas

Completa la tabla de destinos desde Pichugán (escala: 1 u = 5 km):

Punto de Destino	Coordenadas (x, y)	Cuadrante	Distancia al origen (u)	Distancia real (km)
Feria Frutícola	(3, 4)	I	5 u	25 km
Tambo del Norte	(−12, 5)	?	?	?
Almacén Central	(0, 7)	Eje Y	?	?

Problema 9 – Punto medio

Un transportista va de P(0,0) a R(8, 15). Debe detenerse exactamente a la mitad para cargar combustible. Calcula las coordenadas del punto medio usando: M = ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2).

Problema 10 – Triángulo rectángulo en el mapa

Una ruta de turismo vivencial conecta A(1, 2), B(9, 2) y C(9, 8) formando un triángulo rectángulo. Grafica los tres puntos, traza la hipotenusa CA y calcula su longitud.

Atención a la diversidad e inclusión

Para estudiantes con dificultades en el pensamiento abstracto o espacial —especialmente al trabajar con coordenadas de signo negativo—, la sesión incorporó el uso de un tablero de geoplano (plano cartesiano termoformado con relieve). Con ligas elásticas de colores los estudiantes enganchan físicamente los puntos desde el origen hacia los cuadrantes, palpando las componentes horizontales y verticales antes de trasladarlas al papel. Esta estrategia favorece la comprensión kinestésica del sistema de coordenadas.

Retroalimentación reflexiva o por descubrimiento

Ante errores frecuentes como invertir el orden del par ordenado, el docente no revela directamente la respuesta. En cambio, guía al estudiante con preguntas de descubrimiento:

"Observa el punto B(−8, 6) que has dibujado. ¿El primer número se busca en la recta horizontal o en la vertical? Si caminamos hacia la izquierda en el eje horizontal, ¿encontramos números positivos o negativos? Vuelve a trazar tus pasos desde el centro y verifica si tu destino se encuentra en el cuadrante correcto."

Esta estrategia desarrolla el pensamiento crítico y la autonomía del estudiante en el proceso de verificación matemática.

Preguntas frecuentes sobre coordenadas cartesianas

¿Qué son las coordenadas cartesianas y cómo se usan en mapas?

El sistema de coordenadas cartesianas usa dos ejes perpendiculares (X e Y) para ubicar cualquier punto del plano mediante un par ordenado (x, y). En un mapa, elegimos un punto de referencia como origen (0,0) —en esta sesión, la comunidad de Pichugán— y expresamos la posición de los demás lugares respecto a él.

¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano?

Se aplica la fórmula derivada del Teorema de Pitágoras: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. La diferencia entre las coordenadas x forma el cateto horizontal, y la diferencia entre las coordenadas y forma el cateto vertical del triángulo rectángulo imaginario.

¿Qué es la escala de un mapa y cómo se aplica matemáticamente?

La escala relaciona cada unidad del dibujo con una distancia real. Si 1 cuadrícula = 2 km y la distancia calculada es 13 unidades, entonces la distancia real es 13 × 2 = 26 km.

¿Cómo se determina en qué cuadrante está un punto?

Observa los signos del par ordenado: Cuadrante I (+,+), Cuadrante II (−,+), Cuadrante III (−,−), Cuadrante IV (+,−). Si una coordenada es 0, el punto está sobre uno de los ejes, no en un cuadrante.

¿Por qué es importante el orden en un par ordenado?

Porque (x, y) ≠ (y, x) en general. El primer número siempre se mide sobre el eje horizontal y el segundo sobre el eje vertical. Invertirlos coloca el punto en una ubicación completamente diferente del mapa.

Referencias bibliográficas

• Ministerio de Educación del Perú. (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica. Lima: MINEDU.
• Ministerio de Educación del Perú. (2020). Texto Escolar de Matemática para 1.° de Secundaria. Lima: MINEDU.