ONEM 2026 Etapa IE Nivel 3 Análisis + Descarga

ONEM 2026 Nivel 3: análisis completo de la prueba Etapa I.E. para 5° de secundaria (Descarga aquí)

El 08 de julio de 2026 se tomó la Etapa I.E. (Institución Educativa) del Nivel 3 de la XXII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2026), organizada por el Ministerio de Educación del Perú junto con Aceros Arequipa y Empresarios por la Educación. Este nivel está dirigido a los estudiantes de 5° grado de secundaria y constituye la primera fase del proceso clasificatorio hacia las etapas UGEL, DRE y nacional.

En este artículo revisamos la estructura de la prueba, los temas que evalúa cada uno de sus 10 problemas y algunas recomendaciones para docentes que preparan a sus estudiantes rumbo a las siguientes etapas.

Estructura general de la prueba

• Nivel: Nivel 3 (5° grado de secundaria)
• Fecha de aplicación: 08 de julio de 2026
• Duración máxima: 120 minutos
• Número de problemas: 10
• Material permitido: ninguno (no se permite calculadora, apuntes ni libros)
• Formato de respuesta: todos los resultados son números enteros positivos, sin desarrollo escrito de por medio en la hoja de respuestas
• Criterio de desempate: la hora de entrega de la hoja de respuestas

Temas evaluados, problema por problema

Problema 1 — Decrecimiento porcentual sucesivo

Parte de una camiseta de algodón que se encoge un 10 % de su longitud en cada lavado. Evalúa el manejo de porcentajes aplicados de forma sucesiva (decrecimiento tipo interés compuesto) y la comparación de una magnitud decreciente contra un valor umbral, identificando después de cuántas repeticiones se cruza ese límite.

Problema 2 — Porcentajes sobre poblaciones que cambian

Un problema clásico de variación porcentual al incorporar nuevos elementos a un grupo: se parte de un porcentaje inicial sobre un total y se agregan miembros solo a una de las categorías, pidiendo el nuevo porcentaje sobre el nuevo total. Refuerza la diferencia entre porcentaje de una parte y porcentaje del todo cuando ambos cambian.

Problema 3 — Promedio ponderado con restricciones enteras

Con 30 estudiantes de 12, 13 o 14 años y un promedio de edades de 12.7, el problema pide el máximo número posible de estudiantes de 14 años. Es un ejercicio de optimización bajo una restricción de promedio, resuelto mediante desigualdades y análisis de casos con valores enteros.

Problema 4 — Coloreo y mínimos en un tablero 3×3

En un tablero de 9 casillas se deben colocar enteros positivos distintos de modo que la suma de cada par de casillas vecinas sea múltiplo de 3. El problema exige razonar sobre clases de residuos módulo 3 y estructuras de vecindad en una cuadrícula para hallar la suma mínima posible, combinando teoría de números elemental con razonamiento combinatorio espacial.

Problema 5 — Probabilidad con urnas

Un problema de probabilidad clásica: dado un conjunto de urnas con papeles numerados 1 y 2, hay que determinar en cuál urna se debe añadir un papel adicional para que la suma de los tres números extraídos (uno por urna) sea par exactamente con 50 % de probabilidad. Requiere construir el espacio muestral y trabajar con paridad de sumas.

Problema 6 — Áreas en un cuadrado con circunferencia inscrita

A partir de un cuadrado ABCD de área conocida y una circunferencia de centro O, se pide el área de una región sombreada formada por segmentos entre vértices y el centro. Combina propiedades del cuadrado, la circunferencia circunscrita y descomposición de áreas mediante triángulos.

Problema 7 — Punto interior a un cuadrado (tipo "teorema de la bandera británica")

Con un punto P interior al cuadrado y distancias conocidas a tres vértices (AP=2, BP=4, CP=6), se pide el área de la región sombreada APC. Este problema se asocia a relaciones métricas de tipo teorema de la bandera británica (British Flag Theorem) y a la construcción de triángulos auxiliares por rotación.

Problema 8 — Optimización combinatoria con secuencias binarias

Dada una fila de 7 números (0 o 1), se define S como la suma de todos y P como la suma de productos de números vecinos consecutivos; se pide el valor máximo de S − P. Es un problema de optimización combinatoria discreta que exige analizar cómo la posición de los ceros y unos afecta simultáneamente ambas cantidades.

Problema 9 — Progresiones aritméticas y divisibilidad

Se busca el máximo número de términos de una progresión aritmética de enteros positivos donde la razón es mayor que el primer término, ningún término (desde el segundo) es múltiplo del primero, y todos los términos son menores que 2026. Integra progresiones aritméticas, divisibilidad y acotamiento de variables enteras, un tipo de problema recurrente en las etapas avanzadas de la ONEM.

Problema 10 — Diagonales en tableros rectangulares numerados

En un tablero de m filas por n columnas (m ≤ n) numerado consecutivamente, se pide el mayor valor posible de m si la suma de los números de la diagonal principal es 1000. Combina sucesiones aritméticas asociadas a la diagonal de una matriz numerada con ecuaciones diofánticas y análisis de casos según los divisores de un número.

¿Qué competencias del Currículo Nacional (CNEB) se ponen en juego?

Aunque la ONEM no sigue exactamente la secuencia curricular de una unidad didáctica, sus problemas movilizan de forma integrada las competencias "Resuelve problemas de cantidad", "Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio", "Resuelve problemas de forma, movimiento y localización" y "Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre", exigiendo a los estudiantes transferir procedimientos aprendidos en clase a situaciones no rutinarias, con múltiples pasos de razonamiento y sin apoyo de calculadora.

Recomendaciones para la preparación de estudiantes

• Practicar problemas de razonamiento con porcentajes sucesivos y variación porcentual sobre poblaciones que cambian.
• Reforzar la resolución de problemas de optimización con restricciones enteras (promedios, sumas acotadas).
• Trabajar problemas de geometría con puntos interiores y circunferencias, incluyendo construcciones auxiliares (rotaciones, triángulos equiláteros).
• Practicar conteo, probabilidad y paridad en contextos con extracción de elementos.
• Familiarizarse con argumentos de divisibilidad y progresiones aritméticas típicos de las olimpiadas.

Conclusión

La Etapa I.E. Nivel 3 de la ONEM 2026 confirma el nivel de exigencia que caracteriza a esta olimpiada: problemas breves en su enunciado, pero que requieren varios pasos de razonamiento matemático genuino. Para los docentes de 5° de secundaria, esta prueba es una excelente fuente de problemas para enriquecer las sesiones de razonamiento matemático y preparar a los estudiantes hacia las siguientes etapas clasificatorias.

Etiquetas: ONEM 2026, Olimpiada Nacional Escolar de Matemática, ONEM Nivel 3, 5to de secundaria, razonamiento matemático, progresiones aritméticas, probabilidad, geometría del cuadrado, olimpiadas matemáticas Perú