Sesión 08 Matemática 5° Secundaria | Cuantiles: Cómo Calcular Cuartiles, Deciles y Percentiles en Datos Agrupados

Segmentando el Rendimiento Comunitario: Cuartiles, Deciles y Percentiles para Datos Agrupados

Sesión de aprendizaje de Matemática — 5.° grado de secundaria — Unidad 3 — I.E. "José Gálvez Egúsquiza", Pichugán, Chota, Cajamarca

¿Sabías que el mismo dato puede leerse de tres formas distintas — como cuartil, como decil o como percentil — y aun así significar exactamente lo mismo? En esta sesión, los estudiantes de 5.° de secundaria de Pichugán aprenden a calcular e interpretar las medidas de localización (cuartiles, deciles y percentiles) para segmentar el rendimiento productivo y socioeconómico de su propia comunidad, usando datos de cosechas de papa, producción de leche y jornadas de trabajo comunal.

¿Qué son las medidas de localización o cuantiles?

Los cuantiles son valores que dividen un conjunto de datos ordenados en partes de igual tamaño. Mientras la mediana solo divide los datos en dos mitades, los cuantiles permiten una segmentación mucho más fina:

• Cuartiles (Q_k): dividen la distribución en 4 partes iguales — Q₁ (25%), Q₂ (50%), Q₃ (75%).
• Deciles (D_k): dividen la distribución en 10 partes iguales — D₁ (10%), D₂ (20%) ... D₉ (90%).
• Percentiles (P_k): dividen la distribución en 100 partes iguales — P₁ (1%), P₂ (2%) ... P₉₉ (99%).

Como los tres tipos de cuantil dividen la misma distribución, existen equivalencias exactas entre ellos:

Q₁ = P₂₅   |   Q₂ = D₅ = P₅₀ = Mediana   |   Q₃ = P₇₅

Fórmula para calcular cuantiles en datos agrupados

Cuando los datos están organizados en una tabla de frecuencias por intervalos, el cálculo de cualquier cuantil sigue dos pasos:

Paso 1: Hallar la posición del cuantil

Pos = k · N / m

Donde k es el número de cuantil que se busca, N es el total de datos, y m es 4 (cuartiles), 10 (deciles) o 100 (percentiles).

Paso 2: Ubicar el intervalo cuantílico e interpolar

Se busca, en la columna de frecuencia acumulada (F_i), el primer intervalo cuya F_i sea mayor o igual que la posición calculada. Luego se aplica:

Valor del cuantil = L_i + [ (Pos − F_i-1) / f_i ] × A

Donde L_i es el límite inferior del intervalo cuantílico, F_i-1 es la frecuencia acumulada del intervalo anterior, f_i es la frecuencia absoluta del intervalo cuantílico y A es la amplitud del intervalo.

Caso guía: la cosecha de papa de 50 productores de Pichugán

La asociación de productores de Pichugán registró el número de sacos de papa cosechados por 50 familias en la siguiente tabla de frecuencias:

Sacos cosechados	fi	Fi
[20 – 40>	8	8
[40 – 60>	15	23
[60 – 80>	17	40
[80 – 100]	10	50

La municipalidad necesita identificar los límites del Q₁ (25%), el D₇ (70%) y el P₉₀ (90%) para focalizar programas de apoyo agrícola.

Cálculo de Q₁ (25%)

Pos = 1 × 50/4 = 12.5. Como F_i-1=8 < 12.5 ≤ 23, el intervalo cuantílico es [40 – 60>.

Q₁ = 40 + [(12.5 − 8)/15] × 20 = 40 + 6 = 46 sacos

El 25% de las familias con menor producción cosecha hasta 46 sacos de papa.

Cálculo de D₇ (70%)

Pos = 7 × 50/10 = 35. Como F_i-1=23 < 35 ≤ 40, el intervalo cuantílico es [60 – 80>.

D₇ = 60 + [(35 − 23)/17] × 20 ≈ 74.1 sacos

El 70% de las familias produce hasta aproximadamente 74 sacos de papa.

Cálculo de P₉₀ (90%)

Pos = 90 × 50/100 = 45. Como F_i-1=40 < 45 ≤ 50, el intervalo cuantílico es [80 – 100].

P₉₀ = 80 + [(45 − 40)/10] × 20 = 80 + 10 = 90 sacos

Solo el 10% de los productores más destacados cosecha 90 sacos o más — el grupo que la asociación agrícola desea reconocer.

¿Por qué estudiar cuantiles? Una herramienta para la equidad comunitaria

Más allá del cálculo, esta sesión busca que los estudiantes reflexionen sobre la utilidad social de las medidas de localización: identificar con precisión a los grupos de menores y mayores ingresos permite diseñar programas de apoyo más justos y evitar decisiones arbitrarias en la gestión comunitaria de Pichugán.

Ficha de Aprendizaje N.° 08: Ficha de 10 problemas propuestos [Descargar recurso en Word]

Resuelve cada problema en tu cuaderno aplicando la fórmula de posición y, cuando corresponda, la fórmula de interpolación para datos agrupados.

Problema 1 — Datos no agrupados. En el caserío de Pichugán se registraron los litros de leche producidos diariamente por 11 vacas de una pequeña granja familiar: 12, 15, 18, 20, 22, 25, 27, 30, 33, 35, 40. Calcula e interpreta el primer cuartil (Q₁) y el tercer cuartil (Q₃).

Problema 2 — Propiedades y equivalencias. Demuestra teóricamente y explica por qué se cumple la siguiente igualdad en cualquier distribución de datos: Q₂ = D₅ = P₅₀ = Mediana.

Problema 3 — Análisis de datos agrupados. La siguiente tabla muestra la masa corporal (en kg) de 40 estudiantes de 5.° grado de la I.E. "José Gálvez Egúsquiza":

Intervalo de masa (kg)	fi
[45 – 51>	4
[51 – 57>	10
[57 – 63>	14
[63 – 69>	8
[69 – 75]	4

Calcula el valor del segundo cuartil (Q₂) e interpreta el resultado.

Problema 4 — Deciles en producción agrícola. Usando la tabla de sacos de papa cosechados por 50 productores de Pichugán (mostrada en el caso guía), determina el Decil 3 (D₃) y explica qué porcentaje de productores cosechan una cantidad inferior o igual a dicho valor.

Problema 5 — Percentiles y toma de decisiones. Usando la misma tabla, la municipalidad distrital decide entregar un abono mejorado al 25% de productores con menor rendimiento. ¿Cuál es el límite máximo de sacos cosechados para ser beneficiario de este programa? (Calcula el P₂₅).

Problema 6 — Percentiles en altos rendimientos. Utilizando la misma tabla, la asociación agrícola de Pichugán otorgará un reconocimiento al 10% de los productores con mayor cosecha. Determina el valor del percentil P₉₀ a partir del cual un agricultor califica para este reconocimiento.

Problema 7 — Interpretación de datos y brechas socioeconómicas. Se han evaluado las horas de trabajo semanal de 60 comuneros en proyectos de infraestructura local:

Horas semanales	fi
[10 – 20>	6
[20 – 30>	18
[30 – 40>	24
[40 – 50]	12

Halla el Cuartil 3 (Q₃) y explica su significado para la gestión del tiempo laboral comunal.

Problema 8 — Comparación de cuantiles. A partir de la tabla del Problema 7, calcula el Decil 6 (D₆) y el Percentil 60 (P₆₀). Verifica cuantitativamente si ambos valores coinciden y fundamenta tu respuesta.

Problema 9 — Rango intercuartílico. El Rango Intercuartílico (RIC) se define como la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil (RIC = Q₃ − Q₁). Con los datos del Problema 3 (masa corporal de los estudiantes), calcula el RIC e interpreta qué representa esta medida en términos de la dispersión del 50% central de los datos.

Problema 10 — Reto conceptual de aplicación comunitaria. Un informe de desarrollo económico regional indica que en la provincia de Cutervo el Percentil 40 (P₄₀) del ingreso familiar diario es de S/ 35.00, mientras que en el caserío de Pichugán el P₄₀ es de S/ 28.00. a) ¿Qué significa este dato para el 40% de las familias de Pichugán? b) Redacta un argumento fundamentado de dos párrafos dirigido a las autoridades locales promoviendo el apoyo a la producción agropecuaria de Pichugán a partir de estas evidencias estadísticas.

Preguntas Frecuentes sobre Cuantiles

¿Qué es un cuantil en estadística?

Un cuantil es un valor que divide un conjunto de datos ordenados en partes iguales. Los más usados son los cuartiles, deciles y percentiles, y sirven para ubicar la posición relativa de un dato dentro de toda la distribución.

¿Cuál es la diferencia entre cuartiles, deciles y percentiles?

La diferencia está en el número de partes en que dividen los datos: los cuartiles los dividen en 4 partes, los deciles en 10 partes y los percentiles en 100 partes.

¿Cómo se calcula un cuantil para datos agrupados en intervalos?

Se halla primero la posición con Pos = k·N/m, se ubica el intervalo usando las frecuencias acumuladas, y luego se aplica la fórmula de interpolación mostrada en este artículo.

¿Por qué Q₂ = D₅ = P₅₀ = mediana?

Porque los tres representan exactamente el 50% de los datos acumulados, por lo que coinciden en la misma posición de la distribución.

¿Para qué sirven los cuantiles en la vida real?

Permiten segmentar una población para tomar decisiones justas, como focalizar programas de apoyo social, identificar a los de mayor rendimiento, o comparar el desarrollo socioeconómico entre localidades.

Conclusión

Calcular cuartiles, deciles y percentiles no es solo un procedimiento matemático: es una herramienta que permite a la comunidad de Pichugán tomar decisiones justas sobre a quién apoyar y a quién reconocer, a partir de evidencia estadística sólida. Practicando con los datos reales de su propia comunidad, los estudiantes de 5.° de secundaria fortalecen tanto su comprensión estadística como su compromiso con el desarrollo socioeconómico local, en línea con el enfoque del Currículo Nacional de Educación Básica (CNEB-MINEDU).

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Sesión de aprendizaje elaborada por el Lic. Carlos Guarniz, docente de Matemática de la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" — Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca. Alineada al Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB) del Ministerio de Educación del Perú.