Sesión 4 Matemática 4° Secundaria: Función Cuadrática Vértice, Dominio, Rango

Función Cuadrática f(x) = ax² + bx + c: Cómo Calcular el Vértice, el Dominio y el Rango

¿Sabías que la curva que forma el agua al salir de una manguera de riego, el perfil de una quebrada o la trayectoria de un balón pateado en la cancha comparten la misma estructura matemática? Todas estas situaciones se modelan con la función cuadrática, uno de los contenidos centrales del área de Matemática en 4to grado de secundaria. En esta guía aprenderás, paso a paso, a identificar sus elementos, calcular su vértice y determinar su dominio y rango, usando ejemplos tomados de la vida cotidiana en Pichugán.

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es toda función real de la forma:

f(x) = ax² + bx + c   (con a ≠ 0)

donde a, b y c son constantes reales. Su representación gráfica es siempre una curva llamada parábola. A diferencia de una función lineal, donde x aparece elevado solo a la primera potencia y su gráfica es una recta, en la función cuadrática la presencia del término x² provoca que la gráfica se curve, generando un punto de inflexión conocido como vértice.

Concavidad de la parábola: ¿hacia arriba o hacia abajo?

El signo del coeficiente a determina la orientación de la parábola:

• Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba (∪) y presenta un punto mínimo. Es el caso de un estanque o depósito de agua.
• Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo (∩) y presenta un punto máximo. Es el caso de la trayectoria de un chorro de agua o de un balón.

Cálculo del vértice V(h, k)

El vértice es el punto donde la función cambia de dirección: el punto más bajo si la parábola abre hacia arriba, o el punto más alto si abre hacia abajo. Se calcula en dos pasos:

1. Coordenada horizontal (eje de simetría): h = -b / 2a
2. Coordenada vertical: se evalúa h en la función: k = f(h) = a(h)² + b(h) + c

Ejemplo resuelto: el estanque escolar

Un grupo de estudiantes construye un estanque temporal para almacenar agua de riego. La profundidad y (en metros) del perfil transversal depende de la distancia horizontal x según:

f(x) = x² - 4x + 3

Siguiendo el procedimiento:

• Coeficientes: a = 1, b = -4, c = 3.
• Como a = 1 > 0, la parábola es cóncava hacia arriba (tiene un punto mínimo).
• h = -(-4) / 2(1) = 2.
• k = f(2) = (2)² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.
• El vértice es V(2, -1), es decir, el punto más profundo del estanque.
• El intercepto con el eje Y es (0, c) = (0, 3).

Dominio y rango de la función cuadrática

Estos dos conceptos permiten interpretar los valores posibles de entrada y salida de la función:

• Dominio (Dom f): para toda función cuadrática no restringida por el contexto, el dominio es el conjunto de todos los números reales, es decir, Dom f = R.
• Rango (Ran f): depende de la concavidad y del valor k del vértice:
  • Si a > 0 → Ran f = [k, +∞[
  • Si a < 0 → Ran f = ]-∞, k]

Para el ejemplo del estanque: Dom f = R y Ran f = [-1, +∞[, ya que el punto más profundo posible es -1 y la profundidad puede aumentar indefinidamente en ambas direcciones del eje horizontal.

La función cuadrática en el entorno de Pichugán

Este contenido cobra sentido cuando se conecta con situaciones reales de la comunidad. Algunos contextos trabajados en la sesión de aprendizaje incluyen:

• La trayectoria de un chorro de agua para riego, modelada por h(t) = -5t² + 10t + 1,5.
• El perfil transversal de una quebrada o canal de riego principal.
• La curva de un puente colgante o puente arco sobre la quebrada de Chiguirip.
• La relación entre la ganancia obtenida y la cantidad de moldes de queso vendidos en la feria semanal.

Ficha de aprendizaje: 10 problemas para practicar [Descargar aquí]

A continuación se presentan los problemas propuestos en la ficha de trabajo de esta sesión, diseñados para reforzar la identificación de coeficientes, el cálculo del vértice, el trazado gráfico y la interpretación del dominio y rango en contextos de Pichugán:

1. Coeficientes y concavidad: identifica a, b y c en la función que modela el perfil de una cuneta de drenaje del camino a Pichugán y determina si es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
2. Vértice y eje de simetría: calcula el vértice de la trayectoria de un balón pateado en la cancha de la I.E. y determina la altura máxima alcanzada.
3. Dominio y rango algebraico: halla el vértice, el dominio y el rango de una función cuadrática pura, expresando el rango en notación de intervalo.
4. Tabulación y gráfica: completa una tabla de valores y traza la parábola marcando su eje de simetría y su vértice.
5. Interceptos con los ejes: determina el punto de corte con el eje Y y los puntos de corte con el eje X mediante factorización o fórmula general.
6. Modelamiento del chorro de riego: calcula la altura de salida y la altura máxima del agua en una manguera de riego parabólica.
7. Coeficiente a negativo: determina el vértice y el ancho o "luz" de un puente arco sobre la quebrada de Chiguirip.
8. Dominio restringido por el contexto: calcula la cantidad óptima de moldes de queso a vender para obtener la ganancia máxima en la feria semanal, indicando el dominio contextualizado.
9. Construcción a partir de datos: escribe la función cuadrática en forma de vértice y en forma estándar a partir de su eje de simetría, altura máxima y un punto conocido.
10. Comparación de dos parábolas: compara la concavidad y el rango de dos funciones que modelan canales de ventilación de un establo comunal.

Preguntas frecuentes sobre la función cuadrática

¿Cómo se identifica si una parábola tiene un punto máximo o mínimo?

Basta con observar el signo del coeficiente a. Si es positivo, la parábola abre hacia arriba y tiene un mínimo; si es negativo, abre hacia abajo y tiene un máximo.

¿Cuál es la fórmula para calcular el vértice?

h = -b/2a para la coordenada horizontal, y k = f(h) para la coordenada vertical. El vértice se expresa como V(h, k).

¿Cuál es el dominio de cualquier función cuadrática?

Es el conjunto de todos los números reales, Dom f = R, salvo que el contexto imponga una restricción.

¿Cómo se determina el rango?

Depende de la concavidad: si a > 0, el rango es [k, +∞[; si a < 0, el rango es ]-∞, k].

¿Dónde se observan funciones cuadráticas en la vida rural?

En la trayectoria de un chorro de agua de riego, el perfil de un canal o quebrada, la curva de un puente y en modelos de ganancia según la cantidad de productos vendidos.

Conclusión

Comprender la función cuadrática permite a los estudiantes de 4to de secundaria explicar matemáticamente fenómenos que observan a diario en su comunidad: el agua que riega la huerta escolar, la forma de una quebrada o el resultado económico de una feria. Dominar el cálculo del vértice, la concavidad y el dominio y rango es la base para abordar, en sesiones posteriores, la resolución de problemas de optimización aplicados a la producción agrícola y a la infraestructura rural de Pichugán.

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Sesión de aprendizaje elaborada por el profesor Carlos Guarniz para la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" - Pichugán, Chota, Cajamarca, en el marco de la Unidad Didáctica 3 del área de Matemática, 4to grado de secundaria.