Sesión 02 Matemática 5° Secundaria | Progresión Geométrica y Término General: Modelamos el Crecimiento de Plagas y Finanzas

Progresión Geométrica y Término General: Modelamos el Crecimiento de Plagas y Finanzas en Pichugán

Cuando una plaga de polillas se triplica cada semana en un almacén de papas, o cuando un fondo comunitario duplica el ahorro de un agricultor cada año, ambas situaciones comparten el mismo patrón matemático: no suman una cantidad fija, multiplican por una cantidad fija. Esa es la esencia de la progresión geométrica, el tema central de esta sesión de aprendizaje de Matemática para 5.° de secundaria, diseñada según el Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB-MINEDU) y contextualizada en la realidad agrícola y financiera de Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca.

Datos informativos de la sesión

• Institución Educativa: "José Gálvez Egúsquiza" - Pichugán
• Área curricular: Matemática
• Grado y sección: 5.° de Secundaria (Ciclo VII)
• Unidad didáctica: Unidad 3, Sesión 02
• Duración: 2 horas pedagógicas (90 minutos)
• Fecha: 11 de agosto de 2026
• Docente: Lic. Carlos Guarniz

Propósito de la sesión

El propósito es que los estudiantes expresen la comprensión del término general de una progresión geométrica, modelando fenómenos de crecimiento exponencial vinculados a plagas agrícolas y finanzas locales mediante representaciones algebraicas y numéricas. La sesión promueve directamente la competencia "Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio", exigiendo que los estudiantes reconozcan patrones multiplicativos y los expresen mediante una regla de formación.

¿Qué es una progresión geométrica?

Una progresión geométrica (PG) es una sucesión numérica en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante llamada razón (r). A diferencia de la progresión aritmética, donde se suma una cantidad fija, en la progresión geométrica el crecimiento (o decrecimiento) es multiplicativo, lo que produce cambios cada vez más rápidos.

La fórmula del término general

Tras deducir el patrón término por término, la sesión formaliza la fórmula que permite calcular directamente cualquier término sin necesidad de multiplicar repetidamente:

a_n = a_1 · r^(n-1)

Donde a_1 es el primer término, r es la razón geométrica y n es la posición del término que se desea calcular. El exponente es n-1 porque la razón se aplica una vez menos que el número de términos considerados.

El caso guía: la plaga que se duplica en Pichugán

La sesión parte de un caso concreto: "En Pichugán, una plaga de insectos se inicia con 5 individuos. Cada tres días, la población se multiplica por 2. ¿Cuántos insectos habrá transcurridos 30 días?". Los estudiantes identifican los datos (a_1 = 5, r = 2, n = 10), construyen una tabla periodo por periodo y deducen de forma guiada la fórmula general, para luego aplicarla:

a_10 = 5 · 2^(10-1) = 5 · 512 = 2560

El mismo razonamiento se transfiere después a un problema de ahorro financiero con una razón distinta, reforzando que el término general funciona igual para el crecimiento de una plaga que para el crecimiento de un capital.

Secuencia didáctica

Inicio (20 minutos)

El docente presenta dos situaciones del entorno de Pichugán: una pareja de pulgones en un cultivo de papa que se triplica cada semana, y una persona que deposita S/ 100 en un fondo comunitario que duplica el saldo cada mes. Se recogen saberes previos comparando una secuencia que suma una cantidad fija con una que multiplica, y se plantea el conflicto cognitivo: ¿cómo calcular exactamente cuántos pulgones habrá en la semana 15 sin sumar o multiplicar uno por uno?

Desarrollo (55 minutos)

Se desarrolla en cuatro fases: comprensión del problema tipo de la plaga de insectos, búsqueda de estrategias mediante una tabla de periodos, formalización guiada de la fórmula del término general, y transferencia a un problema de finanzas. El docente acompaña con preguntas socráticas como "¿Por qué el exponente de la razón es n-1 y no n? ¿Qué pasaría con la plaga si la razón fuera menor a 1?".

Cierre (15 minutos)

Se sistematizan las ideas clave en la pizarra y se plantean preguntas metacognitivas sobre las estrategias usadas y otras situaciones cotidianas de Pichugán donde puedan observarse progresiones geométricas. La sesión cierra con la entrega de la ficha de aprendizaje.

Atención a la diversidad

Para estudiantes con dificultades en operaciones exponenciales se proporciona una tabla con potencias básicas de 2, 3 y 5. Para estudiantes con nivel avanzado se formulan desafíos de extensión que involucran despejar la razón r o el periodo n mediante ensayo-error estructurado o logaritmos intuitivos.

Ficha de aprendizaje: 10 problemas aplicados [Descargar recurso]

La ficha de trabajo autónomo contextualiza la progresión geométrica en situaciones agrícolas y financieras reales de la comunidad:

1. Plaga de polilla de la papa: 4 polillas que se triplican cada semana en un almacén de Pichugán.
2. Inversión en cooperativa agrícola: S/ 200 que se duplican cada año en un fondo rotatorio comunitario.
3. Control biológico: 1024 gusanos cogolleros que se reducen a la mitad cada día.
4. Bacterias beneficiosas del suelo: una colonia de 10 microorganismos que se quintuplica cada hora.
5. Razón desconocida: un hongo que crece de 3 a 192 plantas infectadas en 4 semanas.
6. Ahorro para graduación: un estudiante que guarda S/ 5, S/ 15, S/ 45... multiplicando por 3 cada mes.
7. Periodo desconocido: un fondo de ayuda mutua que se cuadruplica hasta alcanzar S/ 3072.
8. Comparación de dos plagas: progresión aritmética vs. geométrica para evaluar el peligro de descontrol a largo plazo.
9. Devaluación de maquinaria: una trilladora de S/ 16 000 que pierde una cuarta parte de su valor cada año (r = 3/4).
10. Términos alternados: utilidades de la crianza de cuyes que fluctúan entre ganancia y pérdida con razón negativa.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del término general de una progresión geométrica?

El término general de una progresión geométrica es a_n = a_1 · r^(n-1), donde a_1 es el primer término, r es la razón geométrica y n es la posición del término que se quiere calcular.

¿Cuál es la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica?

En una progresión aritmética cada término se obtiene sumando una cantidad fija (razón aritmética) al anterior, mientras que en una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante (r).

¿Qué significa que la razón geométrica sea menor que 1?

Cuando r está entre 0 y 1, la progresión es decreciente: cada término es menor que el anterior. Este es el caso del decrecimiento exponencial, como la reducción de una plaga tras un control biológico o la depreciación de maquinaria agrícola.

¿Por qué el exponente del término general es n-1 y no n?

Porque el primer término (a_1) ya corresponde a n=1 sin haber aplicado ninguna multiplicación por la razón. Para llegar al segundo término se multiplica una vez, para el tercero dos veces, y así sucesivamente: la razón se aplica siempre una vez menos que el número de términos.

Sobre esta sesión

Esta sesión de aprendizaje fue elaborada por el Lic. Carlos Guarniz, docente de Matemática en la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" (Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca), siguiendo la estructura del Currículo Nacional de la Educación Básica del MINEDU y el enfoque de etnomatemática que caracteriza el trabajo pedagógico en esta comunidad rural andina.