Sesión 8 Matemática 4° Secundaria: Razones Trigonométricas de Ángulos Elevación y Depresión

Ángulos de Elevación y Depresión: Cómo Medir Alturas Inalcanzables en Pichugán

Sesión de aprendizaje N.° 08 — Matemática, 4.° grado de secundaria — Unidad 3 — I.E. "José Gálvez Egúsquiza", Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca.

¿Cómo calcular la altura de un eucalipto gigante sin subir a su copa? ¿Cómo saber a qué distancia está el ganado que se observa desde la cima de un cerro? En esta sesión, los estudiantes de 4.° de secundaria de la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" aprendieron a resolver este tipo de problemas de medición indirecta de alturas y distancias aplicando razones trigonométricas y los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión, usando como escenario real la propia geografía de Pichugán: árboles, postes de alumbrado, la torre de la iglesia y el cerro que domina el valle.

Propósito de la sesión

La sesión busca que los estudiantes modelen y resuelvan problemas de medición indirecta de alturas y distancias en contextos topográficos y comunitarios, aplicando seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos notables (30°-60°, 45°-45° y 37°-53°). Para ello, deben representar gráficamente la línea visual, la línea horizontal, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión, considerando la altura del observador cuando corresponde. Esta actividad desarrolla la competencia del Currículo Nacional "Resuelve problemas de forma, movimiento y localización".

El problema de partida: el eucalipto que amenaza las redes eléctricas

La clase inició con un caso local: un grupo de comuneros de Pichugán necesita conocer la altura de un eucalipto gigante que amenaza con caer sobre las redes eléctricas cercanas al colegio. Sin poder subir con una cinta métrica hasta la copa, la pregunta fue directa: ubicados a 12 metros de la base del árbol, y observando la copa con un ángulo de elevación de 53° mediante un clinómetro casero (fabricado con transportador, sorbete y plomada), ¿cómo se calcula la altura exacta del árbol sin arriesgarse a subir?

Antes de resolverlo, el docente recuperó saberes previos sobre el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa respecto a un ángulo agudo, y sobre las razones notables de 37° y 53° (tan 37° ≈ 3/4, tan 53° ≈ 4/3). También se planteó el conflicto cognitivo central de la sesión: si el clinómetro se sostiene a la altura de los ojos (1,50 m del suelo), ¿la altura calculada con la tangente es la altura total del árbol, o falta sumar algo?

Línea visual, línea horizontal y ángulos verticales

Para resolver este tipo de problemas se formalizaron cuatro conceptos clave:

• Línea visual: la línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto observado.
• Línea horizontal: la línea paralela al horizonte terrestre que pasa por el ojo del observador.
• Ángulo de elevación (α): el que se forma entre la línea horizontal y la línea visual cuando el objeto está por encima de la horizontal (por ejemplo, la copa de un árbol vista desde el suelo).
• Ángulo de depresión (β): el que se forma entre la línea horizontal superior y la línea visual cuando el objeto está por debajo de la horizontal (por ejemplo, el ganado en el valle visto desde la cima de un cerro).

Un punto que suele confundir a los estudiantes: por la propiedad de ángulos alternos internos entre paralelas, el ángulo de depresión medido desde el punto alto es igual al ángulo de elevación medido desde el objeto en el suelo hacia ese mismo punto alto. Reconocer esta igualdad simplifica muchos problemas de la ficha.

Tabla de razones trigonométricas de ángulos notables

Ángulo (θ)	sen θ	cos θ	tan θ
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3
37° (aprox.)	3/5	4/5	3/4
53° (aprox.)	4/5	3/5	4/3

Caso guía resuelto: la antena del cerro Pichugán

Como situación de formalización, se trabajó el caso de un técnico de telecomunicaciones que observa la antena instalada en la cima del cerro Pichugán. Desde un punto A en el suelo, divisa la cima de la antena con un ángulo de elevación de 37°. Al avanzar 14 metros en línea recta hacia la base del cerro, hasta un punto B, el nuevo ángulo de elevación es de 53°. Suponiendo que la vista del técnico está al nivel del suelo, se pide la altura h del cerro hasta la cima de la antena.

Estrategia: dos triángulos rectángulos que comparten un cateto

Los estudiantes identificaron los datos (ángulo en A = 37°, ángulo en B = 53°, distancia AB = 14 m, incógnita h) y acordaron plantear dos triángulos rectángulos que comparten el cateto opuesto h, usando la razón tangente en ambos:

Sea x la distancia desde el punto B hasta la base del cerro.

Desde B: tan 53° = h/x → 4/3 = h/x → h = (4/3)x

Desde A: tan 37° = h/(14 + x) → 3/4 = h/(14 + x)

Sustituyendo h en la segunda ecuación:

3/4 (14 + x) = (4/3)x → 9(14 + x) = 16x → 126 + 9x = 16x → 126 = 7x → x = 18 m

Por lo tanto: h = (4/3)(18) = 24 metros.

Este procedimiento —plantear dos triángulos que comparten el cateto desconocido y despejar por sustitución o igualación— es la estrategia central que los estudiantes debieron transferir a varios problemas de la ficha de trabajo, como el del tanque elevado de agua (cambio de ángulo por acercamiento) y el del poste visto desde una azotea (ángulos dobles de elevación y depresión).

Ficha de Aprendizaje N.° 08: 10 problemas de la comunidad de Pichugán [Descargar recurso]

Con esta base, los estudiantes desarrollaron en parejas una ficha de 10 problemas contextualizados en su propia comunidad, dibujando en cada caso el esquema del triángulo rectángulo, la línea horizontal, la línea visual y los datos conocidos:

1. El eucalipto de la I.E.: altura de un árbol observado a 16 m de su base con ángulo de elevación de 37°, considerando que los ojos del estudiante están a 1,50 m del suelo.
2. El poste de alumbrado público: altura de un poste en Pichugán visto a 9 m de su base con ángulo de elevación de 53°.
3. Ángulo de depresión desde un mirador: distancia horizontal a una cabeza de ganado, observada desde 120 m de altura en el cerro Pichugán con ángulo de depresión de 30°.
4. La torre de la iglesia: altura total de la torre, considerando una persona de 1,70 m ubicada a 15 m de la pared, con ángulo de elevación de 45° hacia la cruz.
5. El tanque elevado de agua: dos ángulos de elevación (30° y 60°) al acercarse 20 m hacia el tanque, para hallar su altura total.
6. El halcón en el pino: altura y distancia horizontal a partir de una línea visual de 25 m y un ángulo de elevación de 53°.
7. El puente sobre el río: distancia en línea recta desde un niño ubicado a 18 m de altura sobre el agua, observando una piedra en la orilla con ángulo de depresión de 37°.
8. El panel solar de la I.E.: altura y proyección horizontal de un panel cuya hipotenusa mide 2 m, con ángulo de elevación de 30°.
9. Ángulos dobles desde una azotea: distancia y altura de un poste observado desde un edificio de 12 m, con ángulo de elevación de 37° hacia la cima del poste y ángulo de depresión de 45° hacia su base.
10. El desafío de la rampa de la posta médica: longitud mínima de una rampa que debe salvar 1,80 m de altura con un ángulo máximo de 37°, y verificación de si cumple la norma de pendiente máxima de 30°.

El material impreso de apoyo fue el Texto de Matemática de 4.° de Secundaria (MINEDU, págs. 111 y 113), complementado con transportador, regletas, cinta métrica y clinómetro casero, usando como entorno de trabajo los patios, postes, árboles y relieves topográficos de la propia comunidad de Pichugán.

Atención a la diversidad y retroalimentación

Para los estudiantes que requieren mayor apoyo, se entregaron fichas con los esquemas de triángulos rectángulos ya dibujados, de modo que solo debían ubicar los datos numéricos, además de escuadras físicas de 30°-60° y 45°-45° para manipular los lados antes del cálculo algebraico. La retroalimentación fue formativa por descubrimiento: ante el error común de ubicar el ángulo de depresión pegado a la pared vertical, el docente orientó a trazar primero la línea horizontal a la altura de los ojos del observador, y a identificar entre qué dos líneas se forma realmente el ángulo.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el ángulo de elevación?

Es el ángulo formado entre la línea horizontal (a la altura de los ojos del observador) y la línea visual, cuando el objeto observado se encuentra por encima de esa horizontal.

¿Qué es el ángulo de depresión?

Es el ángulo formado entre la línea horizontal superior y la línea visual, cuando el objeto observado se encuentra por debajo de esa horizontal.

¿Por qué se usa la tangente para calcular alturas?

Porque relaciona directamente el cateto opuesto (la altura buscada) con el cateto adyacente (la distancia horizontal medida), sin necesitar la hipotenusa, que suele ser la medida inaccesible.

¿Se debe sumar la altura del observador al resultado?

Sí, cuando el ángulo se mide desde los ojos del observador, la tangente da solo la parte del objeto sobre la línea visual; hay que sumar la estatura de los ojos para obtener la altura total real.

Conclusión

Esta sesión demuestra cómo la trigonometría deja de ser un contenido abstracto cuando se enfrenta a un problema real de la comunidad: calcular la altura de un árbol que pone en riesgo las redes eléctricas, o la de una antena en el cerro que todos ven a diario. Al final, los propios estudiantes concluyeron que la razón tangente es la más empleada para medir alturas de edificaciones o árboles precisamente porque permite resolver, con instrumentos sencillos como un clinómetro casero, problemas que en el campo no podrían resolverse con una simple cinta métrica.