Aumentos porcentuales sucesivos y Aumento Único Equivalente
Sesión de aprendizaje para 2.° de secundaria: aprendemos a calcular el costo final y el AU con factores multiplicativos (1 + a), a partir de los reajustes de fletes y fertilizantes en la ruta Chota–Pichugán.
¿Sabías que dos aumentos del 10% y del 20% no suman un 30%? Este error es tan común en la vida diaria —en pasajes, insumos agrícolas o precios de mercado— como en el aula. En esta sesión de aprendizaje N.° 04 de la Unidad 4, los estudiantes de 2.° grado de secundaria (Ciclo VI) descubren por qué ocurre, dominan el uso de los factores multiplicativos de incremento y deducen la fórmula del Aumento Único Equivalente (AU), todo dentro de una situación real de su comunidad: el alza del flete de transporte de carga de Chota a Pichugán.
I. Datos informativos
| Campo | Detalle |
|---|---|
| Institución Educativa | N.° 10410 «José Gálvez Egúsquiza» – Pichugán |
| Área curricular | Matemática |
| Grado y sección | 2.° grado de Educación Secundaria (Ciclo VI) – Sección única |
| Unidad didáctica | Unidad 4 |
| Duración | 3 horas pedagógicas (135 minutos) |
| Docente | Lic. Carlos Guarniz |
Título de la sesión
«Analizamos el incremento en los costos operativos: Aumentos porcentuales sucesivos»
II. Propósito de la sesión y criterios de evaluación
Intención pedagógica: comprender, calcular y analizar el impacto de los aumentos porcentuales sucesivos en los costos de producción y transporte agrícola, hallando el valor final con factores multiplicativos (1 + a) y calculando el Aumento Único Equivalente (AU) para evitar el error de sumar porcentajes directamente.
Relación con la competencia: la sesión fortalece «Resuelve problemas de cantidad», al traducir reajustes económicos y tarifas de transporte a expresiones numéricas y porcentuales, aplicar estrategias de cálculo y argumentar la conveniencia de decisiones financieras en la comunidad.
Criterios de evaluación (Competencia: Resuelve problemas de cantidad)
| Criterio | Descripción |
|---|---|
| 1. Traducción y factores multiplicativos | Traduce situaciones de reajustes y alzas sucesivas de precios a factores multiplicativos (1 + a), calculando paso a paso los costos operativos. |
| 2. Cálculo del Aumento Único (AU) | Calcula correctamente el AU aplicando la fórmula general y refuta errores comunes de suma directa de alzas. |
- Evidencia de aprendizaje: Ficha de Trabajo N.° 04 resuelta de forma individual y en parejas, aplicando los 4 pasos de George Pólya y la fórmula del AU a alzas de fletes y fertilizantes en la ruta Chota–Pichugán.
- Instrumento de evaluación: lista de cotejo para evaluación formativa (factores de incremento, cálculo del AU y argumentación matemática ante afirmaciones erróneas).
III. Secuencia didáctica
1. Inicio
Motivación, saberes previos, conflicto cognitivo y propósito.
Motivación y sensibilización
El docente presenta una noticia simulada sobre transporte de carga:
«Debido al mal estado de la vía en época de lluvias y luego al encarecimiento del combustible, el flete de transporte de Chota a Pichugán sufrió dos incrementos sucesivos en un mismo mes: primero un 10% y semanas después un 20% sobre el precio ya reajustado».
Recuperación de saberes previos (lluvia de ideas)
- Si un servicio sube 10% y luego 20%, ¿el incremento total acumulado es del 30%?
- ¿Cómo se calcula un aumento porcentual simple sobre un valor inicial?
Problematización: el conflicto cognitivo
Si el flete costaba S/ 10, un agricultor calcula que con el 30% de aumento (10% + 20%) pagaría S/ 13. Pero al operar paso a paso sobre el nuevo saldo, el precio final resulta S/ 13,20. ¿Por qué hay una diferencia de S/ 0,20? ¿Cómo se calcula el aumento real acumulado?
Comunicación del propósito: «Hoy aprenderemos a calcular el costo final y el Aumento Único Equivalente ante dos o más aumentos porcentuales sucesivos, usando factores multiplicativos».
Desarrollo: resolución de problemas con el método de Pólya
2. Desarrollo
Procesos didácticos del área de Matemática, con enfoque centrado en la resolución de problemas (George Pólya).
A. Familiarización con el problema (15 min)
El docente presenta la situación del flete y guía a los estudiantes para identificar los datos: valor inicial M₀ = S/ 10, primer aumento a₁ = 10% y segundo aumento a₂ = 20%.
B. Búsqueda y ejecución de estrategias (35 min)
En parejas, los estudiantes deducen el proceso paso a paso. La clave: cada aumento actúa sobre el saldo anterior, no sobre el valor inicial.
× 1,10
× 1,20
- Primer incremento (10%): el nuevo costo es el 110% del valor inicial → factor 1,10. Saldo = 1,10 × 10 = S/ 11.
- Segundo incremento (20%): se aplica sobre S/ 11 (no sobre S/ 10) → factor 1,20. Costo final = 1,20 × 11 = S/ 13,20.
Costo final = (1 + a₂) × [(1 + a₁) × M₀]
Deducción del Aumento Único Equivalente (AU)
El porcentaje total que creció el valor respecto al 100% inicial se calcula así:
AU = [(1,10)(1,20) − 1] × 100% = (1,32 − 1) × 100%
AU = 0,32 × 100% = 32%
El Aumento Único Equivalente es del 32% y no del 30%. Los 2 puntos porcentuales «extra» aparecen porque el 20% se aplicó sobre S/ 11, que ya incluía el primer aumento.
| Método | Cálculo | Costo final | ¿Correcto? |
|---|---|---|---|
| Sumar porcentajes | 10 × 1,30 | S/ 13,00 | No |
| Factores sucesivos | 10 × 1,10 × 1,20 | S/ 13,20 | Sí (AU = 32%) |
C. Socialización y formalización (25 min)
- Estudiantes voluntarios explican en la pizarra el procedimiento y la fórmula del AU.
- El docente enfatiza que los aumentos sucesivos no se suman aritméticamente, pues el segundo incremento actúa sobre una base que ya creció.
D. Reflexión y transferencia (20 min)
Los estudiantes resuelven de forma autónoma los primeros ejercicios de la Ficha de Aprendizaje (disponible más abajo).
Recordemos las fórmulas clave
Con tres o más aumentos, el procedimiento es el mismo: se multiplican todos los factores (1 + a) y al producto se le resta 1.
Cierre y metacognición
3. Cierre
- Evaluación formativa: verificación comunitaria de los resultados de los ejercicios.
- Cierre afectivo: felicitación por el razonamiento lógico demostrado.
Preguntas de metacognición
- ¿Por qué es incorrecto sumar directamente dos aumentos sucesivos?
- ¿Qué función cumple el factor multiplicativo (1 + a) en el cálculo de incrementos?
- ¿Cómo podemos aplicar esto al analizar el encarecimiento de insumos en Pichugán?
Recursos, atención a la diversidad y retroalimentación
Recursos y materiales
- Materiales educativos: tablas de tarifas de transporte simuladas, papelotes, plumones y reglas.
- Recurso impreso: Ficha de Trabajo y Aprendizaje N.° 04 (10 problemas contextualizados).
- Fuente: Texto de Matemática 2.° de Secundaria (Minedu, 2026), páginas 143–145.
Atención a la diversidad
- Estrategias inclusivas: esquemas de flechas paso a paso para visualizar los saldos parciales ascendentes.
- Apoyo focalizado: acompañamiento a estudiantes con dificultades en la multiplicación de números decimales.
Retroalimentación por descubrimiento (guiada)
Si un estudiante suma los aumentos (10% + 20% = 30%), el docente lo orienta con preguntas:
«Si el flete sube un 10% sobre S/ 10, pasa a costar S/ 11. Si a esos S/ 11 le aplicas el 20% de aumento, ¿cuánto es el incremento en soles y cuánto terminas pagando? Compara ese resultado con aplicar el 30% directo sobre S/ 10. ¿Sale lo mismo?»
Ficha de trabajo N.° 04: aumentos porcentuales sucesivos y aumento único
Diez problemas contextualizados en la economía rural de Chota y Pichugán: fletes, fertilizantes, maquinaria, semillas, almacenaje, ganadería y un emprendimiento escolar.
El pasaje de transporte de carga de Chota al caserío de Pichugán costaba originalmente S/ 40. Por el incremento del combustible y peajes, la empresa aplica dos aumentos sucesivos del 10% y del 20%.
- a) ¿Cuál es el nuevo precio del pasaje de carga?
- b) ¿A cuánto asciende el Aumento Único Equivalente (AU)?
Un comerciante de fertilizantes en la feria local aumenta el precio de un saco de abono con dos aumentos sucesivos del 20% y del 25%. Un comprador calcula que el incremento total es del 45%.
- Demuestra con la fórmula del AU si el comprador tiene razón o cuál es el verdadero incremento equivalente.
Una motoguadaña importada tiene un precio base de fábrica de S/ 1200. Al ingresar al mercado regional sufre un incremento del 15% por transporte y aranceles, y luego un 10% adicional por margen de ganancia de la distribuidora local.
- ¿Cuál es el precio final de venta al público?
Por la inflación internacional, el precio de un quintal de semillas importadas, valorizado en S/ 400, sufre tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%.
- Calcula el costo final del quintal tras los tres incrementos.
Dos cooperativas agrarias de la provincia de Chota reajustan sus tarifas de almacenaje sobre un costo base de S/ 500:
- Cooperativa A: dos aumentos sucesivos del 20% y del 30%.
- Cooperativa B: dos aumentos sucesivos del 25% y del 25%.
¿Cuál de las dos deja una tarifa final más económica para el productor?
Halla el Aumento Único Equivalente (AU) para tres incrementos sucesivos del 10%, 20% y 20%. Expresa el resultado en porcentaje.
Un letrero en una distribuidora anuncia: «¡Por actualización de costos, aplicamos dos aumentos sucesivos del 50% + 50% a nuestros productos!». Un cliente molesto sostiene que el producto ahora cuesta el doble (100% más).
- Demuestra matemáticamente si el precio se duplicó o cuánto aumentó en realidad.
El costo operativo mensual de un establo lechero en Pichugán era de S/ 800. Por el alza del forraje y de la atención veterinaria se aplican dos aumentos sucesivos del 15% y del 10%.
- a) Calcula el Aumento Único Equivalente (AU).
- b) ¿En cuántos soles aumentó el costo operativo mensual?
El precio final de un tanque de almacenamiento de agua, tras dos aumentos sucesivos del 25% y del 20%, quedó en S/ 1500.
- ¿Cuál era el costo original del tanque antes de los aumentos?
Los estudiantes de segundo grado que elaboran néctares naturales estiman que sus costos operativos subirán por el encarecimiento de envases y azúcar en dos etapas consecutivas del 10% y del 15%. El costo base de producción por caja era de S/ 20.
- ¿Cuál será el nuevo costo operativo por caja y cuál es el AU aplicado?
Ver solucionario para el docente
| N.° | Respuesta | Procedimiento |
|---|---|---|
| 1 | a) S/ 52,80 · b) AU = 32% | 40 × 1,10 × 1,20 = 52,80 |
| 2 | AU = 50% (el comprador se equivoca) | 1,20 × 1,25 = 1,50 → 50% |
| 3 | S/ 1518 | 1200 × 1,15 × 1,10 |
| 4 | S/ 660 | 400 × 1,10 × 1,20 × 1,25 |
| 5 | Cooperativa A (S/ 780 frente a S/ 781,25) | A: 500 × 1,20 × 1,30 = 780 · B: 500 × 1,25 × 1,25 = 781,25 |
| 6 | AU = 58,4% | 1,10 × 1,20 × 1,20 = 1,584 |
| 7 | AU = 125% (más que el doble) | 1,50 × 1,50 = 2,25 → 125% |
| 8 | a) AU = 26,5% · b) S/ 212 | 1,15 × 1,10 = 1,265 · 800 × 0,265 = 212 |
| 9 | S/ 1000 | 1500 ÷ (1,25 × 1,20) = 1500 ÷ 1,5 |
| 10 | S/ 25,30 · AU = 26,5% | 20 × 1,10 × 1,15 = 25,30 |
Preguntas frecuentes
¿Dos aumentos del 10% y del 20% equivalen a un aumento del 30%?
No. El segundo aumento se aplica sobre un valor que ya creció. El AU es [(1,10)(1,20) − 1] × 100% = 32%.
¿Cuál es la fórmula del Aumento Único Equivalente (AU)?
Para dos aumentos: AU = [(1 + a₁)(1 + a₂) − 1] × 100%. Para más aumentos, se multiplican todos los factores (1 + a) y se resta 1.
¿Qué es un factor multiplicativo de incremento?
Es el número (1 + a) por el que se multiplica un valor para aumentarlo en a%. Un aumento del 20% se calcula con el factor 1,20.
¿Cómo hallo el valor inicial si conozco el precio final?
Divide el precio final entre el producto de los factores. Con aumentos del 25% y 20% y un precio final de S/ 1500: 1500 ÷ (1,25 × 1,20) = S/ 1000.
Bibliografía
- Ministerio de Educación del Perú (2026). Texto de Matemática 2.° de Secundaria. Lima: Minedu (pp. 143–145).
- Ministerio de Educación del Perú (2016). Currículo Nacional de la Educación Básica Regular. Lima: Minedu.
- Pólya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. México D. F.: Trillas.
I.E. N.° 10410 «José Gálvez Egúsquiza» · Pichugán, Chiguirip, Chota, Cajamarca · Adaptada por el Prof. Carlos Guarniz
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