Volumen de la esfera: bombas de semilla | Matemática 3° Secundaria

Volumen de la esfera: elaboramos bombas de semilla

Actividad: 09 Área: Matemática, 3.° de secundaria Competencia: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización Fecha: 23/11/2021

Propósito: deducir la fórmula del volumen de la esfera comparándola con un cilindro, y usarla para calcular los materiales de unas bombas de semilla: bolas pequeñas de arcilla, tierra y semillas que sirven para sembrar en lugares de difícil acceso.

1. Exploramos un objeto de forma esférica

Antes de elaborar la bomba de semilla, vamos a conocer las características de una esfera usando una pelota.

Pregunta 1. Exploramos la pelota

Tocamos la pelota con las manos y, si es posible, medimos su diámetro con una cinta métrica. Luego describimos lo que identificamos.

Respuesta sugerida: la pelota es un cuerpo redondo cuya superficie es curva y continua, sin caras ni aristas ni vértices. Todos los puntos de su superficie están a la misma distancia de un punto interior, el centro. Rueda en cualquier dirección y se puede medir con su diámetro o con su radio.

Características de una pelota esférica.

Pregunta 2. ¿Qué sólido se obtiene al cortar la pelota por la mitad y llenarla de arena?

Respuesta sugerida: se obtiene una semiesfera (media esfera).

Semiesfera llena de arena.

Pregunta 3. Medimos sobre la semiesfera

Sobre la mitad de la pelota colocamos una regla o un palo de extremo a extremo, de modo que se obtenga la máxima medida. Repetimos el proceso con otro palo para que ambos se crucen perpendicularmente.

Elementos de la esfera sobre la semiesfera.

Describimos los elementos que reconocemos:

• Centro (O): punto donde se cruzan las dos reglas. Está a la misma distancia de todos los puntos de la superficie.
• Diámetro (d): la regla completa, de extremo a extremo y pasando por el centro. Es la máxima medida de la esfera.
• Radio (r): la mitad de la regla, del centro a la superficie.

Respondemos:

¿Qué representa el punto de corte entre las dos reglas? El centro de la esfera.

¿Qué representa la mitad de la regla? El radio.

¿Qué relación hay entre radio y diámetro? El diámetro mide el doble del radio: d = 2r.

Para validar las respuestas, leemos el texto “Esfera” de la sección Recursos para mi aprendizaje y ajustamos lo necesario.

Tomemos en cuenta que… una semiesfera es cada una de las dos partes en que queda dividida una esfera al cortarla con un plano que pasa por su centro. La base de la semiesfera es un círculo cuyo radio es igual al de la esfera.

2. Calculamos la cantidad de arena de una pelota

Observamos la imagen con atención y comparamos las medidas de los dos sólidos. Se llena la semiesfera con arena y se vacía su contenido en un cilindro. El cilindro tiene el mismo radio que la semiesfera y su altura es igual al diámetro de la esfera (h = 2r).

Se vacía la semiesfera con arena en el cilindro.

Analizamos y respondemos

1. Comparamos el diámetro del cilindro con el de la semiesfera. ¿Qué relación encontramos?

Respuesta: los diámetros coinciden, por lo tanto los radios también son iguales.

2. ¿Cuántas veces se usa la semiesfera con arena al ras para llenar el cilindro?

Respuesta: tres veces.

3. ¿Qué relación hay entre los volúmenes del cilindro y la semiesfera?

Respuesta: el volumen del cilindro es el triple del volumen de la semiesfera: V_cilindro = 3 · V_semiesfera.

4. ¿Qué fracción del volumen del cilindro representa la semiesfera?

Respuesta: un tercio (1/3).

5. ¿Cuántos tercios del volumen del cilindro es el volumen de la esfera?

Respuesta: la esfera está formada por dos semiesferas, así que ocupa dos tercios (2/3) del volumen del cilindro.

6. Usamos la expresión del volumen del cilindro y deducimos la del volumen de la esfera.

Desarrollo:

Volumen del cilindro: V = (área de la base) · (altura) = π r² · (2r) = 2π r³

Volumen de la esfera = 2/3 del volumen del cilindro:

V_esfera = 2/3 · 2π r³ = 4/3 π r³

V = (4/3) · π · r³

Si conocemos el diámetro, usamos r = d/2. El recurso “Área y volumen de la esfera” añade la fórmula del área de la superficie: A = 4π r².

Deducción de la fórmula del volumen de la esfera.

3. Situación retadora: elaboramos nuestras bombas de semilla esféricas

Nos reunimos con nuestra familia, leemos el recurso “Bomba de semilla esférica” y elaboramos las bombas.

Bomba de semilla esférica.

Materiales

Tierra o compost, arcilla, agua, semillas de plantas oriundas de tu zona, un limón (como referencia de tamaño) y papel.

Procedimiento

1. Mezcla la arcilla, la tierra y las semillas, y añade agua poco a poco hasta tener una masa moldeable.
2. Toma una porción del tamaño de un limón y forma una bola.
3. Déjala secar a la sombra y envuélvela en papel para conservarla hasta el momento de sembrar.
4. Sigue las medidas de bioseguridad: lávate las manos y trabaja con tu familia en un espacio ventilado.

Respondemos las preguntas

¿Qué forma tiene la bomba de semilla? Esférica.

¿Cuántas bombas elaboramos? Depende de cada familia. Para el cálculo siguiente usamos 50.

¿Qué debemos calcular? El volumen de una bomba (volumen de la esfera) y luego el de las 50 bombas, repartido entre los materiales.

Cálculo para 50 bombas de semilla

Un limón mide cerca de 5 cm de diámetro, así que tomamos d = 5 cm y r = 2,5 cm. Si tu bomba es más grande o más pequeña, cambia el radio.

Volumen de una bomba: V = 4/3 · π · (2,5)³ = 4/3 · 3,1416 · 15,625 ≈ 65,45 cm³

Volumen de 50 bombas: 50 · 65,45 ≈ 3 272,5 cm³, es decir, unos 3,27 litros de mezcla.

Para repartir el material usamos una proporción habitual en estas bombas: 5 partes de arcilla, 3 de tierra y 1 de semillas (9 partes en total). Si el recurso “Bomba de semilla esférica” indica otra proporción, cambia esos números.

Material	Partes	Por bomba	Para 50 bombas
Arcilla	5 de 9	36,4 cm³	1 818 cm³ ≈ 1,82 L
Tierra o compost	3 de 9	21,8 cm³	1 091 cm³ ≈ 1,09 L
Semillas	1 de 9	7,3 cm³	364 cm³ ≈ 0,36 L
Total	9	65,5 cm³	3 273 cm³ ≈ 3,27 L

Ojo: el agua no entra en este cálculo, porque solo ayuda a moldear. Conviene reunir un poco más de material, ya que siempre hay pérdidas al mezclar.

Cómo hacerlo en Excel

1. En A1 escribe “Radio (cm)” y en B1 el valor 2,5.
2. En A2 escribe “Volumen de una bomba (cm³)” y en B2 la fórmula =4/3*PI()*B1^3.
3. En A3 escribe “Cantidad de bombas” y en B3 el valor 50.
4. En A4 escribe “Volumen total (cm³)” y en B4 la fórmula =B2*B3.
5. Para cada material, multiplica el volumen total por su fracción: arcilla =B4*5/9, tierra =B4*3/9 y semillas =B4*1/9.

4. Evaluamos nuestros avances

Competencia: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.

Criterios de evaluación	Lo logré	Estoy en proceso	¿Qué puedo hacer para mejorar?
Establecí relaciones entre las características y medidas de objetos de mi contexto y las representé en una maceta de forma cónica o esférica.
Expresé con material concreto, dibujos y construcciones lo que comprendo sobre las propiedades del cono o la esfera, usando lenguaje geométrico.
Usé estrategias heurísticas, representaciones gráficas y procedimientos, combinándolos para calcular el volumen del cono o la esfera.
Argumenté afirmaciones sobre las propiedades del volumen del cono o la esfera en relación con el cilindro.

Recursos para mi aprendizaje

Descargar ficha de autoaprendizaje (Word) Descargar recurso: área y volumen de la esfera

Adaptado de: MINEDU (5 de noviembre de 2021). Aprendo en Casa. aprendoencasa.pe