Actividad 7 Matemática 1° y 2° secundaria: prisma y pirámide (mercado pentagonal)

En esta actividad de Matemática de 1.° y 2.° de secundaria diseñamos un mercado de planta pentagonal combinando un prisma pentagonal (el cuerpo) y una pirámide pentagonal (el techo). Calcularemos áreas y volúmenes paso a paso, aplicaremos el teorema de Pitágoras y responderemos todas las preguntas de la ficha, con las soluciones ya revisadas.

Experiencia de aprendizajeEdA N.° 9: Asumimos compromisos ante los desafíos del bicentenario

Área y gradoMatemática, 1.° y 2.° de secundaria

CompetenciaResuelve problemas de forma, movimiento y localización

PropósitoDiseñar una edificación usando prismas y pirámides como modelos matemáticos

En esta actividad

1. Nos preparamos: el problema y los datos
2. Fórmulas que vamos a usar
3. Paso 1: la base pentagonal
4. Paso 2: el cuerpo (prisma)
5. Paso 3: el techo (pirámide)
6. Diseño final y totales
7. Respuestas a las preguntas
8. Planteamos nuestra propuesta
9. Evaluamos nuestros avances
10. Preguntas frecuentes

Recuerda grabar un video o tomar fotografías de cada tarea. Puedes editar tus evidencias con las aplicaciones Quik y Snapseed.

Nos preparamos para representar figuras y cuerpos geométricos

Consulta con tu familia las dimensiones que podría tener la edificación. Luego responde en tu cuaderno. Estas son las respuestas sugeridas que usaremos en todo el desarrollo:

Pregunta	Respuesta sugerida
¿A qué situación problemática podemos dar solución con tu diseño?	Se necesita construir un mercado en un terreno de forma pentagonal.
¿Qué dimensiones tiene el terreno?	Pentágono regular de 10 m de lado.
¿Qué prisma emplearás para el cuerpo?	Prisma pentagonal.
¿Qué altura tendrán las paredes?	7 m.
¿Qué beneficio ofrecen los techos piramidales?	Facilitan la caída del agua de lluvia.
¿Qué pirámide usarás para el techo?	Pirámide pentagonal (misma base que el prisma).
¿Qué altura tendrá el techo?	2 m.

Graficamos a partir de modelos dados

Antes de dibujar, ten listos tus instrumentos (regla, escuadra, compás y transportador) y lee el recurso “Conociendo el área y el volumen de prismas y pirámides” que está al final de esta página. El boceto debe ser proporcional a las medidas reales.

Escala sugerida 1:100. Con 1 cm en el papel = 1 m reales, dibuja el lado del pentágono con 10 cm, la pared con 7 cm de alto y el techo con 2 cm de alto.

Fórmulas clave

Qué calculamos	Fórmula
Apotema del pentágono regular	ap = L ÷ (2 · tan 36°)
Área de la base (polígono regular)	Ab = (perímetro · apotema) ÷ 2
Área lateral del prisma	AL = perímetro de la base · altura
Volumen del prisma	V = Ab · h
Altura de la cara triangular (apotema de la pirámide)	a = √(h² + ap²) (Pitágoras)
Área lateral de la pirámide	AL = (perímetro · a) ÷ 2
Volumen de la pirámide	V = ⅓ · Ab · h

Paso 1: la base de la estructura

Dibujamos el pentágono regular de 10 m de lado y calculamos su área.

Base de la estructura (bidimensional)

Apotema
ap = 10 ÷ (2 · tan 36°) = 10 ÷ (2 · 0,7265) = 10 ÷ 1,453 ≈ 6,88 m
Área de la base
A_b = (5 · 10 · 6,88) ÷ 2 = 344 ÷ 2
A_b = 172 m²

Paso 2: el cuerpo de la edificación (prisma pentagonal)

El prisma tiene 5 paredes rectangulares de 10 m × 7 m. Calculamos su área lateral y su volumen.

Cara lateral (bidimensional)

Prisma pentagonal (tridimensional)

Área lateral (5 paredes)
A_L = 5 · (10 · 7) = 5 · 70
A_L = 350 m²
Volumen
V = A_b · h = 172 m² · 7 m
V = 1204 m³

Paso 3: el techo (pirámide pentagonal)

Para hallar el área del techo necesitamos la altura de cada cara triangular. Formamos un triángulo rectángulo con la altura del techo (2 m) y la apotema de la base (6,88 m), y aplicamos el teorema de Pitágoras.

Altura de la cara triangular
a = √(2² + 6,88²) = √(4 + 47,33) = √51,33
a ≈ 7,16 m
Área de una cara triangular
A = (10 · 7,16) ÷ 2 = 71,6 ÷ 2
A = 35,80 m²

Cara lateral del techo (bidimensional)

Techo piramidal (tridimensional)

Ahora completamos el techo con sus 5 caras triangulares y su volumen:

Área lateral del techo (5 caras)
A_L = 5 · 35,80
A_L = 179 m²
Volumen de la pirámide
V = ⅓ · A_b · h = ⅓ · (172 · 2) = ⅓ · 344
V ≈ 114,67 m³

Corrección importante. En la versión anterior de esta actividad el área del techo se calculó multiplicando por 6 caras (214,80 m²). Una pirámide pentagonal solo tiene 5 caras laterales, porque la sexta cara es la base, que no es parte del techo. Por eso el valor correcto es 5 · 35,80 = 179 m², y los resultados finales de calamina y área total también cambian.

Construimos usando los datos: diseño final

Unimos el cuerpo con el techo. La pirámide se apoya sobre la cara superior del prisma, que coincide con su base.

Plano de la estructura (bidimensional)

Mercado pentagonal (tridimensional)

Parte	Área	Volumen
Prisma (paredes)	350 m²	1204 m³
Pirámide (techo)	179 m²	114,67 m³
Total de paredes + techo	350 + 179 = 529 m²	1204 + 114,67 = 1318,67 m³
Si se incluye el piso (base)	529 + 172 = 701 m² de superficie total	—

Respondemos las preguntas en el cuaderno

Pregunta	Respuesta
¿Cuántos metros cuadrados de pared se necesitarán?	350 m² (5 paredes de 10 m × 7 m, sin descontar puertas ni ventanas).
¿Qué cantidad de calamina, como mínimo, se requiere para techar?	179 m² (5 caras de 35,80 m²). En obra conviene añadir cerca de un 10 % por traslapes y cortes: unos 197 m².
¿Qué espacio ocupará toda la estructura?	1318,67 m³ (1204 m³ del prisma + 114,67 m³ de la pirámide).
¿Qué poliedros empleamos en el diseño?	Un prisma pentagonal (heptaedro: 5 caras laterales + 2 bases = 7 caras) y una pirámide pentagonal (hexaedro: 5 caras triangulares + 1 base = 6 caras). Ambos son poliedros irregulares, pues no son uno de los cinco sólidos platónicos.

Dato extra: ¿cuántas caras, aristas y vértices tiene el sólido unido?

Al unir ambos cuerpos queda un poliedro de 11 caras (1 piso + 5 paredes + 5 caras del techo), 20 aristas y 11 vértices. Se cumple la relación de Euler: C + V − A = 11 + 11 − 20 = 2.

Planteamos nuestra propuesta

Presenta en una hoja o en Smart Office el boceto final de la estructura. Revisa que incluya:

• El desarrollo bidimensional del cuerpo (pentágono de la base y 5 rectángulos) y del techo (5 triángulos).
• La vista tridimensional del mercado con prisma y pirámide unidos.
• Las medidas rotuladas y la escala usada.
• Los cálculos de área y volumen con sus unidades (m² y m³).
• Una frase que explique qué asunto público resuelve tu diseño.

Evaluamos nuestros avances

Marca con una “X” lo que consideres y escribe qué harás para mejorar tu aprendizaje.

Competencia: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.

Aprendizajes de mi actividad	Lo logré	Estoy en proceso	¿Qué puedo hacer para mejorar?
Realicé gráficos en el plano de prismas o pirámides.
Identifiqué los elementos que tienen los prismas o pirámides.
Empleé estrategias para calcular el área lateral, total y volumen del prisma y la pirámide.
Planteé relaciones entre las áreas de las figuras planas con el área lateral y total del prisma y la pirámide.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la altura de los triángulos del techo?

Con el teorema de Pitágoras: se forma un triángulo rectángulo con la altura del techo (2 m) y la apotema de la base (6,88 m). La hipotenusa es la altura de la cara: √(2² + 6,88²) ≈ 7,16 m.

¿Por qué el techo tiene 5 caras y no 6?

Una pirámide pentagonal tiene 5 caras laterales triangulares y 1 base pentagonal. La base queda apoyada sobre el prisma, por eso no cuenta como parte del techo.

¿Cómo se calcula el volumen de una pirámide?

Es la tercera parte del volumen de un prisma con la misma base y altura: V = ⅓ · A_b · h. Aquí, ⅓ · 172 · 2 ≈ 114,67 m³.

¿Por qué usamos m² para unas medidas y m³ para otras?

El área mide superficie (paredes, techo) y se expresa en metros cuadrados. El volumen mide el espacio que ocupa el sólido y se expresa en metros cúbicos.

Recursos para descargar

Ficha de autoaprendizaje (Word) Área y volumen de prismas y pirámides Plano de prisma y pirámide

Adaptado de: MINEDU (5 de noviembre de 2021). Aprendo en Casa. aprendoencasa.pe. Los cálculos y respuestas fueron revisados y corregidos para este artículo.