Olimpiada de Matemática Fase 3 Nivel 2 ONEM 2019

XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2019)

Tercera Fase - Nivel 2

26 de setiembre de 2019

Preguntas:

1. Hugo y Sandro salieron a la misma hora, cada uno con su automóvil, desde Trujillo con dirección a Chiclayo. Los primeros 30 minutos la rapidez de Hugo fue 56 km/h, luego, decidió bajar su rapidez a 32 km/h. Después de 15 minutos de reducir su rapidez, Hugo fue alcanzado por Sandro. Si desde el inicio la rapidez de Sandro fue v km/h. Calcule el valor de v.

2. Para cada entero positivo k, sea P(k) la siguiente proposición: “Si la suma de los dígitos de un entero positivo de tres dígitos es k, entonces al menos dos de sus dígitos son iguales". De las veintisiete proposiciones P(1); P(2); : : : ; P(27), ¿cuántas son verdaderas?

3. Definimos las funciones f(x) = 2x3 y g(x) = 128x6. Si r es un número real positivo tal que

f(f(f(r))) = g(g(r)),

calcule el valor de 128r.

4. Determine cuantos enteros positivos n, con n £ 1000, cumplen que n(n+1)(n+2) es múltiplo de 9999.

5. En la figura se muestra dos cuadrados y una recta que pasa por sus centros. Si AB = 8 y CD = 18, calcule la longitud de BC.


6. Sea N = 25x57x79. Determine cuantos enteros positivos d cumplen que d + N/d es un número entero impar.

7. Determine la cantidad de números de dos dígitos ab, con a 6 ¹ b, para los cuales se cumple que aabb es múltiplo de ab.

8. Sea w una circunferencia de radio 20 y P un punto cuya distancia al centro de w es 18. Determine cuántas cuerdas de w pasan por P y tienen longitud entera.

Aclaración: Una cuerda es un segmento que une dos puntos de una circunferencia.

9. Roxana tiene cinco tarjetas de colores distintos en una bolsa. Cada uno de los días lunes, martes y miércoles ella realizo el siguiente procedimiento: extrajo al azar tres tarjetas y las devolvió a la bolsa. Si la probabilidad de que cada tarjeta haya sido extraída al menos una vez (considerando los tres días) es m/n, donde m y n son enteros positivos coprimos, calcule el valor de m + n.

10. Un conjunto finito A de números reales es llamado interesante si para cualquier elemento x Î A se verifica la condición x(x  1) Î  A. Sea U la unión de todos los conjuntos interesantes que tienen exactamente 12 elementos. Determine cuántos elementos tiene el conjunto U.


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