Sesión 15 Matemática 3° Secundaria: Área y Volumen de Prismas y Pirámides

Área Curricular: Matemática  |  Grado: 3.er grado de secundaria (Ciclo VII)  |  Unidad 3  |  Duración: 2 horas pedagógicas  |  I.E. "José Gálvez Egúsquiza" - Pichugán, Chota, Cajamarca

Área lateral, área total y volumen de prismas y pirámides: el granero de la comunidad de Pichugán

¿Cuánto cartón se necesita para forrar un granero con techo en punta? ¿Cuántos sacos de cereal caben dentro? Estas preguntas, lejos de ser abstractas, son el punto de partida de la Sesión de Aprendizaje N.º 15 de Matemática para 3.er grado de secundaria, donde los estudiantes de la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" de Pichugán aprenden a calcular el área lateral, el área total y el volumen de prismas y pirámides resolviendo el reto de construir un granero comunal.

La sesión se alinea a la competencia del Currículo Nacional (CNEB-MINEDU) "Resuelve problemas de forma, movimiento y localización", movilizando la capacidad de modelar cuerpos geométricos compuestos, comunicar su comprensión sobre las formas tridimensionales y aplicar estrategias de medición para resolver un problema real de la comunidad.

Propósito de la sesión

Se busca que los estudiantes calculen el área lateral, el área total y el volumen de prismas y pirámides regulares, estableciendo relaciones entre las características de los cuerpos tridimensionales y sus expresiones numéricas. Al finalizar, deberán poder:

• Identificar la base, la cara lateral, la altura y la apotema en prismas y pirámides.
• Seleccionar y aplicar correctamente las fórmulas de área lateral, área total y volumen.
• Justificar los procesos seguidos al resolver problemas contextualizados.

Las fórmulas clave: prisma recto y pirámide regular

Antes de resolver el problema del granero, formalicemos las tres fórmulas que se usan tanto en un prisma recto como en una pirámide regular, para poder compararlas:

Prisma recto

• Área lateral: A_L = P_base × h
• Área total: A_T = A_L + 2·A_base
• Volumen: V = A_base × h

Pirámide regular

• Área lateral: A_L = P_base × Ap / 2
• Área total: A_T = A_L + A_base
• Volumen: V = A_base × h / 3

Donde P_base es el perímetro de la base, A_base es el área de la base, h es la altura del cuerpo y Ap es la apotema de la pirámide (la distancia, medida sobre una cara lateral, entre el vértice superior y el punto medio de un lado de la base). Un dato que suele sorprender a los estudiantes: si un prisma y una pirámide comparten la misma base y la misma altura, el volumen de la pirámide es exactamente la tercera parte del volumen del prisma — de ahí el "÷ 3" en su fórmula.

El problema guía: el granero de la familia Quispe

La familia Quispe necesita construir un granero para almacenar cereales. El granero tiene la forma de un prisma cuadrangular regular en la parte inferior, coronado por una pirámide cuadrangular regular a modo de techo. Sus dimensiones son:

• Lado de la base cuadrada: 6 m
• Altura de la parte prismática: 4 m
• Altura de la parte piramidal (techo): 2,5 m

Las planchas de cartón cubrirán toda la superficie exterior excepto la base, que queda apoyada sobre el suelo, y se debe agregar un 10 % adicional de cartón para uniones y desperdicios. Se plantean tres preguntas: (a) el área total de cartón necesaria, (b) el volumen o capacidad de almacenamiento del granero, y (c) cuántos kilogramos de cereal puede almacenar como máximo, sabiendo que cada metro cúbico admite aproximadamente 750 kg.

a) ¿Cuánto cartón se necesita?

Como la base no se cubre, solo se suma el área lateral del prisma más el área lateral de la pirámide (el techo).

Área lateral del prisma:
A_L = P_base × h = (4 × 6 m) × 4 m = 24 m × 4 m = 96 m²

Área lateral de la pirámide: primero se halla la apotema de la pirámide (Ap) con el teorema de Pitágoras, usando la altura del techo (2,5 m) y la mitad del lado de la base (3 m):

Ap = √(h² + (lado/2)²) = √(2,5² + 3²) = √(6,25 + 9) = √15,25 ≈ 3,91 m

A_L = P_base × Ap / 2 = (24 m × 3,91 m) / 2 ≈ 46,86 m²

Suma y adicional del 10 %:

Total sin adicional = 96 m² + 46,86 m² = 142,86 m²
Total con 10 % adicional = 142,86 m² × 1,10 ≈ 157,15 m²

Se necesitan aproximadamente 157,15 m² de cartón.

b) ¿Cuál es el volumen o capacidad de almacenamiento?

V_prisma = A_base × h = (6 m × 6 m) × 4 m = 36 m² × 4 m = 144 m³

V_pirámide = A_base × h / 3 = 36 m² × 2,5 m / 3 = 30 m³

V_total = 144 m³ + 30 m³ = 174 m³

El granero tiene una capacidad de 174 m³.

c) ¿Cuántos kilogramos de cereal puede almacenar como máximo?

174 m³ × 750 kg/m³ = 130 500 kg

El granero puede almacenar como máximo 130 500 kg de cereal (equivalentes a 2 610 sacos de 50 kg).

Secuencia didáctica de la sesión

La sesión se desarrolla en tres momentos, siguiendo el enfoque de resolución de problemas del CNEB:

• Inicio (15 min): el docente presenta maquetas de un contenedor prismático y una pirámide ceremonial, y plantea el conflicto cognitivo: ¿qué diferencia existe entre el volumen de una pirámide y el de un prisma que comparten la misma base y altura?
• Desarrollo (60 min): los estudiantes, organizados en equipos heterogéneos, analizan el problema del granero, grafican el cuerpo geométrico, descomponen la figura en caras planas y deducen las fórmulas de área lateral, área total y volumen antes de aplicarlas. Un representante de cada equipo socializa sus resultados en la pizarra.
• Cierre (15 min): metacognición guiada por preguntas como "¿Qué estrategias facilitaron la distinción entre área y volumen?" y "¿En qué situaciones reales resulta indispensable conocer el área total de una pirámide o prisma?".

La evaluación se realiza mediante una rúbrica analítica que valora la precisión de los cálculos, la identificación de los elementos geométricos (base, cara lateral, altura, apotema) y la argumentación del procedimiento seguido.

Ficha de aprendizaje: 10 problemas para practicar [Descarga aquí]

Como parte de la sesión, los estudiantes resuelven una ficha individual con situaciones variadas de prismas y pirámides:

1. Un prisma cuadrangular regular con base cuadrada de 6 cm de lado y altura de 10 cm: calcular su área lateral, área total y volumen.
2. Una pirámide cuadrangular regular con base cuadrada de 8 cm de lado, altura de 3 cm y apotema de 5 cm: hallar el área lateral, el área total y el volumen.
3. Un depósito con forma de prisma triangular recto, con área de base de 24 cm² y perímetro de 24 cm, y altura de 15 cm: hallar el área total y el volumen.
4. Una carpa piramidal cuadrangular regular, con base de 4 m de lado y apotema de la cara lateral de 3 m: calcular los metros cuadrados mínimos de lona para cubrir solo sus caras laterales.
5. Un contenedor con forma de prisma rectangular de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto: determinar su capacidad máxima en m³.
6. Una pirámide de base hexagonal regular, con área de base de 40 cm² y altura de 9 cm: calcular su volumen exacto.
7. Una columna de madera con forma de prisma cuadrangular regular de 2 m de altura y lado de base de 0,3 m: calcular cuántos m² se barnizarán en toda su superficie exterior, incluidas las bases.
8. Una pirámide cuadrangular regular con altura de 12 cm y volumen de 400 cm³: hallar el área de su base cuadrada.
9. Un envase prismático de base cuadrada de 5 cm de lado y 12 cm de altura, lleno de agua, que se vierte en un recipiente piramidal con la misma base y altura: calcular cuánta agua se derrama.
10. Una estructura que combina un prisma cuadrangular de 10 m de lado y 6 m de altura, coronado por una pirámide de la misma base con 4 m de altura y 6,4 m de apotema: calcular el volumen total y la superficie lateral total a revestir.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre el área lateral y el área total?

El área lateral (A_L) suma solo las caras que rodean al cuerpo, sin las bases. El área total (A_T) añade el área de la base (pirámide) o de las dos bases (prisma) al área lateral.

¿Por qué el volumen de la pirámide se divide entre 3?

Porque tres pirámides congruentes con la misma base y altura encajan exactamente dentro de un prisma de esas mismas medidas, por lo que el volumen de una sola pirámide equivale a un tercio del volumen del prisma.

¿Cómo se halla la apotema de una pirámide cuando no es un dato directo?

Se aplica el teorema de Pitágoras: Ap² = h² + (apotema de la base)², usando la altura de la pirámide y la distancia del centro de la base al punto medio de un lado.

¿Cómo se resuelve un cuerpo compuesto, como un granero o un silo?

Se descompone en sus partes simples (por ejemplo, prisma + pirámide), se calcula el área o el volumen de cada una por separado y luego se suman los resultados.

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Sesión adaptada por el Prof. Carlos Guarniz para la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" - Pichugán, Chota, Cajamarca, en el marco de la Unidad 3 de Matemática de 3.er grado de secundaria.