ONEM 2025 Etapa UGEL Nivel 2 preguntas y respuestas

XXI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática - Aceros Arequipa (ONEM AA 2025) Etapa UGEL Nivel 2

Fecha de aplicación: jueves, 21 de agosto de 2025.

1. En un colegio, el protocolo establece que los estudiantes deben organizarse en filas con la misma cantidad de estudiantes en cada una. Justo después de organizar a los 756 estudiantes asistentes según lo indicado por el protocolo, aparecieron 4 estudiantes que habían llegado tarde. Entonces, un estudiante tomó 1 estudiante de cada fila y los reunió junto con los 4 recién llegados para formar dos filas adicionales, logrando así reorganizar a todos los estudiantes en filas nuevamente conforme al protocolo. ¿Cuántas filas había originalmente, antes de que llegaran los 4 estudiantes rezagados?

Respuesta: 36 filas.

2. Una mañana, Mercedes preparó café con leche para cada miembro de su familia, incluyéndose a sí misma. Sirvió una taza llena a cada uno, con igual cantidad de café y leche. Cada taza contenía algo de café y algo de leche, aunque en proporciones distintas de acuerdo al gusto de cada persona. La cantidad de café en todas las tazas sumaba exactamente la mitad de la leche utilizada. La cantidad total de café de Mercedes era exactamente la misma cantidad de leche en la taza de su esposo. Considerando que se utilizaron todas las tazas, ¿Cuántos miembros de la familia tiene la familia de Mercedes, contándola a ella?

Respuesta: n = 5

3. Carlos tiene 15 caramelos. Él lanza un dado y, dependiendo del resultado, ocurre lo siguiente:

a. Si el resultado es 4, 5 o 6, gana 15 caramelos.
b. Si el resultado es 2 o 3, gana 5 caramelos.
c. Si el resultado es 1, pierde 15 caramelos.

La probabilidad de que Carlos duplique su número de caramelos luego de tres lanzamientos es a/b, donde a y b son enteros positivos coprimos. Calcule el valor de a + b.

Respuesta: 35 + 216 = 251.

4. Ramón sale de su casa hacia el trabajo cada día laborable exactamente a las 8:00 a.m. Siempre se transporta en bicicleta y tiene una hora fija de entrada al trabajo. Cuando se desplaza con una rapidez de 20 km/h, llega 3 minutos tarde a la hora de entrada. En cambio, si se desplaza con una rapidez de 30 km/h, llega 3 minutos antes de la hora de entrada. ¿Con qué rapidez, en km/h, debe desplazarse Ramón para llegar exactamente a tiempo al trabajo?

Respuesta: 24 km/h.

5. Seis amigos se sientan alrededor de una mesa con forma de hexágono regular, colocándose uno en cada lado. Llamaremos vecinos a dos amigos que estén sentados en lados consecutivos del hexágono. Los números del 2 al 7 se escriben en seis papelitos, uno por número, y luego se reparten al azar, uno a cada amigo. Se desea calcular la probabilidad de que cada par de amigos vecinos hayan recibido dos números coprimos. Si esta probabilidad es 1/p, determine el valor de P.

Respuesta: 30.

6. Los números a, b y c son enteros positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ab+c=60,$$ $$bc+a=60,$$ $$ca+b=105$$

Determine el valor de $a+b+c$.

Respuesta: 10 + 5 + 10 = 25.

7. La siguiente figura muestra cómo ha sido dividido el segundo piso de la casa de los Gonzales en 10 habitaciones, algunas con forma de triángulo y otras con forma de trapecio:

La familia Gonzales se dispone a pintar las paredes de cada habitación, y para ello cuenta únicamente con tres colores distintos de pintura: rojo, azul y verde. El abuelo Gilberto establece las siguientes reglas:

✍️ Dentro de cada habitación se debe usar un solo color.

✍️ Si dos habitaciones comparten una pared, deben ser pintadas de colores distintos.

¿De cuántas maneras diferentes se pueden pintar las habitaciones, respetando las reglas impuestas por Gilberto?

Respuesta: 384 maneras diferentes.

8. Sobre una mesa hay doce cartas numeradas del 1 al 12. Ana divide las cartas en dos grupos (con al menos una carta en cada grupo), se queda con uno de ellos y entrega el otro grupo a Beto. Luego, Ana multiplica los números escritos en sus cartas y obtiene como resultado el número $A$. Por su parte, Beto hace lo mismo con sus cartas y obtiene como resultado el número $B$. Si se cumple que $A$ es múltiplo de $B$, determine el menor valor posible del cociente $\tfrac{A}{B}$.

Respuesta: 231

9. En un paralelogramo $ABCD$, se elige un punto $E$ del lado $BC$. Los segmentos $AE$ y $BD$ se intersectan en el punto $F$. Si el área de la región $AFD$ es $9 \, \text{cm}^2$ y el área de la región $ECDF$ es $11 \, \text{cm}^2$, determine el mayor valor posible del área del paralelogramo $ABCD$.

Respuesta: 30 centímetros cuadrados.

10. Un tablero de 5 x 5 casillas debe ser dividido en rectángulos (posiblemente cuadrados), de modo que cada rectángulo cubra un número entero de casillas. En la figura siguiente se muestra un ejemplo en el que el tablero ha sido dividido en tres rectángulos: uno de ellos cubre 10 casillas, otro cubre 6 casillas y el tercero cubre 9 casillas.

Una vez dividido el tablero, se forma una lista con la cantidad de casillas cubiertas por cada rectángulo. Luego, se multiplican estos valores, y se obtiene un producto P. En el ejemplo mostrado, el producto es

$$P=10\times 6\times 9.$$

¿Cuál es el mayor valor que puede tomar el producto P?

Respuesta: 8748