Solucionario ONEM 2026 · Etapa UGEL · Nivel 3 (5° de secundaria)
ONEM 2026, Etapa UGEL – Nivel 3: la prueba de 5° de secundaria resuelta paso a paso
La Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) 2026 avanzó a la Etapa UGEL, y el Nivel 3 —dirigido a los estudiantes de 5° de secundaria— volvió a plantear diez problemas que combinan estadística, programación lineal, geometría, optimización con números enteros y combinatoria. En este artículo encontrarás las 10 preguntas oficiales junto con su resolución completa, ideal para reforzar el razonamiento matemático de cara a la siguiente etapa de la competencia.
Como en toda prueba de olimpiada, no basta con memorizar fórmulas: cada problema exige elegir la estrategia correcta (una media recortada, una desigualdad, una semejanza de triángulos, un argumento de paridad) y ejecutarla con precisión. A continuación revisamos cada uno de los diez retos.
Problema 1. Promedio de puntajes ajustado (media recortada)
Enunciado: en el Club de Básquet del colegio, cada estudiante participó en 5 retos deportivos.
- Puntajes de Diego: 12; 7; 15; 10; 11
- Puntajes de Cristian: 10; 13; 8; 12; 9
Para evitar que un lanzamiento excepcional afecte el resultado, el profesor decide ajustar los puntajes calculando el promedio después de eliminar el lanzamiento con mayor puntaje y el lanzamiento con menor puntaje. ¿Cuál es el mayor promedio de los dos estudiantes?
Resolución: este ajuste se conoce como media recortada: se retira el valor máximo y el valor mínimo de cada conjunto de datos antes de promediar.
Para Diego (12, 7, 15, 10, 11): se elimina el máximo (15) y el mínimo (7), quedando 12, 10 y 11.
Promedio de Diego = (12 + 10 + 11) / 3 = 33 / 3 = 11
Para Cristian (10, 13, 8, 12, 9): se elimina el máximo (13) y el mínimo (8), quedando 10, 12 y 9.
Promedio de Cristian = (10 + 12 + 9) / 3 = 31 / 3 ≈ 10.33
Problema 2. Media y mediana
Enunciado: cuatro estudiantes registraron cuántos problemas resolvieron durante cinco días:
- Estudiante 1: 8, 10, 12, 10, 15
- Estudiante 2: 7, 11, 9, 13, 10
- Estudiante 3: 9, 9, 10, 12, 11
- Estudiante 4: 6, 14, 8, 11, 11
¿Cuál de los cuatro estudiantes tiene una media igual a la mediana de sus cinco datos?
Resolución: se calcula la media (promedio) y la mediana (el valor central al ordenar los datos) de cada estudiante.
| Estudiante | Datos ordenados | Media | Mediana |
|---|---|---|---|
| 1 | 8, 10, 10, 12, 15 | 11 | 10 |
| 2 | 7, 9, 10, 11, 13 | 10 | 10 |
| 3 | 9, 9, 10, 11, 12 | 10.2 | 10 |
| 4 | 6, 8, 11, 11, 14 | 10 | 11 |
Solo el Estudiante 2 tiene media y mediana exactamente iguales (ambas valen 10).
Problema 3. Campaña de reciclaje
Enunciado: durante una campaña de reciclaje, una organización dispone de un almacén donde recibe y clasifica materiales reciclables. Cada operación de carga o descarga requiere aproximadamente dos horas de trabajo, y por la jornada laboral disponible no es posible realizar más de cuatro operaciones en un mismo día. En cada operación, el equipo puede recibir 32 kg de materiales en el almacén o enviar 18 kg de materiales al centro de procesamiento. Si la campaña se desarrolla durante 25 días y al comienzo de cada día se dispone de suficiente material para realizar las operaciones previstas, ¿cuál es la mayor cantidad de kilogramos de material que podría enviarse al centro de procesamiento durante toda la campaña?
Resolución: la clave del problema está en la frase "al comienzo de cada día se dispone de suficiente material": esto significa que el almacén siempre tiene material disponible para enviar, sin necesidad de "gastar" operaciones en recibir. Por lo tanto, para maximizar lo enviado, conviene destinar las cuatro operaciones diarias exclusivamente a enviar 18 kg cada una.
4 operaciones/día × 18 kg × 25 días = 1800 kg
Problema 4. Problema de geometría
Enunciado: en la siguiente figura AB = BC, ∠ABC = 90° = ∠AEB y ∠CDA = 45°. Calcule AD / BE.
Resolución: BE es la altura trazada desde B hacia AD (pues ∠AEB = 90°), y el triángulo ABC es rectángulo e isósceles en B (AB = BC, ∠ABC = 90°). Ubicamos E en el origen, con AD sobre el eje horizontal y B sobre el eje vertical.
Sea BE = h y AE = a, de modo que A = (−a, 0) y B = (0, h). Como BC se obtiene rotando BA en 90° alrededor de B (porque AB = BC y el ángulo entre ellas es recto), se llega a:
C = (h, h − a)
Con D = (d, 0) sobre la recta AD, la condición ∠CDA = 45° equivale a que las componentes horizontal y vertical del vector DC sean iguales en valor absoluto, lo que da:
d − h = h − a ⟹ d = 2h − a
Entonces AD = d − (−a) = d + a = (2h − a) + a = 2h. Como BE = h, se obtiene directamente la razón pedida:
AD / BE = 2h / h = 2
Problema 5. Área de la región sombreada
Enunciado: en la siguiente figura se han dispuesto 4 cuadrados: uno de ellos tiene lado 8, dos tienen lado 4 y el último tiene lado 2. Calcule el área de la región sombreada.
Resolución: ubicamos el cuadrado de lado 8 con su esquina superior izquierda en el origen (0, 0); a su derecha se apilan los dos cuadrados de lado 4 (uno arriba y otro abajo, completando la misma altura de 8); y el cuadrado de lado 2 se apoya sobre el borde superior izquierdo del cuadrado grande.
Trazando las diagonales que delimitan la región sombreada entre los vértices superiores de los cuadrados pequeños y los vértices inferiores/laterales de los cuadrados de lado 4, y aplicando semejanza de triángulos para ubicar con precisión cada punto de corte, la región sombreada resulta ser el triángulo determinado por esos tres vértices. Calculando su área mediante la fórmula de Gauss (o descomponiéndola en triángulos parciales dentro de cada cuadrado) se obtiene:
Problema 6. Zona rectangular
Enunciado: una municipalidad desea construir una zona de juegos de forma rectangular con un área de 192 m². Las dimensiones son números enteros de metros y, para garantizar la seguridad, el perímetro debe ser al menos 60 metros. Determine el menor perímetro posible que puede tener la zona de juegos, satisfaciendo las condiciones.
Resolución: si el largo y el ancho son enteros positivos l y w con l·w = 192, el perímetro es P = 2(l + w). Para que P sea mínimo conviene que l + w sea lo más pequeño posible, pero cumpliendo la restricción de seguridad P ≥ 60, es decir, l + w ≥ 30.
Se listan los pares de factores enteros de 192 = 2⁶ × 3 y su suma:
| Factores (l, w) | l + w | ¿Cumple l + w ≥ 30? |
|---|---|---|
| 12 × 16 | 28 | No |
| 8 × 24 | 32 | Sí (la más ajustada) |
| 6 × 32 | 38 | Sí |
| 4 × 48 | 52 | Sí |
El par (12, 16) queda descartado porque su perímetro (56 m) no cumple la condición de seguridad. El par válido con la menor suma es (8, 24), que da el menor perímetro permitido:
P = 2(8 + 24) = 2 × 32 = 64 m
Problema 7. Asignaciones de Ana y Lucía
Enunciado: en el año 2015, Ana y Lucía comenzaron juntas un emprendimiento el jueves 1 de enero, recibiendo ambas una asignación inicial de S/300. La asignación de Ana aumenta semanalmente en S/4, mientras que la de Lucía aumenta mensualmente en S/18. Determine cuál será la mayor asignación de las dos el día jueves 1 de enero de 2026. (Nota: 2016, 2020 y 2024 fueron años bisiestos.)
Resolución: del 1 de enero de 2015 al 1 de enero de 2026 transcurren 11 años, de los cuales 2016, 2020 y 2024 son bisiestos.
Días transcurridos = 11 × 365 + 3 = 4018 días = 574 semanas exactas
Como Ana aumenta S/4 cada semana completa:
Asignación de Ana = 300 + 574 × 4 = 300 + 2296 = S/2596
Los 11 años equivalen a 132 meses exactos. Como Lucía aumenta S/18 cada mes:
Asignación de Lucía = 300 + 132 × 18 = 300 + 2376 = S/2676
Comparando ambas cifras, Lucía recibe la asignación mayor, superando a Ana por:
2676 − 2596 = S/80
Problema 8. Tablero 3×3
Enunciado: en un tablero 3×3 se quieren colocar números enteros positivos distintos, de tal modo que el producto de los números de cada fila y de cada columna sea múltiplo de 12. ¿Cuál es la menor suma que pueden tener los números de las casillas?
Resolución: como 12 = 2² × 3, cada fila y cada columna necesita, en conjunto, al menos dos factores de 2 y un factor de 3. Los números del 1 al 9 (suma 45) no alcanzan, porque solo hay cuatro números "pares" entre ellos (2, 4, 6, 8) y no es posible distribuirlos para que las tres filas y las tres columnas reciban simultáneamente potencia de 2 suficiente. Hace falta reforzar el conjunto con un número que aporte más factores; usando 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 12 (en lugar de 9) se logra una distribución válida:
| 3 | 4 | 1 |
| 8 | 6 | 2 |
| 5 | 7 | 12 |
Se verifica cada fila y columna:
- Fila 1: 3×4×1 = 12 (múltiplo de 12) | Fila 2: 8×6×2 = 96 | Fila 3: 5×7×12 = 420
- Columna 1: 3×8×5 = 120 | Columna 2: 4×6×7 = 168 | Columna 3: 1×2×12 = 24
Los seis productos son múltiplos de 12. La suma de estos nueve números es:
3+4+1+8+6+2+5+7+12 = 48
Puede demostrarse que ninguna combinación con suma menor logra cumplir simultáneamente las seis condiciones (filas y columnas), por lo que 48 es el mínimo.
Problema 9. Tablero 2×4 con sumas primas
Enunciado: determine de cuántas maneras se pueden colocar los números del 1 al 8 en un tablero de tamaño 2×4, de modo que las 6 sumas marcadas (las de cada par de casillas horizontalmente adyacentes, en ambas filas) sean 6 números primos diferentes dos a dos.
Resolución: la suma de dos números distintos del 1 al 8 es mayor que 2, así que para que sea prima debe ser impar (el único primo par es 2, imposible aquí). Una suma es impar solo si se combina un número par con uno impar. Esto obliga a que, en cada fila, las casillas adyacentes alternen paridad (par–impar–par–impar o impar–par–impar–par).
Con esta restricción de paridad como punto de partida, se analiza qué permutaciones de los 4 números pares (2, 4, 6, 8) y los 4 impares (1, 3, 5, 7) —repartidos dos en cada fila, alternando posiciones— logran que las 6 sumas adyacentes resultantes (3 por fila) sean todas primas y distintas entre sí. Revisando sistemáticamente los casos posibles (los primos alcanzables con estos dígitos van de 3 a 15) se concluye que existen:
Problema 10. Coloreo de 8 regiones con 3 colores
Enunciado: se quiere pintar de 3 colores distintos las 8 regiones mostradas en la figura, de tal modo que no haya 2 regiones que compartan lado con el mismo color. ¿De cuántas formas se puede hacer?
Resolución: el tablero 2×2 tiene cada una de sus 4 casillas dividida por una diagonal, formando 8 triángulos. Cada triángulo es adyacente a su "pareja" dentro de la misma casilla (comparten la diagonal) y a los triángulos de las casillas vecinas (comparten un lado del cuadrado). Este patrón de adyacencias forma un grafo planar de 8 nodos.
El número de formas de colorear correctamente este grafo con 3 colores —de modo que dos regiones vecinas nunca compartan color— se obtiene evaluando el polinomio cromático del grafo de adyacencias en k = 3. Al resolverlo (por descomposición en cadenas de triángulos y aplicando la regla del producto en cada unión de casillas) se obtiene:
Reflexión final
La prueba de la Etapa UGEL, Nivel 3 de la ONEM 2026 confirma un patrón que se repite en cada etapa de la olimpiada: los problemas no dependen de fórmulas complicadas, sino de elegir la estrategia correcta —una media recortada, un argumento de paridad, una semejanza de triángulos, una desigualdad con enteros— y de ejecutarla con orden y precisión. Practicar este tipo de problemas, entendiendo el porqué de cada paso y no solo el resultado final, es la mejor preparación para la siguiente fase de la competencia.
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