Triángulos semejantes y criterios de semejanza aplicados a mapas a escala
Sesión de Aprendizaje N.º 08 · Unidad 3 · Matemática · 3.° de Secundaria
I.E. "José Gálvez Egúsquiza" – Pichugán, Chota, Cajamarca | Duración: 90 minutos | Fecha: 13 de agosto de 2026
¿Cómo es posible calcular la altura de un poste sin trepar hasta la punta, o conocer la distancia real entre dos cerros sin recorrerla a pie? La respuesta está en uno de los conceptos más útiles de la geometría escolar: la semejanza de triángulos. En esta sesión de aprendizaje para 3.° de secundaria, los estudiantes de la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" exploran los tres criterios de semejanza —AA, LAL y LLL— para leer mapas a escala, calcular distancias inaccesibles y resolver problemas propios de su entorno rural en Pichugán.
¿Qué aprenderán los estudiantes en esta sesión?
La sesión desarrolla la competencia del Currículo Nacional de Educación Básica (CNEB-Minedu) "Resuelve problemas de forma, movimiento y localización", combinando el modelado geométrico de situaciones reales con la argumentación de relaciones entre figuras semejantes. Los criterios de evaluación giran en torno a cuatro capacidades:
- Establecer relaciones entre las características de objetos reales y representarlas mediante modelos geométricos que incluyen triángulos semejantes y escalamiento.
- Explicar las propiedades de la semejanza entre triángulos utilizando razonamiento deductivo y los criterios formales AA, LLL y LAL.
- Emplear estrategias heurísticas y procedimientos de cálculo para resolver problemas con mapas a escala y figuras semejantes.
- Plantear y sustentar afirmaciones sobre relaciones entre áreas, longitudes y razón de semejanza en representaciones a escala.
Como evidencia de aprendizaje, los equipos resuelven una guía de trabajo en la que analizan un plano/mapa a escala de la localidad de Pichugán, identifican triángulos semejantes, demuestran la semejanza aplicando los criterios formales y determinan distancias inaccesibles mediante proporciones métricas. El desempeño se valora mediante una rúbrica de cuatro niveles (Inicio, Proceso, Logrado, Destacado).
Fundamento teórico: ¿qué es la semejanza de triángulos?
Dos triángulos son semejantes (símbolo ∼) cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. A diferencia de la congruencia —donde forma y tamaño coinciden exactamente—, la semejanza conserva la forma pero permite un cambio de escala: es exactamente lo que ocurre entre un mapa y el territorio que representa.
Los tres criterios de semejanza de triángulos
| Criterio | Condición |
|---|---|
| AA (Ángulo-Ángulo) | Dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo. |
| LLL (Lado-Lado-Lado) | Los tres lados correspondientes son proporcionales entre sí. |
| LAL (Lado-Ángulo-Lado) | Dos lados correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. |
La proporción de semejanza se expresa como k = a′/a = b′/b = c′/c, y en el contexto de un mapa esta misma razón k corresponde directamente a la escala del plano, expresada como 1:E (por ejemplo, 1:10 000 o 1:20 000).
De la teoría a la práctica: mapas y sombras de Pichugán
La secuencia didáctica parte de una situación cercana a los estudiantes: un mapa a escala del recorrido entre la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" y distintos puntos representativos de la comunidad. A partir de preguntas guía —¿qué relación existe entre las distancias en el papel y las distancias reales?, ¿cambia la forma de un triángulo cuando se amplía o reduce a escala?— los estudiantes construyen el conflicto cognitivo que da paso al trabajo en equipos.
En la fase de desarrollo, cada equipo recibe una ficha técnica con un mapa a escala 1:10 000 que dibuja dos triángulos superpuestos sobre las rutas de Pichugán: uno en el plano y otro correspondiente al terreno real. Los estudiantes comparan ángulos y lados, verifican cuál de los tres criterios se cumple, y formalizan la relación entre la razón de semejanza y la escala del mapa. La sesión cierra con un ejercicio de transferencia sobre sombras e inclinación de luz solar aplicado a estructuras rurales, y una reflexión metacognitiva sobre en qué otras situaciones de la vida cotidiana o de la ingeniería rural se aplica la semejanza de triángulos.
Ficha de aprendizaje: 10 problemas de triángulos semejantes y escalas [Descarga aquí]
La ficha de trabajo que acompaña la sesión incluye un resumen teórico y un banco de diez problemas contextualizados en la realidad de Pichugán, pensados para que los estudiantes apliquen cada criterio de semejanza en situaciones distintas: sombras, mapas topográficos, parcelas agrícolas, ríos, áreas y escalas.
Selección de problemas de la ficha
- Criterio AA en sombras: un estudiante de 1.60 m proyecta una sombra de 2 m; en el mismo instante, el asta de la bandera del colegio proyecta una sombra de 7.5 m. Se pide calcular la altura del asta usando la semejanza por rayos solares paralelos.
- Aplicación de escala directa: en un mapa a escala 1:20 000 de la zona rural de Pichugán, un segmento de 4.5 cm representa la distancia entre la plaza principal y el centro de salud. Se pide la distancia real en kilómetros.
- Criterio LAL en mapas: un triángulo ABC en el plano (AB = 6 cm, AC = 10 cm, ángulo A = 50°) y su correspondiente A'B'C' en el terreno (A'B' = 30 m, A'C' = 50 m, ángulo A' = 50°). Se pide identificar el criterio de semejanza y la razón correspondiente.
- Distancia inaccesible: para medir el ancho de un río, un grupo traza dos triángulos rectángulos semejantes con estacas en la orilla; a partir de un triángulo menor (catetos de 3 m y 4 m) y un cateto homólogo de 18 m en el triángulo mayor, se calcula el ancho del río.
- Criterio LLL: un triángulo de mapa con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm corresponde a un terreno real de 150 m, 200 m y 250 m; se pide verificar la semejanza y hallar la escala exacta.
Los cinco problemas restantes de la ficha profundizan en el cálculo de áreas reales a partir de la razón de semejanza al cuadrado (k²), el Teorema de Tales con segmentos paralelos, la proporcionalidad de perímetros en triángulos semejantes, la lectura de planos municipales con ángulos interiores, y la semejanza combinada aplicada a mediciones topográficas con visor óptico.
Recursos y atención a la diversidad
Para el desarrollo de la sesión se emplea un juego de geometría (regla, transportador, compás), calculadora científica o básica, papelógrafos y plumones, además de mapas topográficos o croquis a escala de Pichugán y el Texto Escolar de Matemática de 3.° de Secundaria del Minedu.
Como estrategia inclusiva, se proponen plantillas transparentes de ángulos congruentes y reglas graduadas para verificar proporciones de forma visual, junto con la distribución de roles dentro de cada equipo (graficador, calculador, argumentador y expositor), asegurando la participación de todos los estudiantes según sus fortalezas individuales.
Preguntas frecuentes sobre triángulos semejantes y escalas
¿Cuáles son los tres criterios de semejanza de triángulos?
Son el criterio AA (dos ángulos congruentes), el criterio LLL (los tres lados correspondientes proporcionales) y el criterio LAL (dos lados proporcionales con el ángulo comprendido entre ellos congruente).
¿Cuál es la diferencia entre triángulos congruentes y semejantes?
Los congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño; los semejantes conservan la misma forma pero pueden diferir en tamaño, ya que sus lados son proporcionales y no necesariamente iguales.
¿Cómo se calcula una distancia real a partir de un mapa a escala?
Se identifican los triángulos semejantes formados entre el mapa y el terreno, se determina la razón de semejanza k con un par de lados homólogos conocidos, y se aplica esa misma razón a la medida gráfica desconocida.
¿Por qué la sombra de un objeto permite calcular su altura?
Porque en un mismo momento del día los rayos solares forman el mismo ángulo con todos los objetos, generando triángulos semejantes por el criterio AA entre cada objeto y su sombra.
Sesión de aprendizaje adaptada por el Prof. Carlos Guarniz para la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" – Pichugán, Chota, Cajamarca, alineada al Currículo Nacional de Educación Básica (CNEB-Minedu).
Publicar un comentario
Emplea un lenguaje de respeto a la comunidad al momento de dejar tu comentario. Recuerda que tu lenguaje te identifica como persona, el cambio de la educación empieza por ti.