Sesión 5 Matemática 4° Secundaria: Función Cuadrática: Formas Polinómica, Canónica y Factorizada

Función Cuadrática en Pichugán: Cómo Pasar de la Forma Polinómica a la Canónica y la Factorizada

¿Sabías que una misma situación de la vida real —como el área de un terreno de pastoreo o el ingreso de una empresa de mototaxis— puede escribirse de tres maneras algebraicas distintas, y que cada una te "regala" una información diferente sin necesidad de resolver nada más? Esa es la idea central de la Sesión de Aprendizaje N° 05 de la Unidad 3, dirigida a los estudiantes de 4to grado de secundaria de la I.E. "José Gálvez Egúsquiza", en Pichugán, distrito de Chiguirip, Chota, Cajamarca.

En esta sesión, las y los estudiantes aprenden a transitar entre las tres formas de la función cuadrática —polinómica, canónica y factorizada— para resolver problemas de optimización de áreas agrícolas, cálculo de ingresos máximos y trayectorias, fortaleciendo la competencia del Currículo Nacional (CNEB-MINEDU) "Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio".

El punto de partida: tres tarjetas, una sola función

La sesión arranca con un conflicto cognitivo sencillo pero potente. El docente presenta tres tarjetas con expresiones algebraicas aparentemente distintas, pero que representan la misma situación: la ganancia de un agricultor de Pichugán al comercializar sacos de papa.

• Tarjeta A: f(x) = -x² + 10x - 16
• Tarjeta B: f(x) = -(x - 5)² + 9
• Tarjeta C: f(x) = -(x - 2)(x - 8)

La pregunta que dispara el debate es clara: si las tres representan lo mismo, ¿por qué se ven tan diferentes, y qué información nos regala cada una sin necesidad de hacer cálculos adicionales?

Las tres formas de la función cuadrática y qué información revela cada una

A partir de la discusión inicial, el docente formaliza en la pizarra un cuadro comparativo que se convierte en la columna vertebral de toda la sesión:

Forma	Expresión algebraica	Ventaja / información directa
Polinómica (estándar)	f(x) = ax² + bx + c	Muestra el intercepto con el eje Y en (0, c).
Canónica	f(x) = a(x − h)² + k	Muestra directamente las coordenadas del vértice V(h, k). Si a < 0, k es el máximo; si a > 0, k es el mínimo.
Factorizada	f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)	Muestra las raíces o ceros de la función (interceptos con el eje X en x₁ y x₂).

El caso guía: cercando un terreno de pastoreo junto a una pared de piedra

Para hacer tangible la conversión entre formas, la sesión desarrolla un problema contextualizado en el Texto de Matemática de 4to de Secundaria del MINEDU: el señor José desea cercar un terreno rectangular para el pastoreo de ovinos junto a una pared de piedra recta, en la comunidad de Pichugán. Dispone de 40 metros de malla de alambre y no necesita cercar el lado que da hacia la pared.

Si x representa el ancho perpendicular a la pared, el lado paralelo a la pared mide (40 − 2x), y el área del terreno queda expresada así:

A(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x² = −2x² + 40x

Paso 1: de la forma polinómica a la forma canónica (completando cuadrados)

1. Se factoriza el coeficiente a = −2 de los dos primeros términos: A(x) = −2(x² − 20x)
2. Se completa el trinomio cuadrado perfecto dentro del paréntesis, sumando y restando (20/2)² = 100:
   A(x) = −2(x² − 20x + 100 − 100) = −2[(x − 10)² − 100]
3. Se distribuye el −2:
   A(x) = −2(x − 10)² + 200 → Vértice V(10, 200)

Interpretación: un ancho de 10 metros genera el área máxima posible, que es de 200 m².

Paso 2: de la forma polinómica a la forma factorizada

A(x) = −2x² + 40x = −2x(x − 20)

Interpretación: si el ancho es x = 0 o x = 20, el área del terreno es 0 m² (los casos extremos donde el rectángulo colapsa).

La relación que conecta las tres formas

El eje de simetría h de la parábola —que coincide con la coordenada h de la forma canónica— es igual al punto medio de las dos raíces:

h = (x₁ + x₂) / 2

Esta relación permite a los estudiantes verificar sus conversiones: si al completar cuadrados obtienen un vértice con una coordenada h, y al factorizar obtienen dos raíces x₁ y x₂, el promedio de esas raíces debe coincidir exactamente con h.

Ficha de Aprendizaje N° 05: 10 problemas contextualizados [Descarga aquí]

Tras la formalización, los estudiantes trabajan de forma individual o en pares la Ficha de Aprendizaje N° 05, que aplica la conversión entre las tres formas de la función cuadrática a situaciones variadas, muchas de ellas ancladas en la vida productiva de Pichugán:

• Reconocimiento directo de vértice, raíces y corte con el eje Y a partir de funciones ya dadas en sus tres formas.
• Conversión de la forma polinómica a la canónica mediante completación de cuadrados.
• Conversión de la forma canónica a la polinómica y luego a la factorizada.
• Construcción de la función a partir de sus raíces: la trayectoria del salto de una langosta en un cultivo de maíz.
• Optimización de un área rectangular de pastoreo junto a una acequia, con 80 metros de malla disponibles.
• Maximización del ingreso diario de una empresa de mototaxis en la ruta Pichugán–Cutervo.
• Análisis de la trayectoria de un cohete artesanal lanzado en las festividades de la comunidad.
• Reconstrucción de la función de un túnel parabólico en una carretera andina a partir del vértice y un punto conocido.
• Conversión completa entre las tres formas de una función dada, verificando la coherencia del eje de simetría.
• Comparación y elección de la representación más útil para un canal trapezoidal de agua, según lo que se necesite calcular.

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son las tres formas de la función cuadrática?

La forma polinómica o estándar f(x) = ax² + bx + c, la forma canónica f(x) = a(x − h)² + k y la forma factorizada f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Las tres representan la misma función, pero cada una hace visible una información distinta de manera inmediata.

¿Cómo se convierte la forma polinómica a la forma canónica?

Mediante la técnica de completación de cuadrados: se factoriza el coeficiente a de los dos primeros términos, se suma y resta el cuadrado de la mitad del coeficiente de x dentro del paréntesis, y luego se distribuye a para llegar a la forma a(x − h)² + k.

¿Por qué la forma canónica es la más útil para problemas de optimización?

Porque revela de inmediato las coordenadas del vértice V(h, k), que representan el valor máximo o mínimo de la función, sin necesidad de cálculos adicionales. Si a es negativo, k es el máximo; si a es positivo, k es el mínimo.

¿Cómo se relaciona el eje de simetría con las raíces de la función?

El eje de simetría h es igual al punto medio de las dos raíces: h = (x₁ + x₂) / 2. Esta relación sirve para verificar que la conversión entre la forma canónica y la forma factorizada sea correcta.

Cierre pedagógico

La sesión cierra con una reflexión metacognitiva que invita a los estudiantes a comparar métodos —¿fórmula del vértice h = −b/2a o completación de cuadrados?— y a conectar el aprendizaje con su entorno: ¿de qué manera el modelamiento con funciones cuadráticas ayuda a optimizar los recursos agrícolas en Pichugán? De esta forma, el álgebra deja de ser un ejercicio abstracto y se convierte en una herramienta concreta para tomar decisiones sobre el uso de la tierra y los recursos de la comunidad.