Sesión 05 Matemática 5° Secundaria: Media aritmética para datos agrupados

Sesión de Aprendizaje N.º 05 — Unidad 3 — 5.º de Secundaria · I.E. "José Gálvez Egúsquiza", Pichugán (Chiguirip, Chota, Cajamarca)

Media Aritmética para Datos Agrupados: Cómo Calcular el Promedio de la Producción Agropecuaria en Pichugán

Cuando un registro de datos crece —como los 30, 40 o 50 datos que recogemos en una encuesta comunal—, ya no resulta práctico trabajar dato por dato. Se agrupan en intervalos de clase, y allí surge una pregunta clave: si no conocemos el valor exacto de cada dato dentro de un intervalo, ¿qué número usamos para calcular el promedio? En esta sesión de Estadística de 5.º de Secundaria resolvemos ese problema aplicando la media aritmética para datos agrupados, usando como contexto real la producción semanal de leche de 40 ganaderos de la comunidad de Chiguirip.

Propósito de la sesión

Que los estudiantes problematicen, organicen, calculen e interpreten la media aritmética (x̄) de un conjunto de datos agrupados en intervalos de clase, aplicando la expresión analítica

x̄ = Σ(xᵢ · fᵢ) / n

sobre información cuantitativa de volúmenes de producción agrícola y pecuaria recolectada en la propia comunidad de Pichugán. La sesión moviliza directamente la competencia "Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre" del Currículo Nacional de Educación Básica (CNEB - MINEDU).

¿Qué es la marca de clase (xᵢ)?

La marca de clase es el valor central que representa a todos los datos contenidos dentro de un intervalo determinado. Se obtiene promediando el límite inferior (Lᵢ) y el límite superior (Lₛ) de cada intervalo:

xᵢ = (Lᵢ + Lₛ) / 2

Un error frecuente entre los estudiantes es multiplicar el límite inferior del intervalo directamente por la frecuencia (por ejemplo, 20 × 6 en lugar de 25 × 6). Esto subestima el resultado, porque asume que todos los datos del intervalo se ubican en el extremo más bajo, cuando en realidad se distribuyen a lo largo de todo el rango.

Caso guía: la producción de leche en Chiguirip

Una comisión de agricultores de Chiguirip agrupó la producción semanal de leche (en litros) de 40 ganaderos locales en la siguiente tabla de frecuencias. La pregunta que guía la sesión es: ¿cuál es el promedio estimado de producción de leche por ganadero en la comunidad?

Intervalo de producción [Lᵢ, Lₛ⟩	N.º de ganaderos (fᵢ)	Marca de clase (xᵢ)	xᵢ · fᵢ
[20, 30⟩	6	25	150
[30, 40⟩	12	35	420
[40, 50⟩	14	45	630
[50, 60⟩	8	55	440
Total	n = 40	—	Σxᵢfᵢ = 1640

Paso 1: Determinar la marca de clase de cada intervalo

x₁ = (20 + 30)/2 = 25
x₂ = (30 + 40)/2 = 35
x₃ = (40 + 50)/2 = 45
x₄ = (50 + 60)/2 = 55

Paso 2: Multiplicar la marca de clase por la frecuencia absoluta

x₁·f₁ = 25 × 6 = 150
x₂·f₂ = 35 × 12 = 420
x₃·f₃ = 45 × 14 = 630
x₄·f₄ = 55 × 8 = 440

Paso 3: Sumar la columna xᵢ · fᵢ

Σ(xᵢ·fᵢ) = 150 + 420 + 630 + 440 = 1640

Paso 4: Dividir entre el número total de datos (n)

x̄ = 1640 / 40 = 41 litros

Interpretación: en promedio, un ganadero del grupo evaluado en la comunidad de Chiguirip produce 41 litros de leche por semana. Este dato sirve como referencia para la planificación de acopio y comercialización comunal.

El algoritmo completo, en 4 pasos

1. Hallar la marca de clase xᵢ de cada intervalo.
2. Multiplicar cada marca de clase por su frecuencia: xᵢ · fᵢ.
3. Sumar toda la columna: Σ(xᵢ · fᵢ).
4. Dividir esa suma entre el número total de datos: x̄ = Σ(xᵢ·fᵢ) / n.

Para reflexionar

• ¿Qué representa operativamente la marca de clase dentro de cada intervalo?
• ¿Cómo afecta la inclusión de intervalos con frecuencias muy altas al valor final de la media aritmética?
• ¿En qué otros aspectos socioeconómicos de Pichugán resulta útil calcular promedios por intervalos?

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Ficha de Aprendizaje: Media Aritmética para Datos Agrupados [Descargar recursos]

Ficha individual para reforzar el cálculo e interpretación de la media aritmética en 10 situaciones aplicadas a la vida agropecuaria de Pichugán.

Problema 1 — Peso de sacos de papa cosechados

Dada la tabla de frecuencias agrupadas sobre el peso de sacos de papa (en kg) cosechados en una parcela (intervalos [40,46⟩, [46,52⟩, [52,58⟩, [58,64⟩, con frecuencias 5, 8, 12 y 5, n = 30):
a) Completa las columnas de la marca de clase (xᵢ) y del producto xᵢ · fᵢ.
b) Calcula la media aritmética (x̄) e interpreta el resultado.

Problema 2 — Rendimiento agrícola de maíz

Se registró la cantidad de maíz cosechado (en kg) por 50 familias de Pichugán (intervalos [100,120⟩ con 10, [120,140⟩ con 18, [140,160⟩ con 14, [160,180⟩ con 8):
a) Determina la marca de clase del tercer intervalo [140, 160⟩.
b) Calcula el promedio general de kg de maíz cosechados por familia.

Problema 3 — Horas de trabajo en faenas comunales

Un estudio registra las horas mensuales dedicadas por 60 comuneros a las obras de riego (intervalos [10,20⟩ con 12, [20,30⟩ con 23, [30,40⟩ con 17, [40,50⟩ con 8):
a) Construye la columna xᵢ · fᵢ en tu cuaderno.
b) Determina la media aritmética de horas trabajadas.

Problema 4 — Gasto en fertilizantes orgánicos

Las compras mensuales en fertilizantes (en soles) de un grupo de agricultores se resumen en intervalos [50,70⟩ con 7, [70,90⟩ con 15, [90,110⟩ con 11, [110,130⟩ con 7:
a) Halla la sumatoria total de los productos xᵢ · fᵢ.
b) Calcula el gasto promedio en soles por agricultor.

Problema 5 — Análisis comparativo de dos parcelas

Se compara la producción de hortalizas (en kg) entre dos sectores de Pichugán. Sector A: Σxᵢfᵢ = 3600 para n = 80 productores. Sector B: intervalos [20,30⟩, [30,40⟩, [40,50⟩ con frecuencias 10, 20 y 10:
a) Calcula la media aritmética de producción para el Sector A y para el Sector B.
b) ¿Qué sector posee un rendimiento promedio más elevado por productor?

Problema 6 — Ingresos diarios por venta de queso

Los ingresos diarios (en soles) de 25 productores de queso se organizan en intervalos [30,45⟩ con 4, [45,60⟩ con 10, [60,75⟩ con 8, [75,90⟩ con 3:
a) Determina las marcas de clase de cada uno de los 4 intervalos.
b) Calcula el ingreso diario promedio e interpreta dicho valor para la economía familiar.

Problema 7 — Cálculo de frecuencia faltante dada la media

Un informe de gestión agrícola muestra una tabla incompleta con media aritmética conocida x̄ = 25: intervalo [10,20⟩ (xᵢ=15, fᵢ=6), [20,30⟩ (xᵢ=25, fᵢ=A), [30,40⟩ (xᵢ=35, fᵢ=4):
a) Plantea la ecuación de la media aritmética en función de la frecuencia desconocida A.
b) Resuelve la ecuación y determina el número de agricultores que representa A.

Problema 8 — Edades de los socios de la cooperativa

Las edades de los socios de la cooperativa agraria de Pichugán se agrupan en [20,35⟩ con 14, [35,50⟩ con 26, [50,65⟩ con 15, [65,80⟩ con 5:
a) Encuentra la marca de clase del intervalo con mayor frecuencia absoluta.
b) Calcula la edad promedio de los socios de la cooperativa.

Problema 9 — Estatura de estudiantes de 5.º grado

Se mide la estatura (en cm) de 30 estudiantes de 5.º de Secundaria de la I.E. "José Gálvez Egúsquiza": intervalos [140,150⟩ con 5, [150,160⟩ con 15, [160,170⟩ con 8, [170,180⟩ con 2:
a) Realiza la sumatoria total Σxᵢfᵢ.
b) Calcula la estatura promedio del grupo de estudiantes.

Problema 10 — Reto de reflexión crítica: masa corporal de cuyes

Una asociación agropecuaria registra la masa corporal de cuyes (en gramos) listos para la venta: intervalos [600,800⟩ con 5, [800,1000⟩ con 20, [1000,1200⟩ con 15, [1200,1400⟩ con 10:
a) Calcula la masa promedio (x̄) de los cuyes.
b) Si el comprador fija como requisito un peso mínimo promedio de 1000 gramos para adquirir el lote completo, ¿cumple el lote con la exigencia comercial? Justifica tu respuesta matemáticamente.

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Preguntas frecuentes

¿Qué es la marca de clase en un intervalo de datos agrupados?

Es el punto medio del intervalo. Se calcula sumando el límite inferior y el límite superior y dividiendo entre 2. Representa a todos los datos individuales que caen dentro de ese intervalo, ya que no se conoce su valor exacto.

¿Cuál es la fórmula de la media aritmética para datos agrupados?

x̄ = Σ(xᵢ · fᵢ) / n, donde xᵢ es la marca de clase de cada intervalo, fᵢ es su frecuencia absoluta y n es el número total de datos.

¿Por qué no se puede usar el límite inferior del intervalo en lugar de la marca de clase?

Porque subestima el valor real: asume que todos los datos se concentran en el extremo más bajo del intervalo. La marca de clase, al ser el punto medio, ofrece la mejor aproximación posible cuando no se conocen los valores individuales exactos.

Conclusión

Calcular la media aritmética de datos agrupados no es solo un procedimiento mecánico: es una herramienta que permite a una comunidad como Pichugán resumir información compleja —cosechas, ingresos, producción ganadera— en un solo número representativo, útil para tomar decisiones informadas en la asamblea comunal. Dominar los cuatro pasos del algoritmo (marca de clase, producto xᵢ·fᵢ, sumatoria y división entre n) es la base para temas estadísticos más avanzados que los estudiantes de 5.º de Secundaria abordarán a lo largo de la unidad.