Olimpiada de Matemática Fase 4 Nivel 2 ONEM 2019

XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2019)

Cuarta Fase - Nivel 2

 

Aplicación: 27 de octubre de 2019

1. Sea ABCDEF un hexágono regular, C₁ la circunferencia de diámetro AF y C₂ la circunferencia de centro E y radio EF. Las circunferencias C₁ y C₂ se intersectan en los puntos F y P y, además, AP interseca a ED en Q. Determine en qué relación están las longitudes de los segmentos DQ y QE.

 

2. Alejandro tiene 60 caramelos y los divide en cuatro grupos de al menos un caramelo cada uno. Luego, Carlos elige uno de los grupos. Después, de los tres grupos que quedan, Alejandro elige dos. Finalmente, Carlos se queda con el grupo restante. Determine cuántos caramelos, como máximo, Alejandro puede asegurar obtener.

 

3. Para cada entero positivo n, encuentre todas las soluciones reales del siguiente sistema:

2xⁿ = y(x² + 1),

2yⁿ = z(y² + 1),

2zⁿ = x(z² + 1).

 

4. Se escogen 5000 números del conjunto {1, 2, 3, 4, . . . , 10000} tales que entre los números escogidos no hay uno que divida a otro. Determine el menor valor que puede tomar uno de los números escogidos.

DESCARGAR EXAMEN ONEM 2019 F4 N2

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