ONEM 2019 Segunda Fase Nivel 3

XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) 2019 Segunda Fase Nivel 3 


Aplicación: 21 de agosto de 2019

RECUERDA QUE, EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.

1. Un anillo pesa 10 gramos y es tal que el 70 % de su peso es oro y el 30 % es plata. Un joyero fundió el anillo, agregó 1 gramo de plata y k gramos de oro para hacer un nuevo anillo. Calcule el valor de k si sabe que el 75 % del peso del nuevo anillo es oro.

2. César y Daniel son dos corredores que salieron ambos de A en dirección a B, con velocidades de 9 km/h y 6km/h, respectivamente. Cuando César llegó a B regresó inmediatamente y siguió corriendo a 9km/h. Si César se cruzó con Daniel a 3 km de B, ¿cuál es la distancia entre A y B (en km)?

3. Una empresa se dedica a fabricar y vender panetones. La empresa vende sus panetones a dos distribuidores y también los vende directamente. Al distribuidor 1 le ofrece 35 % de descuento sobre el precio normal, al distribuidor 2 le ofrece 30 % de descuento sobre el precio normal y en ventas directas, al precio normal (sin descuento). En el siguiente cuadro se muestra las cantidades vendidas el año pasado:

Descuentoporcentaje Unidades vendidas
Distribuidor 1 35 % 2400
Distribuidor 2 30 % 1250
Venta directa 0 % 469

Si el ingreso total del año pasado fue 46464 soles. ¿Cuál es el precio normal de un panetón (en soles)?

4. Un comerciante compró cierta cantidad de papas a un agricultor en Huancayo y lo vendió en Lima, obteniendo una ganancia de 400 soles. Con todo el dinero obtenido por la venta regresó a Huancayo, compró papas al mismo agricultor (al mismo precio) y lo vendió en Lima (también al mismo precio de venta que la primera vez), pero ahora obteniendo una ganancia de 480 soles. ¿Cuántos soles pagó el comerciante al agricultor por su primera compra?

5. Sea ABCD un rectángulo de centro O. Sea E el punto del plano tal que A es el punto medio del segmento BE y sea F el punto del plano tal que B es el punto medio del segmento OF. Si EF = EC = √112, determine la longitud del segmento AC.

6. Los enteros positivos a y b cumplen que la diferencia entre su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor es 10. Determine cuántos valores distintos puede tomar a + b.

7. Cuatro hombres y cuatro mujeres se van a sentar alrededor de una mesa circular que tiene ocho asientos. Si las ocho personas se sientan al azar en los ocho asientos, la probabilidad de que los hombres y mujeres queden sentados de forma alternada es a/b , donde a y b son enteros positivos coprimos. Calcule el valor de a + b.

8. La sucesión F1, F2, F3, . . . (conocida como sucesión de Fibonacci) es definida por F1 = 1, F2 = 1 y Fn+2 = Fn+1 + Fn, para todo n ≥ 1. Los primeros términos de esta sucesión son F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, etc. Halle el número entero m para el cual se cumple que

m ≤ (F1 + F2 + · · · + F2018 + F2019)/F2019 < m + 1.

9. En la figura se muestra un papel en forma de triángulo rectángulo isósceles al que se le hizo un doblez a través del segmento AB, de tal forma que el vértice P quede en el lado mayor, como se muestra en la figura de la derecha.

Si la longitud del segmento AB es (a√2)/b , donde a y b son enteros positivos coprimos, calcule a − b.

10. Orlando tiene 80 varillas de metal cuyas longitudes son 1 cm, 2 cm, 3 cm, . . ., 79 cm y 80 cm. El escogió k de esas varillas de tal manera que se puede construir un triángulo acutángulo con cualesquiera tres varillas escogidas, determine el mayor valor de k para el cual esta situación es posible.

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