Sesión 09 Matemática 5° Secundaria | Medidas de Dispersión: Rango, Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación con Ejemplos

Medidas de Dispersión: Rango, Varianza, Desviación Estándar y Coeficiente de Variación en los Ingresos de Pichugán

En Pichugán, dos familias pueden ganar exactamente el mismo promedio mensual y, sin embargo, vivir realidades económicas muy distintas. Una tiene ingresos estables mes a mes; la otra, ingresos que suben y bajan de forma impredecible. ¿Cómo saberlo si el promedio es igual? La respuesta está en las medidas de dispersión: el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

Esta sesión de aprendizaje de Matemática para 5.º grado de secundaria (Unidad 3, Sesión 9), desarrollada en la I.E. "José Gálvez Egúsquiza" de Pichugán, enseña a calcular e interpretar estas medidas usando un caso real y cercano: los ingresos mensuales de dos pobladores que se dedican a actividades productivas distintas.

Propósito de la sesión

Determinar e interpretar el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación en conjuntos de datos sobre los ingresos económicos de las familias de Pichugán, con la finalidad de comparar la variabilidad e inestabilidad financiera entre actividades productivas y fundamentar la toma de decisiones económicas responsables.

La sesión aporta directamente a la competencia Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre del Currículo Nacional de la Educación Básica (CNEB-MINEDU), movilizando sus cuatro capacidades: representar datos con medidas estadísticas, comunicar la comprensión de conceptos estadísticos, usar estrategias para procesar datos, y sustentar conclusiones basadas en la información obtenida.

El caso guía: Don Pedro y Don Juan, ¿el mismo promedio, el mismo riesgo?

La clase inicia con el caso de dos pobladores de Pichugán y sus ingresos de los últimos 5 meses:

Poblador	Actividad	Ingresos mensuales (S/)
Don Pedro	Venta de leche fresca	1100, 1200, 1200, 1150, 1350
Don Juan	Comercio de papa en feria	500, 2000, 800, 2200, 500

Al calcular el promedio, los estudiantes descubren algo sorprendente: ambos obtienen exactamente S/ 1200 mensuales. Surge entonces la pregunta que da sentido a toda la sesión:

"Si una entidad financiera de Pichugán les ofreciera un crédito agrícola con cuota fija de S/ 1000 mensuales, ¿cuál de los dos correría mayor riesgo de caer en mora? ¿Basta el promedio para tomar una decisión financiera segura?"

Formalización: las fórmulas de las medidas de dispersión

Rango (R)

Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos.

R = x_máx − x_mín

Varianza (σ²)

Promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada dato respecto a la media. Se eleva al cuadrado porque la suma de las desviaciones simples siempre da cero.

σ² = Σ (x_i − x̄)² / n

Desviación estándar (σ)

Raíz cuadrada de la varianza. Mide la dispersión en las mismas unidades de la variable original (en este caso, soles).

σ = √σ²

Coeficiente de variación (CV)

Medida relativa de dispersión, expresada en porcentaje. Permite comparar la variabilidad entre conjuntos de datos aunque tengan medias distintas.

CV = (σ / x̄) × 100%

Escala de interpretación del CV

Coeficiente de variación	Interpretación
CV ≤ 10%	Datos muy homogéneos (alta estabilidad)
10% < CV ≤ 30%	Dispersión moderada
CV > 30%	Datos muy heterogéneos (alta inestabilidad o riesgo)

Resolución del caso: ¿quién corre más riesgo?

Aplicando las fórmulas a los datos de Don Pedro y Don Juan, se obtiene:

• Don Pedro: σ = S/ 86.02; CV ≈ (86.02 / 1200) × 100% ≈ 7.17%
• Don Juan: σ = S/ 758.95; CV ≈ (758.95 / 1200) × 100% ≈ 63.25%

Aunque ambos ganan S/ 1200 en promedio, Don Pedro presenta ingresos homogéneos y estables (CV de 7.17%), mientras que Don Juan presenta ingresos altamente fluctuantes (CV de 63.25%) y asume un riesgo mucho mayor de no poder cubrir una cuota fija en los meses de bajos ingresos. El promedio, por sí solo, no bastaba para tomar la decisión financiera.

Secuencia didáctica de la sesión (90 minutos)

Inicio (20 min): motivación y conflicto cognitivo

Presentación del caso de Don Pedro y Don Juan, cálculo conjunto del promedio y planteamiento de la pregunta problematizadora sobre el riesgo crediticio.

Desarrollo (55 min): comprensión, búsqueda de estrategias, formalización y reflexión

Los equipos identifican la variable e intentan sumar las desviaciones (x_i − x̄), descubren que la suma da cero, reconocen la necesidad de elevar al cuadrado, calculan la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación en la pizarra, y reflexionan sobre el significado del resultado para la estabilidad financiera de cada poblador.

Cierre (15 min): transferencia y metacognición

Los estudiantes sintetizan el procedimiento para comparar la estabilidad entre variables y responden preguntas metacognitivas: ¿qué significado práctico tiene el coeficiente de variación en la economía familiar de Pichugán? ¿En qué se diferencia la desviación estándar de la varianza en sus unidades de medida?

Ficha de Aprendizaje N.º 09: 10 problemas de medidas de dispersión [Descargar recurso en Word

La ficha aplica rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación a situaciones productivas de Pichugán: venta de papa, comercio en feria, producción lechera, comparación de ingresos familiares, precios de ganado vacuno afectados por sequía, rendimiento de parcelas de maíz, datos agrupados de ingresos semanales, evaluación de proyectos comunitarios y fondos escolares.

1. Ganancias de dos agricultores. Don Mateo: 200, 220, 210, 190, 230 soles semanales. Don Lucas: 100, 300, 150, 350, 150 soles semanales. Calcula el promedio y el rango de cada uno, y explica qué indica el rango mayor sobre la regularidad de los ingresos.
2. Ingresos diarios de un comerciante. Lunes a viernes: 100, 120, 110, 130, 90 soles. Calcula la media aritmética y la varianza (σ²).
3. Producción diaria de leche. Durante 6 días: 40, 42, 38, 44, 36, 40 litros. Calcula la media, la varianza y la desviación estándar, e interpreta su valor.
4. Estabilidad de dos familias. Familia A (producción de queso): media S/ 800, σ = S/ 80. Familia B (construcción): media S/ 1200, σ = S/ 240. Calcula el CV de cada una y determina cuál tiene ingresos más homogéneos.
5. Taller artesanal. Ingresos de 6 meses: 1000, 1500, 1200, 800, 2000, 1300 soles. Calcula la media, la varianza, la desviación estándar y el CV. ¿La actividad es homogénea o heterogénea?
6. Precios de ganado vacuno con valor atípico. Cuatro meses normales: 1800, 1900, 1850, 1850 soles; quinto mes (sequía): 1100 soles. Calcula el rango y la media con los 5 datos, la desviación estándar, y explica cómo afectó el valor atípico a la dispersión.
7. Rendimiento de dos parcelas de maíz. Parcela Sol Naciente: 50, 52, 48, 51, 49 sacos. Parcela La Esperanza: 30, 70, 25, 75, 50 sacos (ambas con media de 50). Calcula la desviación estándar de cada una y determina cuál calificaría a un seguro agrícola que exige CV menor al 10%.
8. Ingreso semanal agrupado de 20 comerciantes. Intervalos [200-300[ con 4 comerciantes (xi = 250), [300-400[ con 10 (xi = 350) y [400-500[ con 6 (xi = 450). Calcula la media ponderada, la varianza y la desviación estándar para datos agrupados.
9. Comparación de dos proyectos comunitarios. Proyecto A (crianza de cuyes): retorno medio S/ 3000, σ = S/ 300. Proyecto B (piscigranja de truchas): retorno medio S/ 5000, σ = S/ 1250. Calcula el CV de cada proyecto y determina cuál conviene elegir por menor riesgo relativo.
10. Recaudación escolar. Tres actividades: S/ 400, 500, 600. Si la cuarta actividad recauda S/ 500, ¿qué ocurre con la media? ¿Aumenta, disminuye o se mantiene igual la desviación estándar? Demuéstralo calculando ambos casos.

Por qué este enfoque funciona: matemática con sentido comunitario

Contextualizar las medidas de dispersión en los ingresos reales de las familias de Pichugán —ganadería láctea, comercio de feria, producción de queso, cultivo de maíz y papa— permite que los estudiantes comprendan que la estadística no es un conjunto de fórmulas abstractas, sino una herramienta para tomar decisiones financieras informadas en su propia comunidad. Esta es la esencia de la etnomatemática aplicada en el aula: aprender matemática a partir de la economía productiva local.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el rango en estadística?

El rango (R) es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos: R = x_máx − x_mín. Es la medida de dispersión más sencilla, pero solo toma en cuenta los dos valores extremos.

¿Cómo se calcula la varianza?

La varianza (σ²) es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada dato respecto a la media: σ² = Σ(x_i − x̄)² / n. Se elevan al cuadrado las desviaciones porque, si se suman directamente, el resultado siempre da cero.

¿Para qué sirve el coeficiente de variación (CV)?

El CV = (σ / x̄) × 100% permite comparar la dispersión relativa de dos o más conjuntos de datos que tienen medias distintas o unidades distintas. Un CV ≤ 10% indica datos muy homogéneos; entre 10% y 30%, dispersión moderada; mayor a 30%, datos muy heterogéneos o de alto riesgo.

¿Por qué dos conjuntos de datos con la misma media pueden tener distinta estabilidad?

Porque la media solo indica el valor central, no cuánto varían los datos alrededor de ese centro. Dos personas pueden ganar en promedio lo mismo, pero si una tiene ingresos parejos y la otra ingresos que suben y bajan bruscamente, la segunda asume mayor riesgo financiero aunque su promedio sea igual.