Tema 01 Lógica Proposicional

LÓGICA PROPOSICIONAL

DEFINICIONES:

Proposiciones: son expresiones del lenguaje que tienen la propiedad fundamental de ser verdaderas o falsas.

Ejemplos:

- Chiclayo es la capital de Lambayeque.

- X + 2 > 8, si x = 5.

Las proposiciones se pueden clasificar en:

a) Simples:

- Lían es un niño.

- Lían es travieso.

b) Compuestas:

- Lían es un niño y es travieso.

- Ricardo es médico o ingeniero.

Variables proposicionales: son los símbolos que representan a las proposiciones simples: p, q, r, s, etc.

Conectivos lógicos: Son los símbolos que se usan para relacionar proposiciones, es decir forman proposiciones compuestas a partir de las proposiciones simples.

SÍMBOLO	NOMBRE	LENGUAJE COMÚN
~	Negación	No; No es cierto que; No es el caso que
Ù	Conjunción	Y; pero; sin embargo; además; aunque; a la vez; No obstante; a pesar de que; también; etc.
Ú	Disyunción inclusiva	O; al menos.
D	Disyunción exclusiva	“o … o …”; a menos que; salvo que
Þ	Condicional	“si … entonces …”; “por lo tanto”; “… si …”; “… dado que …”; “… siempre que …”; “… porque …”; “… en vista que …”
Û	Bicondicional	Si y solo si

TABLAS DE VALORES DE VERDAD

Conjunción (Ù): Une dos proposiciones mediante el término “y”.

Ejemplo:

Edy es joven y honrado.

p: Edy es joven.

q: Edy es honrado.

Simbología: p Ù q

La conjunción es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones componentes son verdaderas, y es falsa cuando al menos una de sus componentes es falsa.

p	q	p Ù q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Disyunción inclusiva (Ú): Une dos proposiciones mediante el término “o”.

Ejemplo:

El gerente habla inglés o francés.

p: El gerente habla inglés.

q: El gerente habla francés.

Simbología: p Ú q

La disyunción inclusiva es falsa únicamente cuando ambas componentes son falsas, y es verdadera cuando al menos una de sus componentes es verdadera.

p	q	p Ú q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Disyunción exclusiva (D): Une dos proposiciones mediante el “o” pero exclusivo.

Ejemplo:

Raimondi era peruano o italiano.

p: Raimondi era peruano.

q: Raimondi era italiano.

Simbología: p D q

La disyunción exclusiva es verdadera cuando sus componentes tienen diferente valor de verdad, y es falsa cuando sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

p	q	p D q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Condicional (Þ): Es la combinación de dos proposiciones con:

“Si ……………. entonces ………………… “

Antecedente – consecuente.

Ejemplo:

Si estudias entonces ingresarás.

p: estudias.

q: ingresarás.

Simbología: p Þ q

El condicional es falso únicamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y es verdadero cuando al menos el antecedente es falso o el consecuente es verdadero.

p	q	p Þ q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Bicondicional (Û): Es la combinación de dos proposiciones con:

“……..si y solo si …………..”

Ejemplo:

Serás un excelente médico si y solo si te esfuerzas en tus estudios.

p: Serás un excelente médico.

q: te esfuerzas en tus estudios.

Simbología: p Û q

El bicondicional es verdadero cuando ambas componentes tienen igual valor de verdad, y es falso cuando sus componentes tienen valores de verdad diferentes.

p	q	p Û q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Negación (~): Cambia el valor de verdad de la proposición.

Ejemplo:

p: Lolo es honesto.

~p: Lolo no es honesto.

Por tanto, la simbolización y la tabla de verdad de la proposición negativa es:

p	~p
V	F
F	V
V	F
F	V

La frase “no es el caso que” generalmente se emplea para negar proposiciones compuestas.

Ejemplos:

No es cierto que, Tito sea pintor y se levante temprano.

p: Tito es pintor.

q: Tito se levante temprano.

Simbología: ~( p Ù q)

Observaciones

1. La doble negación es l mismo que una afirmación: “~( ~p)” tiene la misma tabla de verdad que “p”.

2. “p D q” y “~( p Û q)” tienen la misma tabla de verdad.

3. Cuando una proposición compuesta tiene mas de dos proposiciones, por tanto más de un conectivo lógico, entonces es necesario usar los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, etc) para distinguir el alcance de los operadores.

Ejemplo:

a) (pÙq) Úq

b) P Þ [q Ù (r Û s)]

4. Las proposiciones compuestas toman el nombre de su operador principal:

· La fórmula del ejemplo a) presenta una proposición disyuntiva, pues es “Ù” el operador de mayor alcance.

· La formula del ejemplo b) representa una proposición condicional, ya que es “Þ” el operador de mayor jerarquía.

EVALUACIÓN DE FÓRMULAS POR LA TABLA DE VALORES.

Tautología: Cuando los valores de operador principal son todos verdaderos.

Ejemplo:

P	q	(p Þ q)	Ú	(p Ù ~ q)
V	V	V	V	F
V	F	F	V	V
F	V	V	V	F
F	F	V	V	F

 

Contradicción: Cuando los valores de su operador principal son todos falsos.

Ejemplo:

P	q	(p Ù q)	Ù	(p Ù ~ q)
V	V	V	F	F
V	F	F	F	V
F	V	F	F	F
F	F	F	F	F

 

Contingencia: cuando entre los valores de su operador principal hay por lo menos una verdad y una falsedad.

Ejemplo:

P	q	(p Þ q)	Ù	(p D q)
V	V	V	F	F
V	F	F	F	V
F	V	V	V	V
F	F	V	F	F

 

Ejemplo: (Método Simplificado)

Si la proposición compuesta: (p Ù q) Þ (s Þ r) es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones p, q, r, s, respectivamente.

Resolución.


CONECTIVOS LÓGICOS

Se llaman conectivos lógicos a las palabras que sirven para enlazar proposiciones o cambiar el valor veritativo de una proposición. Sea las proposiciones p, q.

SÍMB.	Operación lógica	Esquema	significado
~	Negación	~p	No p
Ù	Conjunción	p Ù q	p y q
Ú	Disyunción inclusiva	p Ú q	p o q
D	Disyunción exclusiva	p D q	O p o q
Þ	Condicional	p Þ q	Si p, entonces q
Û	Bicondicional	P Û q	P, si y solo si q

Ejemplos: Formaliza y evalúa en la tabla de verdad lo siguiente:

1. No es cierto que Juan sea médico.

2. Juan es futbolista y Ana es voleibolista.

3. Roberto es contador o Roberto es economista.

4. Si Juan se esfuerza entonces ingresará.

5. Ana ira a la fiesta si y solo si tiene amigas.

6. O bien Manuel juega o bien estudia.

LEYES LÓGICAS

Considerando l proposición [(p Þ q) Ù p] Þ q, cuya tabla de verdad es:

P	q	[(p Þ q)	Ù  p]	Þ  q
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

 

La proposición compuesta es (V), independientemente de los valores de verdad de las proposiciones componentes. Se dice entonces que tal proposición es una tautología o ley lógica.

La proposición p Þ p es V cualquiera sea el valor de verdad de p, es otro ejemplo de una ley lógica. En cambio, p Û ~p es F cualquiera sea el valor de verdad de p. se dice que es una contradicción.

En el cálculo proposicional se utilizan las siguientes leyes o tautologías cuya demostración se reduce a la confección de la correspondiente tabla de valores de verdad.

A. Involución

~(~p) Û p

No, no p, equivale a p.

B. Idempotencia

(p Ú p) Û p

(p Ù p) Û p

C. Conmutatividad

De la disyunción: p Ú q Û q Ú p

De la conjunción: p Ù q Û q Ù p

D. Asociatividad

De la disyunción: (p Ú q) Ú r Û p Ú (q Ú r)

De la conjunción: (p Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r)

E. Distributividad:

De la conjunción respecto de la disyunción: (p Ùq) Ú r Û (p Ú r) Ù (q Ú r)

De la disyunción respecto de la conjunción: (p Ú q) Ù r Û (p Ù r) Ú (q Ù r)

F. De Morgan

La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones: ~ (p Ú q) Û ~p Ù ~q

La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones: ~ (p Ù q) Û ~p Ú ~q

G. Absorción

p Ú (p Ù q) Þ p

p Ù (p Ú q) Þ p

p Ú (~p Ù q) Û p Ú q

p Ù (~p Ú q) Û p Ù q

H. Condicional


p Þ q Û ~p Ú q

PRÁCTICA

Resuelve lo que se pide a continuacion:

1. Indica mediante un (✔) o un (❌) si las siguientes expresiones son o no proposiciones respectivamente.

a) Bogotá es la capital de Colombia. ( )

b) Hasta luego, Pedro. ( )

c) Me siento mal. ( )

d) 7 es un numero primo. ( )

e) Un numero al cuadrado es positivo. ( )

f) ¡Hace frío! ( )

g) Me mentiste otra vez. ( )

h) Machu Picchu está ubicado en Cusco. ( )


2. Coloca una “C” si es proposición compuesta y una “S” si es proposición simple según corresponda en cada una de las siguientes proposiciones:

a) La Física es una ciencia. ( )

b) Si estudio entonces aprobaré. ( )

c) Pedro y Carla son amigos. ( )

d) El joule es la unidad de trabajo mecánico. ()

e) El 2 es el único numero primo par. ( )


3. Simboliza lógicamente: “Euclides no es matemático ni físico”.


4. Sin carbono, oxigeno, hidrogeno y nitrógeno, no hay vida. Simboliza en forma lógica.


5. Evalúa la validez de la fórmula lógica en la siguiente proposición.

“Tanto Kina Malpartida Sofia Mulanovich son atletas porque son deportistas”.


6. Evalúa la validez de la formula lógica:

(~ p Ù q) Þ (p Ú ~ q)

7. Evalúa la validez de la fórmula lógica:

[(p Ú q) Ù r] Þ [~ p Ú [p Ù ( ~p Þ q)]]


8. Si la proposición (~ p Ù q) Þ (r Þ ~s) es falsa, determina el valor de verdad de:

I.- p Û ~r

II.- s D q

III.- ~q Þ (p Ú s)


9. Si la proposición compuesta:

(~p Ù ~r) Þ (r D q) es falsa, y las proposiciones s y t tienen valor de verdad desconocido, ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I. (p Ù s) Ú q

II. (t Ù q) Þ p

III. (s Ù r) Þ p


10. El dueño de una tienda de venta de autos desea colocar en la puerta de su establecimiento un letrero con un lema que lo identifique. Al inicio tiene como candidatos los siguientes lemas:

I.- Un buen auto no es barato.

II.- Un auto barato no es bueno.

III.- Un auto es bueno o no es barato.

IV.- Un auto es bueno y barato a la vez.

Su hijo, que estudia lógica, le señala que hay algunos lemas que son equivalentes. ¿Cuáles son?


11. ¿Cuántas de las siguientes alternativas son equivalentes a: “su te desabrigas, te resfrías?

I.- Si te resfrías, te desabrigaste.

II.- No te desabrigues o te resfriarás.

III.- Si no te resfrías, no te desabrigas.

IV.- NO te resfrías o te desabrigas.

12. Un anciano quiere dejar una herencia a su nieta Priscila, pero como esta es recién nacida, el abuelo piensa en algunas condiciones.

I.- Priscila recibirá la herencia cuando cumpla 18 años.

II.- Si Priscila no cumple 18 años, no recibirá la herencia.

III.- No puede ocurrir que, Priscila cumpla 18 años y no reciba la herencia.

Su abogado le informa que algunas de dichas condiciones son equivalentes. ¿Cuáles son?


13. Hallar el valor de verdad de:

(0° = 1 Û -5 < -10) D ~(1 + 1 ¹ 1 Þ )


14. Señale a qué será equivalente:

~ {(p Ù q) Ú [p Ù ( ~ p Ú q)]}

a) p Ù q

b) ~ p Ú ~ q

c) ~p Ú ~ p

d) p Ú q

e) ~ p Ù ~ q


15. Hallar el equivalente a: es falso que si usted ve un gato negro entonces tendrá mala suerte”.

a) Ve un gato negro y tiene mala suerte.

b) No tiene mala suerte si ve un gato negro.

c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte.

d) Ve un gato negro si tiene mala suerte.

e) No tiene mala suerte dado que no ve un gato negro.


16. Indique el valor de la verdad de los siguientes enunciados:

I.- ~ [p Ù (p Þ q)] Þ q

II.- (~ p Ù ~q) Þ (p Ú q)

III.- (p Ú q) Þ (p Ù q)