La función cuadrática y Actividad de Aprendizaje

La función cuadrática


Una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde los coeficientes a, b y c son números reales y a ≠ 0. Su gráfica es una parábola con vértice V (h;k)


También se conoce como función de segundo grado.

- El dominio de una función cuadrática: Dom(f) = R.

- Su representación gráfica es una parábola.

- Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba y si a< 0, la parábola se abre hacia abajo.

- La parábola tiene un eje de simetría paralelo al eje y.

- Tiene un vértice V(h;k), punto donde la función alcanza un máximo (si la concavidad es hacia abajo) o un mínimo (si la concavidad es hacia arriba).

- Si a > 0, entonces el rango es Ran(f) = [f(-b/2a); +¥[

- Si a < 0, entonces el rango es Ran(f) = ]-¥ ; f(-b/2a)]

- Las coordenadas del vértice son: V(h;k) = (-b/2a ; f(-b/2a)]

En la función f(x) = ax2

- El signo de "a" indica la concavidad de la parábola; si es positivo, la concavidad es hacia arriba, y si es negativo, la concavidad es hacia abajo.

- El valor absoluto de "a" modifica la abertura de las parábolas; cuanto menor es |a|, la parábola es más abierta, y cuando mayor es |a|, la parábola es más cerrada.

Actividad de aprendizaje

Leemos la situación

Lee con atención la siguiente situación y analiza las preguntas que se plantean.

Las estudiantes y los estudiantes de tercer y cuarto grado de educación secundaria, están diseñando una cocina solar para reducir el uso de los combustibles contaminantes en la preparación de sus alimentos. Esta cocina solar tiene una estructura de madera en forma de un prisma rectangular, cuyas caras laterales y la base inferior se cubren con cartón o madera. Para construir la estructura de la cocina, utilizarán 4 listones de madera de 2,5 cm de ancho × 2,5 cm de alto × 2 m de largo: dos listones para construir el perímetro de las bases, un listón para construir el perímetro de la tapa y otro listón para las aristas que unirán las bases. Considerado el material que disponen, ellos se plantean las siguientes preguntas:

¿Qué dimensiones tendrán las bases de la cocina para que su área sea la mayor posible?

¿Qué dimensiones tendrá la cocina solar?

Identificamos datos y relaciones

Respondemos las siguientes preguntas para identificar los datos y relaciones presentes en la situación:

¿Qué datos identificamos en la situación problemática?

___________________________________

¿De qué manera se relacionan estos datos?

___________________________________

¿De qué manera podemos representar las dimensiones de las bases de la cocina?

___________________________________

¿Qué es una función cuadrática?

___________________________________

Hacemos suposiciones o experimentos

Respondemos las siguientes preguntas y completamos la información que se nos solicita:

¿Qué medidas pueden tener los lados de la base de la cocina?

¿Qué relación podemos establecer entre las medidas de los lados y el área de la base?

Si el ancho midiera 10 cm, ¿cuánto mide el largo? _________ ¿y cuál sería el área?

Si el ancho midiera 20 cm. ¿Cuánto mediría el largo? _________ ¿y cuál sería el área?

Para organizar los valores, completamos la siguiente tabla:

Ancho (x)

10

20

30

Largo (y)

 

 

 

Área del rectángulo

900 cm2

 

 

Luego, reflexionamos a partir de las siguientes preguntas:

¿Qué relaciones podemos establecer entre la medida de los lados y el área?

¿Cómo podemos determinar la mayor área de las bases de nuestra cocina? Justificamos nuestra respuesta.

¿De qué manera podemos organizar los datos?

Formulamos matemáticamente

Nos apoyamos en las siguientes preguntas para realizar nuestra formulación:

¿Cómo podemos determinar el área de forma directa?

____________________________________

Si asignamos una variable a la longitud del ancho y otra a la del largo, ¿cómo expresaríamos la longitud del largo en función de la medida del ancho?

____________________________________

¿Cómo podemos expresar el área de la base?

____________________________________________________________________________

¿Cómo se denomina a la expresión algebraica que hemos obtenido? Justificamos.

____________________________________________________________________________

Validamos nuestra solución

Completamos la siguiente tabla. Para ello, escribimos el modelo matemático que hemos obtenido en función del ancho de la base de la cocina y verificamos

si los resultados que hemos obtenido en la tabla anterior se cumplen.

Ancho (x)

10

20

 

−102 + 100 × 10

−202 + 100 × 20

 

−100 + 1000 = 900

−400 + 2000 = 1600

Comunicamos nuestra comprensión sobre la función cuadrática

A partir de los resultados obtenidos, respondemos las siguientes preguntas:

¿La función cuadrática que se ha obtenido se puede representar gráficamente?

____________________________________________

¿Qué forma tiene la gráfica de una función cuadrática?

____________________________________________

¿Cómo se llama la gráfica de la función cuadrática?

____________________________________________

¿Cómo interpretamos la gráfica de la función cuadrática en relación con las dimensiones de las bases de la cocina?

____________________________________________

¿De qué otra forma podemos expresar la función cuadrática? Justificamos nuestra respuesta.

____________________________________________

Afianzamos nuestros aprendizajes

Utilizamos GeoGebra para representar gráficamente la función cuadrática. Para ello, usamos el modelo obtenido y generamos la gráfica con ayuda del aplicativo. Luego, interpretamos dicha gráfica y respondemos las siguientes preguntas:

¿Cuál es la variación del área cuando se incrementa la longitud de los lados de las bases?

________________________________________________________________________________________

¿En qué punto de la gráfica se obtiene la mayor área?

________________________________________________________________________________________

Elaboramos afirmaciones a partir de las siguientes preguntas:

¿Cómo nos ayuda la función cuadrática para determinar los lados de las bases de la cocina de modo que tenga la mayor área posible? Justificamos nuestra respuesta.

________________________________________________________________________________________

¿Qué medidas deben tener los lados de las bases de la cocina para que tenga la mayor área posible? Justificamos nuestra respuesta.

________________________________________________________________________________________

Con la cantidad de listones que se dispone y las medidas de los lados de las bases que hemos obtenido, ¿qué dimensiones tendrá la cocina?

________________________________________________________________________________________

Reflexionamos sobre nuestro aprendizaje

Es momento de reflexionar sobre lo aprendido. Estas preguntas nos ayudarán:

¿Qué procedimientos nos ayudaron a responder las preguntas?

¿Qué tomamos en cuenta para calcular el área de las bases de la cocina? Explicamos el proceso realizado.

¿Cómo nos ayuda el aplicativo GeoGebra en la elaboración de la gráfica de una función cuadrática?

¿Por qué será importante reducir el uso de combustibles contaminantes?

¿Qué otras propuestas innovadoras podemos plantear?

Autoevaluación

Criterios de evaluación

Lo logré

Estoy en proceso de lograrlo

 

¿Qué puedo hacer para mejorar mis aprendizajes?

Establezco relaciones entre datos, valores desconocidos y variación entre magnitudes y las transformo a funciones cuadráticas con coeficiente entero.

 

 

 

Evalúo si la expresión algebraica o gráfica que planteé representa las condiciones del problema.

 

 

 

Expreso con representaciones gráficas, tabulares y simbólicas, y con lenguaje algebraico, mi comprensión sobre la función cuadrática y sus valores máximos, para interpretar mi solución en el contexto de la situación.

 

 

 

Selecciono las estrategias heurísticas, los métodos gráficos, los recursos y procedimientos matemáticos más convenientes para solucionar ecuaciones cuadráticas, según las condiciones del problema.

 

 

 

Planteo afirmaciones sobre las relaciones de cambio que observo entre las variables de una función cuadrática.

 

 

 

 

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