ONEM 2025 Nivel 3 Etapa UGEL Respuestas

XXI OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - ACEROS AREQUIPA (ONEM-AA ) 2025 Etapa UGEL - Nivel 3

Fecha de aplicación: 21 de agosto de 2025

Pregunta 1. Julio escribió una lista con todos los números de tres cifras que se pueden formar usando tres dígitos consecutivos (en algún orden). Para su sorpresa, en la lista apareció un número cuadrado perfecto cuya suma de cifras es 18. Determine dicho número.

Aclaración: Un número es llamado cuadrado perfecto si se obtiene al elevar un número entero al cuadrado.

Respuesta: 576

Pregunta 2. Un carpintero dispone de un bloque de madera con dimensiones 10 cm × 15 cm × 8 cm como muestra la siguiente figura.

El carpintero retira un cubo de lado 𝐿 cm de cada una de las esquinas del bloque. Si el volumen total retirado representa el 18 % del volumen original del bloque, determine el valor de 𝐿.

Respuesta: 3

Pregunta 3. Pablo recorre en bicicleta tres tramos consecutivos: uno de bajada, uno plano y uno de subida. Las dimensiones de cada tramo se muestran en la siguiente figura.

Si su rapidez es de 20 km∕h en el tramo de bajada, 15 km∕h en el tramo plano y 10 km∕h en el tramo de subida, ¿cuánto tiempo, en segundos, le toma recorrer los tres tramos?

Respuesta: 51

Pregunta 4. Juan compró un dado no convencional. Tras examinarlo cuidadosamente, determinó que no era justo, y construyó la siguiente tabla con las probabilidades de obtener cada uno de los seis posibles resultados al lanzarlo:

El dado se lanza dos veces de forma consecutiva. Si la probabilidad de que la suma de los dos resultados obtenidos sea un número par es igual a 𝐴∕81, determine el valor de 𝐴.

Respuesta: 41

Pregunta 5. En un colegio se organizó un torneo de ajedrez con participación de varones y mujeres. Todos los participantes jugaron una partida contra cada uno de los demás. Cada victoria otorgaba 1 punto, cada empate 0.5 puntos y cada derrota 0 puntos. Al finalizar el torneo, se observó que cada jugador obtuvo exactamente la mitad de sus puntos en partidas contra mujeres y la otra mitad en partidas contra varones. Si se sabe que el número total de participantes fue un entero entre 40 y 60, ¿cuántos jugadores participaron en el torneo?

Respuesta: 49

Pregunta 6. Ana y Berta deben elegir, cada una, un número de tres cifras, de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

✍️ El número elegido por Ana debe estar formado por tres cifras iguales.

✍️ El producto de los dos números elegidos debe ser un número de seis cifras iguales.

¿Cuál es el mayor número que puede elegir Berta de modo que se cumplan estas condiciones?

Respuesta: 858

Pregunta 7. En la siguiente figura se muestra un cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 cuya área es 72 m2. Sobre el lado 𝐵𝐶 se elige un punto 𝑃 de manera que la suma de las áreas de los triángulos sombreados sea la menor posible.

Determine, en metros, la suma de las longitudes de los segmentos 𝐴𝐵 y 𝐵𝑃.

Respuesta: 12

Pregunta 8. Durante una clase, la profesora propuso a sus alumnos el siguiente reto: Cada uno debía elegir un número entero positivo que tuviera más de nueve divisores positivos. Luego, debían ordenar los divisores positivos de su número en una lista de menor a mayor. Después de completar la tarea, Aldo, Blas, Cielo y Dora notaron que, aunque habían elegido números distintos entre sí, cada una de las cuatro listas cumplía con las siguientes características:

✍️ El segundo, sexto, octavo y noveno número en la lista forman una progresión aritmética.

✍️ Existen dos números distintos en la lista cuya suma también aparece en la lista.

¿Cuál es el menor valor posible que puede tener la suma de los cuatro números elegidos por Aldo, Blas, Cielo y Dora?

Respuesta: 10 080

Pregunta 9. En un tablero de 4 × 4 casillas, decimos que dos casillas son vecinas si comparten un lado. Un llenado perfecto del tablero consiste en escribir un número entero positivo en cada casilla, de modo que en cada casilla, el número escrito sea igual a la cantidad de valores distintos escritos en todas sus casillas vecinas. En la figura se muestra un ejemplo de llenado perfecto:

Respuesta: 6

Pregunta 10. Ana y Bruno juegan en un tablero de 8×8 casillas. Primero, Ana elige en secreto una casilla cualquiera del tablero. Luego, Bruno realiza una serie de intentos para adivinar cuál fue la casilla elegida. En cada intento, Bruno selecciona una casilla del tablero. Si acierta, el juego termina. Si no, Ana le informa a cuántos pasos de distancia se encuentra la casilla que selecciona Bruno de la casilla que ella eligió. Un paso consiste en moverse horizontal o verticalmente entre casillas adyacentes que comparten un lado. Por ejemplo, si Ana eligió la casilla marcada como 𝐴 en la figura y Bruno selecciona la casilla 𝐵, Ana le informa que está a 6 pasos de distancia.

Bruno afirma que, realizando a lo más 𝑛 intentos, es capaz de descubrir la casilla elegida por Ana, sin importar cuál haya sido la elección de Ana. ¿Cuál es el menor valor de 𝑛 que hace verdadera la afirmación de Bruno?

Respuesta: 3