¿Sabes por qué sacar dos cartas sin devolver la primera cambia las probabilidades, pero lanzar una moneda dos veces no? La respuesta está en la diferencia entre eventos dependientes y eventos independientes. En esta guía repasamos las definiciones, las fórmulas clave y resolvemos 22 problemas de probabilidad paso a paso, con ejemplos de la vida cotidiana, tablas comparativas y ejercicios propuestos con respuestas.
Eventos dependientes e independientes: conceptos
Eventos dependientes
Dos o más eventos son dependientes cuando la ocurrencia (o no ocurrencia) de uno afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Aquí se usa la probabilidad condicional: P(A | B) es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que B ya ocurrió.
Caso típico: extraer elementos sin reposición.
Eventos independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no tiene efecto sobre la probabilidad del otro.
Caso típico: el muestreo con reposición, es decir, devolver el elemento a la población antes de volver a extraer.
Ejemplo: lanzar una moneda dos veces.
Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes, porque el resultado del primer lanzamiento no modifica las probabilidades de obtener cara o sello en el segundo.
| Característica | Eventos dependientes | Eventos independientes |
|---|---|---|
| Efecto del primer resultado | Cambia la probabilidad del segundo | No cambia la probabilidad del segundo |
| Situación típica | Extracciones sin reposición | Extracciones con reposición, lanzamientos de moneda o dado |
| Espacio muestral | Se reduce en cada paso | Se mantiene igual |
| Fórmula de la intersección | P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) |
| Ejemplo | Sacar dos canicas sin devolver la primera | Lanzar un dado y luego una moneda |
Fórmulas clave y cómo reconocer cada caso
Eventos independientes:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Eventos dependientes (probabilidad condicional):
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
Probabilidad condicional (con P(A) > 0):
P(B | A) = P(A ∩ B)P(A)
- Eventos mutuamente excluyentes (A ∩ B = ∅): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- Caso general de la unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Complemento: P(A) + P(Aᶜ) = 1
Ejemplo de la regla del producto (independientes): se lanza un dado dos veces. Sean A: «sale par en el primer lanzamiento» y B: «sale 3 en el segundo». Como son independientes:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 36 · 16 = 112
- Usar P(A) · P(B) cuando hay extracción sin reposición: debes usar P(B | A), con el espacio muestral ya reducido.
- Confundir excluyentes con independientes: no son lo mismo (de hecho, dos eventos excluyentes con probabilidad positiva son dependientes).
- Olvidar simplificar fracciones o expresar el resultado también como decimal o porcentaje.
Problemas resueltos: probabilidad de eventos dependientes
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 verdes y 2 azules. Se saca una canica y no se reemplaza; luego se saca otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul y la segunda verde?
Como la primera canica no se devuelve, el total pasa de 9 a 8 canicas: los eventos son dependientes.
Usamos P(azul y luego verde) = P(azul) · P(verde | azul):
P = 29 · 38 = 672 = 112
Respuesta: 112 ≈ 0,083 (8,3 %)
Se extraen dos cartas de una baraja de 52 naipes sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean ases?
En la primera extracción hay 4 ases entre 52 cartas. Si salió un as, quedan 3 ases entre 51 cartas.
P = 452 · 351 = 122652 = 1221
Respuesta: 1221 ≈ 0,0045 (0,45 %)
Un costal contiene 5 papas amarillas y 7 papas blancas del mismo tamaño. Una familia saca dos papas al azar, una tras otra y sin devolverlas. ¿Qué probabilidad hay de que ambas sean amarillas?
Primera papa amarilla: 5 de 12. Si salió amarilla, quedan 4 amarillas entre 11 papas.
P = 512 · 411 = 20132 = 533
Respuesta: 533 ≈ 0,152 (15,2 %)
Una bolsa contiene 10 semillas: 6 germinan bien y 4 están dañadas. Se eligen tres semillas al azar, sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean buenas?
Cada extracción reduce en uno el total y, si salió una buena, también las buenas:
P = 610 · 59 · 48 = 120720 = 16
Respuesta: 16 ≈ 0,167 (16,7 %)
En la extracción de una carta de un mazo inglés de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones?
Debemos calcular P(as | corazón) = P(as y corazón) / P(corazón).
P(as y corazón) = 1/52 y P(corazón) = 13/52. Entonces:
P(as | corazón) = 1/5213/52 = 113
Respuesta: 113
Propiedades relacionadas: eventos excluyentes, complemento y unión
Los siguientes problemas no tratan de dependencia o independencia, pero usan reglas que complementan el tema y suelen aparecer en las mismas evaluaciones.
Se extrae una carta al azar de un mazo de 52 cartas. Sean A: «sale 3» y B: «sale una figura» (J, Q o K). ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B?
Una carta no puede ser a la vez un 3 y una figura: A ∩ B = ∅ (eventos mutuamente excluyentes). Entonces:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 452 + 1252 = 1652 = 413
Respuesta: 413 ≈ 0,308
En el mismo experimento, ¿cuál es la probabilidad de que no salga rey?
Es más simple usar el complemento: P(A) = 1 − P(Aᶜ), donde Aᶜ es «sale rey».
P(no rey) = 1 − 452 = 4852 = 1213
Respuesta: 1213 ≈ 0,923
Se lanza un dado de seis caras. Sean A: «sale par» y B: «sale número primo». ¿Cuál es la probabilidad de que salga par o primo?
A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 5} y A ∩ B = {2}. Como los eventos no son excluyentes, restamos la intersección:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 36 + 36 − 16 = 56
Respuesta: 56 ≈ 0,833
Problemas resueltos: probabilidad de eventos independientes
Si se lanza una moneda normal tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres sellos?
Cada lanzamiento es independiente de los demás, así que multiplicamos las probabilidades de sello (S):
P(SSS) = 12 · 12 · 12 = 18
Respuesta: 18 = 0,125 (12,5 %)
Se lanza una moneda tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
Es más fácil usar el complemento. «Ninguna cara» equivale a tres sellos, cuya probabilidad es 1/8.
P(al menos una cara) = 1 − 18 = 78
Respuesta: 78 = 0,875 (87,5 %)
Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes, se repone y se extrae una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes?
Hay 4 reyes en 52 cartas: P(rey) = 4/52 = 1/13. Al reponer la carta, las extracciones son independientes:
P = 113 · 113 = 1169
Respuesta: 1169 ≈ 0,0059
En una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar 2 fichas con reposición, ambas sean amarillas?
Sea A el evento «extraer una ficha amarilla»: P(A) = 3/(3 + 6) = 3/9 = 1/3.
Como se repone la ficha, la segunda extracción tiene las mismas condiciones. Los eventos son independientes:
P = 13 · 13 = 19
Respuesta: 19 ≈ 0,111
Una ruleta está dividida en 6 sectores iguales y solo uno es rojo. Si se hace girar dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que no caiga en rojo en ninguno de los dos giros?
En cada giro, P(no rojo) = 5/6. Los giros son independientes:
P = 56 · 56 = 2536
Respuesta: 2536 ≈ 0,694 (69,4 %)
Una persona olvidó el número telefónico de su mejor amigo (7 cifras), pero recuerda las 5 cifras intermedias. Sabe además que la primera cifra es par y distinta de 0 y que la última es impar y mayor que 4. ¿Cuál es la probabilidad de acertar el número?
Solo debe adivinar dos dígitos. Primer dígito: 2, 4, 6 u 8 (4 opciones). Último dígito: 5, 7 o 9 (3 opciones).
Sea A: acertar el primer dígito, P(A) = 1/4; y B: acertar el último, P(B) = 1/3. Son independientes:
P(A ∩ B) = 14 · 13 = 112
Respuesta: 112 ≈ 0,083
Un estudiante responde al azar 5 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte las cinco?
Cada pregunta tiene 2 respuestas posibles y solo una es correcta: P(acertar) = 1/2. Las respuestas son independientes:
P = 12 · 12 · 12 · 12 · 12 = ( 12 )5 = 132
Respuesta: 132 = 0,03125 (3,1 %)
Un test de selección múltiple tiene 30 preguntas con 4 alternativas cada una (solo una correcta). Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sus respuestas sean correctas?
P(acertar una pregunta) = 1/4. Con 30 preguntas independientes, el producto de 30 factores iguales es una potencia:
P = ( 14 )30 = 1430 ≈ 8,67 × 10−19
Respuesta: (1/4)30 ≈ 8,67 × 10−19, prácticamente imposible
Un alumno contesta al azar una prueba de 70 preguntas. Cada pregunta tiene 5 alternativas y solo una es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga el puntaje máximo?
P(acertar una pregunta) = 1/5. Para obtener el puntaje máximo debe acertar las 70, que son independientes entre sí:
P = ( 15 )70 ≈ 1,18 × 10−49
Respuesta: (1/5)70 ≈ 1,18 × 10−49
Un alumno debe contestar verdadero o falso en cada una de 6 preguntas, al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente las cinco últimas, si acertó la primera?
Como las respuestas son independientes, acertar la primera no cambia nada. Solo importa acertar las cinco últimas:
P = ( 12 )5 = 132
Respuesta: 132
Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación en cada una de 6 etapas de un concurso. Si responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte en las seis etapas?
Las etapas son independientes y P(acertar) = 1/2 en cada una:
P = ( 12 )6 = 164
Respuesta: 164 ≈ 0,0156 (1,6 %)
Un restaurante ofrece un almuerzo con 2 entradas, 3 platos de fondo y 5 postres. Me gustan todas las entradas, pero no me gustan 2 de los platos de fondo ni 3 de los postres. Si el menú se elige al azar, ¿cuál es la probabilidad de que me toque un menú de mi agrado?
La elección de entrada, fondo y postre son eventos independientes. Consideramos solo los casos favorables (que me gustan):
Entrada: 2 de 2. Fondo: 3 − 2 = 1 de 3. Postre: 5 − 3 = 2 de 5.
P = 22 · 13 · 25 = 215
Respuesta: 215 ≈ 0,133 (13,3 %)
El procesador, la placa madre y la memoria de una computadora tienen 5 %, 10 % y 20 % de probabilidad de fallar antes de un año, respectivamente. Si los componentes fallan de forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que los tres fallen antes de un año?
P(A) = 5 % = 1/20, P(B) = 10 % = 1/10 y P(C) = 20 % = 1/5. Por ser independientes:
P(A ∩ B ∩ C) = 120 · 110 · 15 = 11000
Respuesta: 11000 = 0,001 (un milésimo, 0,1 %)
En una empresa, el 35 % del personal son mujeres y el 15 % de los empleados se perfeccionó en el extranjero. Suponiendo que ambas características son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?
Sea M: «es mujer», P(M) = 35/100 = 0,35 y E: «se perfeccionó en el extranjero», P(E) = 15/100 = 0,15. Por independencia:
P(M ∩ E) = P(M) · P(E) = 0,35 · 0,15 = 0,0525
Respuesta: 0,0525 = 5,25 %
Ejercicios propuestos con respuestas
Practica por tu cuenta y luego despliega cada respuesta para comprobar tu resultado.
Ejercicio 1
Una bolsa tiene 3 bolas rojas y 5 azules. Se sacan dos bolas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?
Respuesta: 38 · 27 = 328
Ejercicio 2
Se lanza una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y un número mayor que 4?
Respuesta: 12 · 26 = 16
Ejercicio 3
Se extrae una carta de una baraja de 52, se repone y se extrae otra. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un corazón y luego un trébol?
Respuesta: 14 · 14 = 116
Ejercicio 4
Se extraen tres cartas sin reposición de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean ases?
Respuesta: 452 · 351 · 250 = 15525
Preguntas frecuentes sobre eventos dependientes e independientes
¿Cuál es la diferencia entre eventos dependientes e independientes?
En los eventos independientes, que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro (por ejemplo, lanzar una moneda dos veces). En los dependientes, el resultado del primero modifica las condiciones del segundo (por ejemplo, sacar dos cartas sin devolver la primera al mazo).
¿Cómo sé si dos eventos A y B son independientes?
Son independientes si se cumple P(A ∩ B) = P(A) · P(B), o de forma equivalente, si P(B | A) = P(B). Si no se cumple, los eventos son dependientes.
¿Qué significa extraer con reposición y sin reposición?
Con reposición significa devolver el elemento extraído antes de la siguiente extracción, por lo que las condiciones no cambian y los eventos son independientes. Sin reposición significa no devolverlo: el espacio muestral se reduce y los eventos son dependientes.
¿Qué es la probabilidad condicional P(B | A)?
Es la probabilidad de que ocurra B sabiendo que A ya ocurrió. Se calcula con P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A), siempre que P(A) sea mayor que 0.
¿Los eventos mutuamente excluyentes son independientes?
No. Si dos eventos con probabilidad mayor que 0 son mutuamente excluyentes, son dependientes: saber que uno ocurrió implica que el otro no puede ocurrir.
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