PROBABILIDAD DE EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES ENTRE SI
Eventos dependientes
Dos o m谩s eventos ser谩n dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros. Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresi贸n P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A s铆 el evento B ya ocurri贸.
Eventos Independientes
Dos o m谩s
eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no
tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).
Un caso t铆pico de eventos independiente es el muestreo con reposici贸n, es
decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la poblaci贸n donde se
obtuvo.
Ejemplo: Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.
PROBLEMAS RESUELTOS PROBABILIDAD DE EVENTOS DEPENDIENTES
1.- Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas
verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es
reemplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cu谩l es la probabilidad de que la
primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la
primera canica no es reemplazada, el tama帽o del espacio muestral para la
primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) as铆 los eventos son
dependientes.
P(azul luego
verde) = P(azul) * P(verde)
P(azul luego
verde) = (2/9) • (3/8) = 6/72 = 1/12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.- Un
departamento de mantenimiento recibe un promedio de 5 llamadas por hora.
Comenzando en un momento aleatoriamente seleccionado, la probabilidad de que
una llamada llegue dentro de media hora es:
Promedio 5 por hora, como el intervalo es media hora = 2,5/media hora. A
continuaci贸n, tenemos que:
P(T< 30 min.) = 1- e -5 = 1 - 0,08208 = 0,91792
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.- P(A脠B) = P(A)
+ P(B). Se extrae una carta al azar de un mazo ingl茅s normal de 52 cartas.
Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una
figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A 贸 B. Como
estos eventos no pueden ocurrir simult谩neamente, o sea, son mutuamente
excluyentes
A∩B = f. Entonces:
P(A 贸 B) = P(A脠B) = P(A) + P(B)
= P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 +
12/52 = 4/13.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.- P(A) + P(Ac)
= 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no
sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces
resulta m谩s simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(Ac):
P(no sale rey)
= 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13
P(A脠B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale
par" y B: "sale primo" tienen intersecci贸n no vac铆a:
A∩B = {2},
entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A 贸 B es
P(A o B) = P(A脠B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)
= 3/6 + 3/6 -
1/6 = 5/6
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.- P(A∩B) =
P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale
par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo",
son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en
el primero y un 3 en el segundo" es
P(A y B) = P(A∩B)
= P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6) = 1/12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.- P (A∩B) = P(A)•P(B/A) 贸 P(B/A) = P(A∩B)/P(A) [P(B/A)]
Es la
probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracci贸n de una
carta de un mazo ingl茅s normal: ¿Cu谩l es la probabilidad de que la carta
extra铆da sea el as de corazones, sabiendo que la carta extra铆da es de
corazones?
Debemos calcular P(as/coraz贸n).
La probabilidad de "as y coraz贸n" es 1/52.
La probabilidad de coraz贸n es 13/52.
Luego, P(as/coraz贸n) = P(as y coraz贸n)/P(coraz贸n) = (1/52)/(13/52) =
1/13.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PROBLEMAS RESUELTOS PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES
1.- Si se lanza
una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:
Soluci贸n:
Cada
lanzamiento es independiente de los otros. De manera que las probabilidades de
sello (S) en cada lanzamiento se multiplicar谩n entre s铆.
P(tres Sellos) = P(S)•P(S)•P(S)
= (1/2) • (1/2) • (1/2) = 8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.- Una moneda se
lanza tres veces, ¿Cu谩l es la probabilidad de que las tres veces salga cara?
Soluci贸n:
La probabilidad
de que salga cara en un lanzamiento es ½
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.- En tres
lanzamientos independientes entre s铆, el resultado de uno no afecta los otros
resultados. En tal caso, las probabilidades de cada evento - de salir cara en
este caso -, se multiplican entre s铆:
P = (1/2) • (1/2) • (1/2) = 1/8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.- Se extrae una
carta de una baraja de 52 naipes. Se repone y se extrae una segunda carta.
¿Cu谩l es la probabilidad de que ambas sean reyes?
Soluci贸n:
Sea A ≡ Obtener
un rey de un mazo de 52 cartas.
Hay 4 reyes en
el mazo. Por lo tanto,
P(A) = 4/52 = 1/13
Al reponer la
carta, cada extracci贸n es independiente de la anterior, esto quiere decir que
no se ve afectado el valor de obtener la misma probabilidad de obtener un rey.
Adem谩s, por ser eventos independientes, se multiplica el valor seg煤n el n煤mero
de extracciones con reposici贸n que hay, que son dos.
As铆:
P(extraer dos
reyes en dos extracciones y con reposici贸n) = (1/13)•(1/13) = 1/69
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.- En una urna
hay 3 fichas amarillas y 6 azules, ¿Cu谩l es la probabilidad de que al sacar 2
fichas, con reposici贸n, 茅stas sean amarillas?
Soluci贸n:
Definamos A
como el evento:
“extraer una
bola amarilla”.
As铆, si
P = es la
probabilidad de extraer una sola bola amarilla.
P = casos
favorables n煤meros de amarillas/casos totales n煤mero total de bolas = 3/(3+6) =
3/9 = 1/3
Como una
extracci贸n no afecta a la otra, pues se repone la bola sacada, no afectando al
n煤mero de bolas del color sacado, ni al total de bolas que hubo inicialmente,
para el caso de otra extracci贸n. Por tanto, estamos frente a eventos independientes.
Y el evento A se repite dos veces para satisfacer lo pedido. As铆, extraer dos
bolas amarillas es simplemente repetir el evento A, siguiendo un principio
multiplicativo para extracciones con reposici贸n y de modo m谩s general, para
eventos independientes.
P = (1/3) • (1/3) = 1/9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.- El macabro y
no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una
de las seis rec谩maras del cilindro del rev贸lver, dejando las otras cinco
vac铆as. Ahora, si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la
cabeza y apretar el gatillo. ¿Cu谩l es la probabilidad de estar vivo despu茅s de
jugar dos veces?
Soluci贸n:
Cada vez que se
hace girar el cilindro, la probabilidad de que salga el disparo es 1/6.
Por lo tanto,
la probabilidad de sobrevivir a cada juego es 5/6.
Como los juegos
son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es:
5/6= primer
juego
(5/6) • (5/6) = 25/36
25/36= segundo
juego
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7.- Se lanza un
dado dos veces. ¿Cu谩l es la probabilidad de que en el primer lanzamiento resulte
3 y en el segundo lanzamiento un n煤mero impar?
Soluci贸n:
Sean los eventos:
A ≡ Obtener un
3. De seis n煤meros posibles, hay un solo 3 ⇒P(A) =1/6
B ≡ Obtener un
n煤mero impar. De seis n煤meros posibles, tenemos tres impares ⇒ P(B) = 3/6
= 1/2
Los eventos A y
B son independientes, por lo tanto, P(A∩B) = P(A) •P(B) =
(1/6) • (1/2) = 1/12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8.- Una persona
muy distra铆da ha extraviado el n煤mero telef贸nico de su mejor amigo, pero logra
averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo adem谩s que el
primer d铆gito debe ser par, distinto de 0 y que la 煤ltima cifra es impar mayor
que 4, ¿Cu谩l es la probabilidad de acertar al n煤mero de tel茅fono de su amigo?
Soluci贸n:
Solo debe
adivinar dos d铆gitos, el primero y el 煤ltimo. Las posibilidades para el primer
n煤mero son par y distinto de cero: 2, 4, 6, 8. Las posibilidades para el
segundo n煤mero son impar y mayor que cuatro: 5, 7,
Sean los
eventos:
A ≡ Acertar el
primer d铆gito.
B ≡ Acertar el
segundo d铆gito.
A∩B ≡ Acertar
los dos d铆gitos.
Entonces P(A) =
1/4
Entonces P(B) =
1/3
Como son
eventos independientes, la probabilidad de acertar los dos d铆gitos en el n煤mero
telef贸nico de su amigo es el producto de ambas probabilidades:
P(A∩B) = P(A) • P(B) = (1/4) • (1/3) = 1/12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9.- Un estudiante
responde al azar 5 preguntas de verdadero y falso en una prueba. ¿Cu谩l es la
probabilidad de que acierte todas aquellas preguntas?
Soluci贸n:
Cada pregunta
tiene dos respuestas posibles, las que constituyen los casos totales. El caso
favorable a cada respuesta correcta es una en cada pregunta. Por lo tanto, la
probabilidad de responder correctamente una pregunta es:
P(1 correcta) =
½
Responder cada pregunta
constituye un evento independiente a las otras respuestas. Por lo tanto, se
multiplica los resultados probables de acertar cada una de las 5 preguntas.
As铆, la probabilidad pedida es:
P(5 correctas)
= (1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2) = (1/2) ^5 = 1/32
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10.- Un test de
selecci贸n m煤ltiple consta de 30 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles
respuestas siendo s贸lo una de ellas la correcta. Si un alumno responde al azar
cada pregunta, ¿Cu谩l es la probabilidad de que todas sus respuestas sean
correctas?
Soluci贸n:
Hay una
alternativa correcta de un total de cuatro en cada pregunta. Por lo tanto, la
probabilidad de acertar una es ¼
Como cada pregunta
es independiente de las otras, la probabilidad final es el producto de las
probabilidades de cada una de las 40 preguntas. Es decir,
P(30 aciertos)
= (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) = (1/4) ^30
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11.- Un alumno
contesta las 70 preguntas de la P.S.U. de matem谩ticas al azar. Si cada pregunta
tiene 5 alternativas y s贸lo una de 茅stas es correcta, entonces ¿Cu谩l es la
probabilidad de que tenga el puntaje m谩ximo?
Soluci贸n:
Hay una
alternativa correcta de un total de cinco en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad
de acertar una es una de cuatro, es decir,
P(x = 1) = 1/5
Para obtener el
puntaje m谩ximo se debe acertar las 70 preguntas, independientes entre s铆. Por
lo tanto, la probabilidad pedida es:
P(x = 70)
= (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5)
P(x = 70) = (1/5) ^70
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12.- Un alumno en
un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el
alumno responde al azar, ¿Cu谩l es la probabilidad de que conteste correctamente
las cinco 煤ltimas preguntas, si acert贸 en la primera?
Soluci贸n:
Sea x la
variable que indica el n煤mero de veces que se acierta una pregunta. Entonces,
si la respuesta correcta se halla entre dos alternativas, la probabilidad de
acertar una pregunta es una de dos, es decir:
P(x = 1) =
(1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2) ^5=1/32
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13.- Una persona
debe responder verdadero o falso a una afirmaci贸n que se le har谩 por cada etapa
que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que
acierte en seis etapas es:
Soluci贸n:
La probabilidad
de acertar una afirmaci贸n es de ½.
Como todas las
etapas son independientes, para 6 etapas, la probabilidad pedida es:
P = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2)^6 =
1/64
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14.- Un restaurante
ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2 entradas, 3 platos de fondo y 5
postres. Si no me gustan 2 de los platos de fondo y 3 de los postres. ¿Cu谩l es
la probabilidad de que me toque un men煤 de mi agrado si la elecci贸n es el azar?
Soluci贸n:
Todo men煤
tendr谩 finalmente 1 entrada, 1 plato de fondo y 1 postre y la composici贸n de
cada uno de estos es independiente de los otros. As铆, tendremos de seguro,
varias probabilidades que multiplicar. Denotemos las probabilidades de obtener
entrada, fondo y postre de mi agrado, con P(entrada), P(fondo) y P(postre)
respectivamente. En la siguiente expresi贸n consideramos en los numeradores solo
los casos favorables que sean del agrado, mientras que en los denominadores, a
la cantidad total de posibilidades de componerlos. As铆, la probabilidad de
obtener un men煤 de mi agrado es:
P(entrada) •
P(fondo) • P(postre) = (2/2)•(3-2)/3•(5-3)/5 = 1•(1/3)•(2/5) =2/5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15.- El procesador,
la placa madre y la memoria tienen un 5%, 10% y 20% de probabilidades de fallar
antes de un a帽o respectivamente. ¿Cu谩l es la probabilidad de comprar un
computador que presentar谩 fallas antes de un a帽o, en los tres componentes
se帽alados?
Soluci贸n:
Sean los
siguientes eventos de falla antes de un a帽o:
A ≡falla el
procesador. Por el enunciado, P(A) = 5% = 5/100 = 1/20.
B ≡falla la
tarjeta madre. De el enunciado, P(B) = 10% = 10/ 100 = 1/10.
C ≡falla la
memoria. Entonces, P(C) = 20% = 20/100= 2/10 = 1/5.
Como los componentes
son independientes uno del otro, la probabilidad de que los tres fallen antes
de un a帽o, es la probabilidad de eventos independientes:
P(A∩B∩C) =
P(A) •P(B) •P(C) = (1/20)(1/10)(1/5)=1/1000
Un
mil茅simo.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16.- En una empresa
trabajan hombres y mujeres, adem谩s se sabe que un 15% de los empleados se han
perfeccionado en el extranjero. Si el 35% de las personas son mujeres, ¿Cu谩l es
la probabilidad de que, al escoger una persona de la empresa, esta sea mujer y
se haya perfeccionado en el extranjero?
Soluci贸n:
Sea:
M = Escoger
a una mujer.
E = Haberse
perfeccionado en el extranjero.
M y E son
eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto de
la probabilidad de ambos eventos.
P (M∩E)
=P(M) • P(E)
P (M∩E) =
(35 ^7)/(100 ^20) •(15/100)
=7/(20^4) •
(15^3)/100
=
(21/4)(1/100%)
= 5,25%
Publicar un comentario
Emplea un lenguaje de respeto a la comunidad al momento de dejar tu comentario. Recuerda que tu lenguaje te identifica como persona, el cambio de la educaci贸n empieza por ti.