¿Cómo elegimos de forma justa a quién nos representa? En esta actividad usamos la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación para decidir con datos y no con prejuicios, promoviendo una convivencia sin discriminación en nuestra comunidad.
¡Hola! En la actividad anterior analizamos información sobre la discriminación étnico-racial. Ahora aprenderemos a usar medidas estadísticas para tomar decisiones objetivas.
Leemos y reflexionamos
La entrenadora de natación conversa con el docente de Educación Física para elegir a la deportista que representará a la institución educativa en un campeonato de natación de su distrito. Las candidatas son:
- Margarita, de la Costa;
- Inés, de una zona altoandina;
- Teodora, de la Amazonía.
El director recomendó que, en la elección, se eviten los comentarios discriminatorios, pues es una problemática frecuente en la comunidad. La entrenadora y el docente revisan la Tabla 1, con los tiempos (en segundos) de las 5 últimas competencias de 50 metros estilo libre.
| Nadadora | Comp. 1 | Comp. 2 | Comp. 3 | Comp. 4 | Comp. 5 | Promedio |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Margarita | 27,36 | 26,15 | 28,00 | 27,29 | 26,01 | 27 |
| Inés | 26,25 | 26,59 | 27,67 | 28,32 | 26,12 | 27 |
| Teodora | 29,50 | 26,75 | 26,01 | 26,04 | 26,12 | 27 |
Los promedios están redondeados a la unidad; más abajo veremos que, con dos decimales, no son exactamente iguales.
Comprendemos el problema: medidas de dispersión
Las medidas de dispersión indican qué tan separados o concentrados están los datos respecto de su valor central. Son fuentes importantes para analizar datos y tomar decisiones.
1. Rango o recorrido
Mide la amplitud de la muestra: cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos.
2. Desviación media (DM)
Es el promedio de las distancias (valores absolutos) entre cada dato y la media.
3. Varianza (V)
Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y la media. Sirve para describir o comparar conjuntos de datos. Su unidad es la unidad original elevada al cuadrado (kg², s²).
4. Desviación estándar (S)
Expresa el grado de dispersión de los datos respecto de la media. Es la raíz cuadrada de la varianza y se mide en la misma unidad que los datos.
5. Coeficiente de variación (CV)
Compara la desviación estándar con la media y se expresa en porcentaje. Permite comparar la dispersión de grupos con distintas medias o unidades.
| CV | Apreciación de la muestra |
|---|---|
| 0 % a 10 % | Muy homogénea |
| Más de 10 % hasta 15 % | Homogénea |
| Más de 15 % hasta 25 % | Heterogénea |
| Más de 25 % | Muy heterogénea |
En esta actividad usamos las fórmulas para datos no agrupados, dividiendo entre n (como se trabaja en el nivel escolar).
Ejemplo resuelto: el peso de niños del nivel inicial
José enseña en una institución con inicial, primaria y secundaria. Sus estudiantes de 5.° grado investigan el peso de niños de 5 y 6 años de las secciones A y B. Cada sección tiene 15 estudiantes, así que toman una muestra de 5 por sección. Determinamos la media y las medidas de dispersión.
| Sección | Pesos (kg) | Media | Rango | Varianza | Desv. estándar | CV |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 15 · 16 · 19 · 24 · 26 | 20 kg | 11 kg | 18,8 kg² | 4,34 kg | 21,68 % |
| B | 18 · 19 · 20 · 21 · 22 | 20 kg | 4 kg | 2 kg² | 1,41 kg | 7,07 % |
Resolvemos el reto propuesto
Preguntas para comprender el problema
- ¿Cómo definimos el problema con nuestras propias palabras? ¿Qué medidas estadísticas identificamos?
- ¿Qué medidas nos ayudarán a responder la pregunta?
- ¿Cuál es el reto y con qué recursos contamos para afrontarlo?
Paso 1 · Comparamos los tiempos de las tres atletas
Calcula la media aritmética de cada nadadora y observa cuánto varía cada tiempo respecto de ella. ¿Qué medida estadística nos ayuda a determinar la dispersión de un conjunto de datos?
Pasos 2 y 3 · Calculamos las medidas de dispersión
Calcula el rango, la desviación media, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de las tres atletas. Luego compara con la tabla de resultados.
Ver el desarrollo con los resultados (Margarita como ejemplo)
- Media: (27,36 + 26,15 + 28,00 + 27,29 + 26,01) ÷ 5 = 134,81 ÷ 5 = 26,96 s
- Desviaciones (x − x̄): +0,40 ; −0,81 ; +1,04 ; +0,33 ; −0,95
- Cuadrados: 0,16 ; 0,66 ; 1,08 ; 0,11 ; 0,91 → suma ≈ 2,91
- Varianza: 2,91 ÷ 5 ≈ 0,58 s²
- Desviación estándar: √0,58 ≈ 0,76 s
- CV: 0,76 ÷ 26,96 × 100 ≈ 2,83 %
Repetimos el procedimiento con Inés y Teodora:
| Nadadora | Media | Rango | Desv. media | Varianza | Desv. estándar | CV |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Margarita | 26,96 | 1,99 | 0,71 | 0,58 | 0,76 | 2,83 % |
| Inés | 26,99 | 2,20 | 0,80 | 0,74 | 0,86 | 3,19 % |
| Teodora | 26,88 | 3,49 | 1,05 | 1,78 | 1,34 | 4,97 % |
Paso 4 · Interpretamos y formulamos afirmaciones
Formula 4 afirmaciones sobre la elección de la atleta y sustentalas con las medidas estudiadas.
Ver afirmaciones de ejemplo
- Las tres atletas tienen tiempos promedio casi iguales (entre 26,88 s y 26,99 s); la diferencia es de apenas 0,11 s, por lo que el promedio por sí solo no basta para decidir.
- Las tres muestras son muy homogéneas (CV menor a 10 %): todas son nadadoras regulares.
- Margarita es la más constante: menor rango (1,99 s), menor varianza (0,58 s²) y menor CV (2,83 %).
- Teodora tiene el promedio más bajo (26,88 s), pero su tiempo de 29,50 s en la competencia 1 eleva su dispersión (CV 4,97 %). Sin esa marca, sus otros cuatro tiempos se concentran entre 26,01 s y 26,75 s.
Afianzamos nuestros aprendizajes
Analizamos los resultados de una prueba de Matemática
Frases como «la desviación típica del peso es muy grande» o «la media de las estaturas presenta poca desviación» son comunes en el trabajo y la investigación. Veamos un caso: los puntajes de diez estudiantes de quinto grado en una prueba de Matemática.
| N.° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Puntaje | 14 | 16 | 14 | 12 | 17 | 10 | 16 | 12 | 17 | 17 |
- El profesor cree que el rango es muy grande. ¿Cuál es este rango?
- Si la desviación media es mayor que 2, rendirán otra prueba. ¿Tomarán otra prueba de Matemática? (La media es 14,5).
- El profesor señaló que «una varianza de hasta 4,5 indicaría buenos resultados». ¿Cuál es la varianza de los puntajes?
- Para decidir, el profesor usará la desviación estándar: «si el doble de la desviación estándar es mayor que 4,5, tomará otro examen». ¿Tomará otro examen?
Ver solucionario
- Rango = 17 − 10 = 7 puntos.
- Suma de |x − 14,5| = 0,5 + 1,5 + 0,5 + 2,5 + 2,5 + 4,5 + 1,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 21 → DM = 21 ÷ 10 = 2,1. Como 2,1 > 2, sí tomarán otra prueba.
- Suma de (x − 14,5)² = 56,5 → V = 56,5 ÷ 10 = 5,65. Como 5,65 > 4,5, los resultados no se consideran buenos.
- S = √5,65 ≈ 2,38 → 2S ≈ 4,75. Como 4,75 > 4,5, sí tomará otro examen.
Evidencia, reflexión y autoevaluación
Reflexionamos sobre nuestro aprendizaje
- ¿Qué situaciones favorecieron el logro de nuestro propósito? ¿Cuáles lo dificultaron y qué hicimos para superarlas?
- ¿Cuál es la importancia de las medidas de dispersión en nuestra vida cotidiana?
Autoevaluación
Reconoce tus avances con los criterios de evaluación, plantea cómo mejorar y comenta tus dificultades con tu profesora o profesor para recibir orientación.
| Criterios de evaluación | Lo logré | Estoy en proceso | ¿Qué puedo hacer para mejorar? |
|---|---|---|---|
| Represento el comportamiento de los tiempos de las atletas mediante la desviación estándar. | |||
| Expreso con lenguaje matemático la pertinencia de las medidas de dispersión en el rendimiento de las atletas. | |||
| Adapto y combino procedimientos para determinar las medidas de dispersión de los tiempos de las tres atletas. | |||
| Planteo afirmaciones sobre la elección de la atleta y las argumento con medidas de dispersión para promover una buena convivencia. |
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