Multiplicación y división de números enteros: presupuesto familiar

En esta actividad aprenderás a multiplicar y dividir números enteros aplicando la ley de signos mientras resuelves una situación real: elaborar el presupuesto mensual de una familia que incluye un kit de bioseguridad. Encontrarás la situación, las tablas de trabajo, la demostración de por qué menos por menos es más, ejercicios propuestos y un solucionario para verificar tus respuestas.

Actividad 05: presupuesto mensual con números enteros

ÁreaMatemática

CompetenciaResuelve problemas de cantidad

TemaMultiplicación y división de números enteros

PropósitoElaborar un presupuesto familiar y deducir las leyes de signos

Contenido de la actividad

1. Saberes previos
2. Lee y analiza la situación
3. Identifica y representa los datos
4. Estrategias y procedimientos
5. Ley de signos
6. Demostración: (−) × (−) = (+)
7. Responde con argumentos
8. Resumen teórico y ejemplos
9. Actividades propuestas
10. Autoevaluación
11. Solucionario
12. Recursos y referencias

Saberes previos

Responde en tu cuaderno:

• ¿De qué manera calculamos los ingresos y los egresos en la actividad anterior?
• ¿Qué debemos considerar en un presupuesto mensual familiar?
• ¿Cómo podemos elaborar un presupuesto familiar que incluya un kit de bioseguridad?
• ¿De qué manera realizamos una multiplicación y una división con números enteros? ¿Existen otras formas?

Lee y analiza la situación

Situación En una familia de seis integrantes, la mamá y el papá ganan semanalmente S/ 400 cada uno. Mensualmente gastan en: alimentación, S/ 300 por persona; vestimenta, S/ 40 por persona; servicios de agua y luz, S/ 80 y S/ 100 respectivamente; paquete de teléfono, internet y cable, S/ 120; alimentación para los cuyes, S/ 80; gas, S/ 38; e higiene personal, S/ 40 por persona.

Además, en esta situación de pandemia compran cada mes un kit de bioseguridad compuesto por: 6 mascarillas de tela a S/ 12 cada una, 4 litros de alcohol a S/ 8 el litro y 3 litros de lejía a S/ 6 el litro.

¿Cuál será el presupuesto mensual de la familia si además recibe S/ 35 por cada uno de los 8 cuyes que vendieron? ¿A cuánto asciende el gasto mensual por persona?

ImportanteLos sueldos son semanales y el presupuesto es mensual: considera que un mes tiene 4 semanas.

Identifica y representa los datos

Anota en tu cuaderno los ingresos y egresos mensuales. Completa la descripción, las unidades, el ingreso o egreso por unidad y el total. Los ingresos se escriben con signo + y los egresos con signo −.

Ingreso mensual

Hoja de trabajo: ingresos

Descripción	Unidades	Ingreso por unidad	Ingreso total
Sueldo de la mamá (semanas)
Sueldo del papá (semanas)
Venta de cuyes
Total			+ S/

Egreso mensual (6 personas)

Hoja de trabajo: egresos

Descripción	Unidades	Egreso por unidad	Egreso total
Alimentación	6	− S/ 300
Vestimenta
Agua
Luz
Teléfono, internet y cable
Alimentación de los cuyes
Gas
Higiene personal
Kit de bioseguridad: mascarillas de tela
Kit de bioseguridad: alcohol de 1 litro	4	− S/ 8
Kit de bioseguridad: lejía de 1 litro
Total			− S/

Usa estrategias y procedimientos

Para calcular los totales hay distintas estrategias. Observa tres formas de hallar el egreso total en alimentación (6 personas, S/ 300 cada una):

Primera forma: adición repetida (−S/ 300) + (−S/ 300) + (−S/ 300) + (−S/ 300) + (−S/ 300) + (−S/ 300) = −S/ 1800

Segunda forma: simulación con billetes o dibujos Representa cada gasto con billetes (o dibujándolos) y cuenta cuánto sale en total.

Tercera forma: modelo matemático (multiplicación) (+6) × (−S/ 300) = −S/ 1800  →  a × b = c, donde a, b y c son números enteros.

Reflexiona: ¿es lo mismo decir «6 veces −S/ 300» que «−S/ 1800»? ¿Por qué? ¿Qué relación hay entre la adición y la multiplicación?

Luego de completar la hoja de presupuesto, responde:

• ¿A cuánto asciende el ingreso mensual de la familia?
• ¿Cuánto invierte la familia en el kit de bioseguridad para proteger su salud respiratoria?
• ¿Cuánto dinero gasta la familia mensualmente?
• ¿Quedaría algún saldo en el presupuesto familiar? ¿De cuánto sería?
• ¿A cuánto asciende el gasto mensual por persona?

Ley de signos de la multiplicación

Ahora analiza las representaciones simbólicas obtenidas para determinar las leyes de signos:

+ × + = +signos iguales

− × − = +signos iguales

+ × − = −signos distintos

− × + = −signos distintos

Regla prácticaSi los dos factores tienen el mismo signo, el producto es positivo. Si tienen signos distintos, el producto es negativo. En la división se aplica la misma regla.

Analiza una demostración: (−) × (−) = (+)

Observa lo que hizo una compañera para demostrar que menos por menos es más.

Primer paso

Recordó que tenía dos expresiones ya conocidas.

Segundo paso

Observó que, para obtener la «Expresión 2», bastaba aplicar el valor opuesto a un factor del primer miembro y al producto del segundo miembro de la igualdad.

Tercer paso

Hizo lo mismo con la «Expresión 2», pero con el otro factor del primer miembro.

Otra demostración: con la propiedad distributiva

Sabemos que (−3) × 0 = 0 y que 0 = 4 + (−4). Entonces:

(−3) × [4 + (−4)] = 0
(−3) × 4 + (−3) × (−4) = 0
−12 + (−3) × (−4) = 0

Para que la suma sea 0, el segundo sumando debe ser el opuesto de −12. Por lo tanto: (−3) × (−4) = +12.

Responde con argumentos

• ¿Qué relación existe entre la adición y la multiplicación de números enteros? Explica con un ejemplo.
• ¿Cómo explicarías la ley de signos en la multiplicación de números enteros? ¿Y en la división?
• Plantea tres afirmaciones matemáticas sobre lo aprendido y justifica cada una con ejemplos.
• Hay representaciones simbólicas equivalentes, como (−50)(−25) = −50 × −25 = +1250. ¿Cuál sería la representación equivalente a (−50)(+25)? Respóndelo en tu cuaderno y plantea cinco ejemplos de multiplicación y cinco de división con números enteros.

Multiplicación y división de números enteros: resumen y ejemplos

Producto de números enteros

Para multiplicar dos números enteros:

1. Multiplica sus valores absolutos.
2. Aplica la regla de los signos: signo + si ambos factores tienen el mismo signo y signo − si tienen signos distintos.

(+6) · (+4)
= +24

(−3) · (−4)
= +12

(+5) · (−3)
= −15

(−7) · (+5)
= −35

Problemas con multiplicación

AhorroLuis ahorra S/ 20 al mes y no gasta nada. ¿Cuánto tendrá al cabo de 5 meses?
(+20) · (+5) = +100 → ahorrará S/ 100.

GastoUn recibo mensual es de S/ 30. ¿Cuánto se gastará en 7 meses?
(−30) · (+7) = −210 → se gastarán S/ 210.

Gasto que se deja de hacerEva gasta S/ 10 al mes en golosinas y deja de comprarlas durante 3 meses. ¿Cuánto ahorró?
(−10) · (−3) = +30 → ahorró S/ 30.

Cociente de números enteros

Para dividir dos números enteros:

1. Calcula el cociente de sus valores absolutos.
2. Asigna el signo con la misma regla: signos iguales dan + y signos distintos dan −.

(+25) : (+5)
= +5

(−16) : (−2)
= +8

(+21) : (−3)
= −7

(−36) : (+9)
= −4

RecuerdaLa división entre cero no está definida: no se puede dividir entre 0.

Actividades propuestas

1. Realiza los siguientes productos y divisiones: a) (+3) · (+2)   b) (+4) · (−7)   c) (−8) · (−9)   d) (−5) · (+6)
e) (+20) : (+2)   f) (+21) : (−3)   g) (−30) : (−2)   h) (−54) : (+6)

2. Calcula en tu cuaderno: a) (+7) · (+3)   b) (+5) · (−3)   c) (−9) · (−2)   d) (−6) · (+7)
e) (+30) : (+3)   f) (+50) : (−5)   g) (−16) : (−4)   h) (−70) : (+2)

3. Efectúa mentalmente y anota los resultados: a) (+2) · (+4)   b) (+3) · (−2)   c) (−6) · (−3)   d) (−5) · (+8)
e) (+8) : (+4)   f) (+15) : (−3)   g) (−10) : (−5)   h) (−60) : (+6)

Autoevaluación

Competencia: Resuelve problemas de cantidad. Marca tu nivel de logro en cada criterio.

Criterios de evaluación	Lo logré	Estoy en proceso	¿Qué puedo hacer para mejorar?
Identifico los datos del problema y los relaciono entre sí.
Transformo las relaciones encontradas a expresiones numéricas con multiplicación y división de números enteros.
Expreso con representaciones y lenguaje numérico mi comprensión de la multiplicación y división con números enteros.
Empleo estrategias y procedimientos diversos para multiplicar y dividir números enteros.
Planteo afirmaciones sobre la multiplicación y división con números enteros y las justifico con ejemplos.

Solucionario

Intenta resolver primero por tu cuenta y luego compara.

Ver tablas de ingresos y egresos resueltas

Ingreso mensual (4 semanas por mes)

Descripción	Unidades	Ingreso por unidad	Ingreso total
Sueldo de la mamá	4	+ S/ 400	+ S/ 1600
Sueldo del papá	4	+ S/ 400	+ S/ 1600
Venta de cuyes	8	+ S/ 35	+ S/ 280
Total			+ S/ 3480

Egreso mensual

Descripción	Unidades	Egreso por unidad	Egreso total
Alimentación	6	− S/ 300	− S/ 1800
Vestimenta	6	− S/ 40	− S/ 240
Agua	1	− S/ 80	− S/ 80
Luz	1	− S/ 100	− S/ 100
Teléfono, internet y cable	1	− S/ 120	− S/ 120
Alimentación de los cuyes	1	− S/ 80	− S/ 80
Gas	1	− S/ 38	− S/ 38
Higiene personal	6	− S/ 40	− S/ 240
Kit: mascarillas de tela	6	− S/ 12	− S/ 72
Kit: alcohol de 1 litro	4	− S/ 8	− S/ 32
Kit: lejía de 1 litro	3	− S/ 6	− S/ 18
Total			− S/ 2820

Ver respuestas a las preguntas del presupuesto

• Ingreso mensual: 1600 + 1600 + 280 = S/ 3480.
• Kit de bioseguridad: (6 × 12) + (4 × 8) + (3 × 6) = 72 + 32 + 18 = S/ 122.
• Gasto mensual: 1800 + 240 + 80 + 100 + 120 + 80 + 38 + 240 + 122 = S/ 2820.
• Saldo: (+3480) + (−2820) = +S/ 660. Sí queda saldo a favor.
• Gasto mensual por persona: 2820 : 6 = S/ 470.

Ver respuestas de las actividades propuestas

1. a) +6   b) −28   c) +72   d) −30   e) +10   f) −7   g) +15   h) −9

2. a) +21   b) −15   c) +18   d) −42   e) +10   f) −10   g) +4   h) −35

3. a) +8   b) −6   c) +18   d) −40   e) +2   f) −5   g) +2   h) −10

Ver respuestas de «Responde con argumentos»

• Adición y multiplicación: multiplicar es sumar varias veces el mismo sumando. Ejemplo: 6 × (−300) = (−300) + (−300) + (−300) + (−300) + (−300) + (−300) = −1800.
• Ley de signos: signos iguales dan resultado positivo y signos distintos dan resultado negativo, tanto en la multiplicación como en la división.
• Afirmaciones posibles: (1) El producto de dos enteros negativos es positivo: (−4) × (−5) = +20. (2) El producto de un entero positivo y uno negativo es negativo: (+7) × (−3) = −21. (3) El cociente de dos enteros de signos distintos es negativo: (+36) : (−9) = −4.
• Representación equivalente: (−50)(+25) = −50 × +25 = −1250.

Recursos y referencias

Descargar ficha de aprendizaje (PDF)

Referencia: adaptado de Lorente, A. (2013). Números enteros. En Matemática 1.° de ESO (pp. 65–80).