En esta actividad de matemática sobre números enteros aprenderás a calcular los ingresos y egresos de una familia que compra cada mes un kit de bioseguridad. Practicarás la adición y sustracción de números enteros, la recta numérica, el valor absoluto y el opuesto de un número, resolviendo problemas de la vida diaria. Incluye ficha en PDF, actividades propuestas, autoevaluación y solucionario.
1. Saberes previos
Responde a las siguientes preguntas:
♥ ¿Qué prácticas sanitarias nos ayudan a prevenir el contagio de las enfermedades respiratorias y la COVID-19?
♥ ¿Qué necesitamos para implementar un kit de bioseguridad?
♥ ¿Cuánto tendríamos que invertir para el equipamiento de un kit de bioseguridad?
♥ ¿Qué significado tiene el signo positivo y negativo de un número entero?
2. Lee y analiza
Lee atentamente la siguiente situación:
Una familia está compuesta por seis personas. Los padres ganan quincenalmente S/ 750 cada uno y compran cada mes un kit de bioseguridad compuesto por:
- 6 mascarillas de tela, a S/ 10 cada una;
- 3 litros de alcohol, a S/ 10 cada litro;
- 4 litros de lejía, a S/ 5 cada litro.
Con estas adquisiciones, la familia quiere prevenir el contagio de la COVID-19. Además, por la venta mensual de 4 cuyes reciben S/ 30 por cada uno.
¿Cuáles son los ingresos y egresos de la familia?
3. Identifica los datos y represéntalos
Identifica los ingresos y egresos mensuales de la familia usando números enteros. Luego completa en tu cuaderno la descripción, la cantidad y el valor unitario de las tablas.
Recuerda: los ingresos se escriben con signo positivo (+) y los egresos (gastos) con signo negativo (−). Las quincenas de un mes son 2.
| Descripción | Cantidad | Valor unitario | Valor total |
|---|---|---|---|
| Sueldo de la mamá | 2 | + S/ 750 | |
| Ingreso familiar total | |||
| Descripción | Cantidad | Valor unitario | Valor total |
|---|---|---|---|
| Mascarillas de tela | 6 | − S/ 10 | |
| Egreso familiar total | |||
Responde las siguientes preguntas:
♥ ¿Cómo hemos representado los ingresos y egresos?
♥ ¿Por qué no colocamos − S/ 750 al sueldo de la mamá?
♥ ¿Qué significaría colocar S/ 0 en el costo unitario?
4. Usa estrategias y procedimientos
Calculamos los valores totales de los ingresos y egresos con distintas estrategias. A continuación, observa lo que hicieron tres compañeros para hallar el costo de las mascarillas de tela.
♥ Primera forma
− 10 − 10 − 10 − 10 − 10 − 10 = − 60 soles
¿Qué podemos afirmar? ¿Se han sumado o restado?
♥ Segunda forma
(− 10) + (− 10) + (− 10) + (− 10) + (− 10) + (− 10) = − 60 soles
¿Qué relación tiene con la primera forma?
Podemos afirmar: (− 10) + (− 10) = − 10 − 10
♥ Tercera forma: representación en la recta numérica
¿Por qué en la representación gráfica contamos de 10 en 10 hacia la izquierda en lugar de la derecha?
Al finalizar los cálculos, responde las dos interrogantes del problema:
♥ ¿A cuánto asciende el ingreso familiar total?
♥ ¿Cuánto es el egreso de la familia en el kit de bioseguridad?
5. Responde con argumentos
Analiza la cantidad de egresos e ingresos representados en la recta numérica.
Luego, responde lo siguiente:
♥ ¿Cómo representamos los egresos y cómo los ingresos?
♥ ¿Podríamos afirmar que los ingresos y egresos son términos opuestos?
♥ ¿Cómo se representa y cuál es el valor del opuesto de +20? ¿Cuál sería el Op(−20)?
♥ ¿Cuál es la distancia de 0 a −10? La distancia del 0 al −20 es 20; es decir, d(−20) = 20. ¿Será igual a la distancia del 0 al +20?
♥ ¿De qué otra manera podríamos expresar la distancia de un punto respecto al cero? ¿Cuál es el valor absoluto de −30 y de |+30|?
♥ ¿Cómo se suman dos o más números enteros de signos iguales? ¿Qué relación tiene con el valor absoluto?
♥ ¿Cómo explicaríamos el valor opuesto de un número entero? Menciona 2 ejemplos.
♥ ¿Se puede afirmar que el opuesto de −2 se escribe como −(−2)? Justifica tu respuesta.
♥ ¿Cómo explicaríamos el valor absoluto de un número entero? Menciona dos ejemplos.
♥ ¿Cómo realizaríamos la adición con números enteros y qué relación tendría con el valor absoluto?
♥ ¿Cómo realizaríamos la sustracción con números enteros y qué relación tendría con el valor opuesto?
♥ Plantea tres afirmaciones matemáticas sobre lo aprendido y justifica cada una con ejemplos.
6. Afianza tus aprendizajes
Propósito: empleamos diversas estrategias para realizar operaciones con números enteros. Asimismo, justificamos las operaciones mediante ejemplos y propiedades, y corregimos los procedimientos si hubiera errores.
Situación significativa A · Diferencia de goles
Luego de la cuarta fecha de un torneo de fútbol, en la tabla de posiciones un equipo lleva 3 goles a favor (GF) y 4 en contra (GC). En la quinta fecha, convirtió 2 goles, pero recibió 5 en contra. ¿Cuál será su nueva diferencia de goles (DG)?
Resolución
Cuarta fecha (interpretamos con números enteros):
Goles a favor (GF): +3 · Goles en contra (GC): −4
DG = (+3) + (−4). Como los signos son diferentes, se restan los valores absolutos (4 − 3 = 1) y se conserva el signo del sumando de mayor valor absoluto (−4):
(+3) + (−4) = −1
Quinta fecha (actualizamos los datos):
GF: (+3) + (+2) = +5
GC: (−4) + (−5) = −9 (signos iguales: se suman los valores absolutos y se conserva el signo)
Nueva DG: (+5) + (−9) = −4
Responde:
1. Describe el procedimiento que se realizó para responder la pregunta de la situación significativa.
2. En la sexta fecha el equipo convirtió 5 goles y recibió 3. ¿Cuál será la nueva diferencia de goles?
Situación significativa B · El globo meteorológico
La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 °C por cada 300 metros, aproximadamente. Un globo meteorológico registra una temperatura de −90 °C, en un momento en que la temperatura a nivel del suelo es de 18 °C. ¿A qué altura se encuentra el globo?
Resolución
♥ Cada vez que el globo asciende 300 m, la temperatura disminuye 9 °C.
♥ Calculamos cuánto bajó la temperatura desde los 18 °C del suelo hasta los −90 °C. Para restar, sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo:
(−90) − (+18) = (−90) + (−18) = −108
♥ El signo negativo indica que la temperatura disminuyó 108 °C.
♥ ¿Cuántas disminuciones de 9 °C hay en 108 °C? → 108 ÷ 9 = 12
♥ Altura: 300 m × 12 = 3 600 m
Respuesta: el globo se encuentra a 3 600 m de altura.
Responde:
1. Describe el procedimiento realizado para responder la pregunta de la situación significativa.
2. Al observar que la temperatura de 3 °C bajo cero varía a 1 °C bajo cero, Julia afirma que la temperatura disminuye. ¿Es correcta la afirmación de Julia? Justifica tu respuesta.
Resumen: operaciones con números enteros
☺ Suma de números enteros
♦ Tienes S/ 12 y te dan S/ 5, entonces tienes S/ 17: +12 + 5 = +17
♦ Debes S/ 12 y gastas S/ 5, entonces acumulas una deuda de S/ 17: −12 − 5 = −17
♦ Tienes S/ 12 pero debes S/ 5, entonces te quedan S/ 7: −5 + 12 = +7
♦ Debes S/ 12 y tienes S/ 5, entonces aún debes S/ 7: −12 + 5 = −7
Suma de tres o más enteros
Puedes hacerlo de dos maneras:
1) De izquierda a derecha: se suman los dos primeros y al resultado se le suma el siguiente.
+8 − 5 + 2 = +3 + 2 = +5
+8 − 5 + 2 − 6 = +3 − 4 = −1 (con 4 sumandos, de dos en dos)
2) Agrupando: se suman por un lado los positivos (lo que tengo) y por otro los negativos (lo que debo).
−12 + 19 − 4 = +19 − 16 = +3
+8 − 5 + 2 − 3 = +10 − 8 = +2
Actividades propuestas (suma)
1. Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas:
a) +9 + 5 b) (−6) + (−3) c) +7 + (−4) d) (−8) + 10
2. Halla el resultado de las siguientes sumas:
a) (+12) + (+5) + (−4) b) (−8) + (−2) + (−10) c) (−15) + (−4) + (+9) d) (−3) + (+11)
3. Efectúa estas operaciones:
a) (+8) + (+2) + (−2) b) (−14) + (−7) + (−11) c) (−7) + (−2) + (+6) d) (−5) + (+2)
☺ Resta de números enteros
(+12) − (+7) = (+12) + Op(+7) = (+12) + (−7) = +5
(+12) − (−7) = (+12) + Op(−7) = (+12) + (+7) = +19
(−12) − (+7) = (−12) + Op(+7) = (−12) + (−7) = −19
(−12) − (−7) = (−12) + Op(−7) = (−12) + (+7) = −5
El signo menos delante de un paréntesis cambia los signos de los números que hay dentro. Lo comprobamos de dos formas:
♦ Calculando primero el paréntesis: (+12) − ((−4) + 7) = (+12) − (+3) = +9
♦ Cambiando primero los signos: (+12) − ((−4) + 7) = (+12) + ((+4) + (−7)) = (+12) + (−3) = +9
Expresiones sencillas con paréntesis
El signo + indica suma o número positivo; el signo − indica resta o número negativo. Para escribir «sumar al 8 el número −3» no es correcto escribir 8 + −3; lo correcto es 8 + (−3). Del mismo modo, «restar al 7 el número −3» se escribe 7 − (−3), no 7 − −3.
Actividades propuestas (resta y problemas)
1. Un autobús comienza el viaje con 45 pasajeros. En la primera parada se bajan 7 y se suben 12. En la segunda se bajan 10 y se suben 8, y en la tercera se bajan 4. ¿Cuántos pasajeros hay en el autobús?
2. Un avión vuela a 4 000 m de altura y un submarino está sumergido a 60 m. ¿Qué distancia en metros les separa?
3. El emperador romano Augusto nació el 23 de septiembre del año 63 a. C. y murió el 19 de agosto del año 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?
4. Expresa el número 10 como suma y resta de tres números enteros.
5. Expresa el número cero como suma y resta de cuatro números enteros.
Autoevaluación
Competencia: Resuelve problemas de cantidad.
| Criterios de evaluación | Lo logré | Estoy en proceso de lograrlo | ¿Qué puedo hacer para mejorar mis aprendizajes? |
|---|---|---|---|
| Identifico los datos del problema y los relaciono entre sí. | |||
| Transformo las relaciones encontradas a expresiones numéricas que incluyen operaciones de adición y sustracción con números enteros. | |||
| Expreso con representaciones y lenguaje numérico mi comprensión sobre la adición y sustracción con números enteros. | |||
| Empleo estrategias y procedimientos diversos para realizar operaciones de adición y sustracción con números enteros. | |||
| Planteo afirmaciones sobre la adición y sustracción con números enteros, y las justifico con ejemplos. |
Solucionario
Intenta resolver primero por tu cuenta. Despliega cada bloque para comprobar tus respuestas.
Tablas de ingresos y egresos familiares
| Descripción | Cantidad | Valor unitario | Valor total |
|---|---|---|---|
| Sueldo de la mamá | 2 | + S/ 750 | + S/ 1 500 |
| Sueldo del papá | 2 | + S/ 750 | + S/ 1 500 |
| Venta de cuyes | 4 | + S/ 30 | + S/ 120 |
| Ingreso familiar total | + S/ 3 120 | ||
| Descripción | Cantidad | Valor unitario | Valor total |
|---|---|---|---|
| Mascarillas de tela | 6 | − S/ 10 | − S/ 60 |
| Alcohol (litros) | 3 | − S/ 10 | − S/ 30 |
| Lejía (litros) | 4 | − S/ 5 | − S/ 20 |
| Egreso familiar total | − S/ 110 | ||
Situación A · Sexta fecha
DG = (+10) + (−12) = −2
Situación B · Pregunta 2 (afirmación de Julia)
Actividades propuestas · Suma
1. a) +14 b) −9 c) +3 d) +2
2. a) +13 b) −20 c) −10 d) +8
3. a) +8 b) −32 c) −3 d) −3
Actividades propuestas · Resta y problemas
1. Autobús: 45 − 7 + 12 − 10 + 8 − 4 = 44 pasajeros.
2. Avión y submarino: 4 000 − (−60) = 4 000 + 60 = 4 060 m.
3. Augusto: con enteros, (+14) − (−63) = 77. Pero como no existe el año 0 y murió antes de su cumpleaños, vivió 75 años (casi 76). Es una buena oportunidad para discutir los límites del modelo matemático.
4. Ejemplo: 15 − 8 + 3 = 10 (hay muchas respuestas posibles).
5. Ejemplo: 5 − 3 − 7 + 5 = 0 (hay muchas respuestas posibles).
Preguntas frecuentes sobre números enteros
¿Qué son los números enteros?
Son los números positivos, los negativos y el cero: …, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, … Se representan con la letra ℤ y se ubican en la recta numérica.
¿Cómo se suman números enteros con signos diferentes?
Se restan los valores absolutos y se coloca el signo del número que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo: (+3) + (−4) = −1.
¿Cómo se restan números enteros?
Se suma al primer número el opuesto del segundo. Por ejemplo: (−90) − (+18) = (−90) + (−18) = −108.
¿Qué es el valor absoluto de un número entero?
Es la distancia de ese número al cero en la recta numérica, sin importar su signo. Por ejemplo: |−30| = 30 y |+30| = 30.
¿Cuál es el opuesto de un número entero?
Es el número que tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario. El opuesto de +20 es −20, y el opuesto de −20 es +20.
Recursos
📥 Ficha de aprendizaje en PDF (descargar aquí)
Referencias
- Adaptado de Lorente, A. (2013). Números enteros. En Matemática 1 en ESO (pp. 65–80).
- Ministerio de Educación (2020). Resolvemos Problemas. Matemática 1 Secundaria (pp. 96–97).
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