En esta ficha de aprendizaje de Matemática para 3.° de secundaria resolveremos, paso a paso, una situación significativa sobre convivencia escolar aplicando operaciones con números racionales e irracionales. Incluye las respuestas desarrolladas de cada pregunta, además de la teoría sobre los números irracionales, su representación en la recta numérica y las formas de aproximarlos (truncamiento, exceso y redondeo), con ejemplos resueltos.
Analiza la situación
Lee y analiza la siguiente situación problemática.
Por la emergencia sanitaria, muchas familias retornaron a la comunidad de San Juan, en nuestra Amazonía peruana. Las nuevas costumbres y estilos de vida se observaron en la institución educativa de la comunidad, debido a que algunos estudiantes que llegaron trasladados de la ciudad cuestionaban las formas de convivir de sus compañeros de aula. Esto generó múltiples conflictos que afectaron la convivencia, tanto entre estudiantes como en los padres de familia.
El profesor de Matemática, preocupado por esta situación, ha conformado equipos integrados por estudiantes de la ciudad y de la comunidad. Cada grupo deberá decorar con semillas de colores el borde de los regalos que se muestran en las imágenes. Estos regalos son para reconocer a los estudiantes que cumplen con los acuerdos y normas elaboradas en la actividad anterior. Se sabe que cada semilla mide 0,5 cm de largo.
¿Cuántas semillas se necesitarán para decorar el borde de todos los objetos?
Comprendemos la situación problemática
Para comprender el problema de convivencia en la comunidad de San Juan, responde las siguientes preguntas con nuestras propias palabras:
- ¿De qué manera favorece contar con normas y acuerdos para una convivencia saludable en nuestra comunidad?
- ¿Qué tipo de cantidades se presentan en las dimensiones de los regalos?
- ¿Con qué recursos contamos para resolver esta situación?
- ¿Qué nos pide calcular el problema? ¿Cómo podemos hacerlo?
Respondemos:
Contar con normas y acuerdos favorece la convivencia porque establece un marco común que todos aceptan, independientemente de si se creció en la ciudad o en la comunidad; así se reducen los malentendidos y se resuelven los conflictos con un criterio compartido, no impuesto por un solo grupo.
En las dimensiones de los regalos aparecen dos tipos de cantidades: números racionales (las medidas dadas directamente, como el radio de 3 cm del cofre o la longitud de 0,5 cm de cada semilla) y números irracionales (los que surgen al calcular circunferencias, áreas de círculos o hipotenusas, porque involucran a π o raíces no exactas).
Contamos con la calculadora, una hoja de cálculo, las fórmulas geométricas (longitud de la circunferencia, área del círculo, teorema de Pitágoras) y los datos del problema (radio del cofre = 3 cm, longitud de cada semilla = 0,5 cm).
El problema nos pide calcular el perímetro (borde) de cada regalo y dividirlo entre la longitud de una semilla (0,5 cm) para saber cuántas semillas se necesitan; luego sumamos las semillas de los tres regalos para obtener el total.
Desarrolla la situación problemática
1. Transformamos las magnitudes de los regalos en expresiones numéricas
Analiza las magnitudes y los números que identificamos en las formas de los regalos. Para ello, responde las siguientes preguntas:
- ¿Qué formas geométricas identificamos en los regalos?
- ¿Qué tipo de números identificamos en la magnitud longitud de los regalos?
- ¿Qué tipo de números identificamos en la magnitud superficie de los regalos?
Respondemos:
En el cofre identificamos un círculo (la tapa); en la escuadra, un triángulo rectángulo; y en la cortadora, una figura compuesta por lados rectos y curvos.
En la magnitud longitud encontramos números racionales (medidas dadas directamente, como el radio de 3 cm) y números irracionales (los que aparecen al calcular la circunferencia del círculo, 2πr, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo mediante el teorema de Pitágoras, cuando el resultado no es una raíz exacta).
En la magnitud superficie ocurre lo mismo: el área de una figura con lados rectos y medidas racionales suele ser racional, mientras que el área del círculo (π·r²) siempre es un número irracional, porque contiene a π.
Ahora, en una hoja de cálculo, elabora una tabla y completa los números que hemos identificado.
| Cofre | Escuadra | Cortadora | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Número racional | Número irracional | Número racional | Número irracional | Número racional | Número irracional |
| radio = 3 cm | circunferencia = 6π cm | (dato pendiente) | (dato pendiente) | (dato pendiente) | (dato pendiente) |
| área = 9π cm² | |||||
Nota: completamos la columna del cofre con los datos que sí conocemos (radio = 3 cm). Para la escuadra y la cortadora, la tabla queda abierta porque esos valores dependen de las medidas exactas de cada figura mostradas en la imagen; con esos datos se completa igual que en el ejemplo del cofre.
2. Expresamos nuestra comprensión de las operaciones con números racionales e irracionales
Recuerda que el área del círculo se calcula de la siguiente manera: π·r²
Ahora, si el radio del cofre mide 3 cm, ¿qué procedimientos y operaciones debemos emplear para calcular el área del círculo o la tapa del cofre?
Respondemos: aplicamos la fórmula A = π·r², reemplazando r por el número racional 3 cm:
A = π·(3 cm)² = 9π cm² ≈ 28,274 cm²
El resultado es un número irracional, porque es el producto de un número racional (9) por un número irracional (π).
Luego, explica los procedimientos y operaciones que podemos emplear para calcular el área de la cortadora.
Respondemos: como la cortadora combina lados rectos con una parte curva, su área se calcula sumando el área de la(s) figura(s) de lados rectos (rectángulo, triángulo, etc., con multiplicaciones de números racionales) más el área de la parte circular (que incluye π y da un resultado irracional). Para dar el resultado numérico exacto necesitamos las medidas de la cortadora que aparecen en la imagen; compártelas y completo el cálculo.
Finalmente, explica los procedimientos y operaciones que debemos emplear para calcular el tercer lado de la escuadra.
Respondemos: como la escuadra es un triángulo rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras: la hipotenusa (o el cateto faltante) se obtiene con c = √(a² + b²), donde a y b son los dos lados conocidos. El resultado será racional si a² + b² es un cuadrado perfecto (por ejemplo, 3² + 4² = 25, y √25 = 5); si no lo es, el resultado será un número irracional (como en el ejemplo de la teoría, √(2² + 1²) = √5). Con las medidas de los catetos que aparecen en tu imagen puedo darte el valor exacto.
3. Calculamos la cantidad de semillas que necesitamos para decorar los regalos
Para realizar tus cálculos, primero responde las siguientes preguntas:
- ¿Cuántos regalos tenemos en total? Justifica tu respuesta.
- ¿Qué dimensiones necesitamos conocer para decorar los bordes de los regalos? ¿Por qué?
- ¿Qué estrategias de cálculo y procedimientos de las operaciones con números racionales e irracionales podemos emplear para determinar la cantidad de semillas?
Respondemos: en total tenemos tres regalos: el cofre, la escuadra y la cortadora (uno por cada equipo de estudiantes). Necesitamos conocer el perímetro o borde de cada figura —no su área—, porque las semillas se colocan una junto a otra a lo largo del contorno.
La estrategia es: 1) calcular el perímetro de cada figura con la fórmula que le corresponde (circunferencia 2πr para el círculo, suma de lados para las figuras rectas, teorema de Pitágoras si falta un lado); 2) dividir ese perímetro entre 0,5 cm (longitud de una semilla); 3) redondear el resultado por exceso (hacia arriba), porque no podemos usar una fracción de semilla y necesitamos cubrir todo el borde.
Ejemplo resuelto con el cofre (dato conocido: radio = 3 cm):
Perímetro (circunferencia) = 2π·r = 2π·(3 cm) = 6π cm ≈ 18,850 cm
N.º de semillas = 18,850 cm ÷ 0,5 cm = 37,7 → 38 semillas (redondeando por exceso)
Para la escuadra y la cortadora, el procedimiento es el mismo; solo falta reemplazar con las medidas de sus bordes que aparecen en tus imágenes para obtener el total final de semillas de los tres regalos.
4. Formulamos afirmaciones
Formula cuatro afirmaciones para promover una buena convivencia en la comunidad y argumenta cada una empleando las operaciones con números racionales e irracionales.
Formulamos nuestras afirmaciones:
- "Cada aporte cuenta, así sea pequeño." El cofre necesita 38 semillas para decorar su borde, y ese resultado solo se logra sumando una por una todas las semillas de 0,5 cm; del mismo modo, una buena convivencia se construye con los pequeños aportes de cada estudiante, sin que ninguno sobre ni falte.
- "Lo exacto y lo aproximado pueden convivir sin problema." El radio del cofre (3 cm) es un dato exacto y racional, pero la circunferencia que se obtiene con él (6π ≈ 18,85 cm) es irracional y solo puede expresarse de forma aproximada; así como aceptamos que un resultado matemático combine ambos tipos de número, en la comunidad podemos aceptar que convivan costumbres distintas de la ciudad y del campo sin que una deba "corregir" a la otra.
- "Trabajar en equipo da resultados más precisos." Los equipos que mezclan estudiantes de la ciudad y de la comunidad logran calcular con mayor exactitud cuántas semillas necesita cada regalo, igual que una operación necesita tanto de números racionales como irracionales para representar una medida real; cuando todos aportan su forma de ver el problema, el resultado final es más completo.
- "Redondear no significa perder identidad." Cuando aproximamos √5 ≈ 2,2 no dejamos de tener el valor exacto √5, solo encontramos una forma común de expresarlo y compararlo con otros números; de la misma manera, ajustar algunas costumbres para convivir en comunidad no significa dejar de ser quienes somos, sino encontrar un lenguaje compartido con los demás.
Reflexionamos sobre nuestro aprendizaje
Es momento de reflexionar sobre lo aprendido. Estas preguntas te ayudarán:
- ¿Qué situaciones nos favorecieron para lograr el propósito de aprendizaje? ¿Cuáles nos generaron dificultades? ¿Qué hicimos para superarlas?
- ¿Cuál es la utilidad de las operaciones de los números racionales e irracionales en nuestra vida cotidiana?
Respondemos: tener un contexto real y visual (los regalos que se van a decorar) facilita comprender por qué necesitamos π o raíces cuadradas, en lugar de verlos como conceptos abstractos. La principal dificultad suele estar en decidir cuándo redondear y con cuántas cifras hacerlo; se supera revisando siempre qué pide el problema (por defecto, por exceso o redondeo) antes de dar la respuesta final.
Las operaciones con números racionales e irracionales nos sirven en la vida cotidiana para calcular materiales de construcción o decoración (como en este caso, las semillas), medir terrenos circulares, diseñar objetos, y en general, para estimar con precisión cantidades que no siempre se pueden expresar con una fracción exacta.
Autoevaluación
Competencia: Resuelve problemas de cantidad
| Criterios de evaluación | Lo logré | Estoy en proceso de lograrlo | ¿Qué puedo hacer para mejorar mis aprendizajes? |
|---|---|---|---|
| Establezco relaciones entre datos y acciones para comparar e igualar cantidades en las dimensiones de los regalos. | |||
| Transformo a expresiones numéricas (modelos) que incluyen operaciones con números racionales y algunos números irracionales, como π, e, φ. | |||
| Expreso con diversas representaciones y lenguaje numérico mi comprensión sobre las operaciones con números racionales e irracionales en las dimensiones de los regalos. | |||
| Selecciono y combino estrategias de cálculo y procedimientos diversos para realizar operaciones con racionales e irracionales, optando por los más idóneos. | |||
| Planteo afirmaciones para promover una buena convivencia y las justifico con ejemplos, contraejemplos y propiedades de las operaciones de los números racionales e irracionales. |
Recursos
Números irracionales: teoría, recta numérica y aproximaciones
Los números irracionales aparecen en la historia de las matemáticas vinculados con la geometría. Te serán útiles para determinar la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado o de un pentágono regular, calcular la longitud de una circunferencia, el área de un círculo, entre otros usos.
Conjunto de los números irracionales
Un número irracional es aquel que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Además, no se puede expresar como fracción. Los números irracionales pueden clasificarse en:
- Números irracionales algebraicos. Son aquellos que corresponden a soluciones irracionales de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, la ecuación x² = 3 tiene dos soluciones irracionales algebraicas: x₁ = √3 y x₂ = −√3.
- Números irracionales trascendentes. Son aquellos que no corresponden a soluciones de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo: π = 3,14159…
Existen también números irracionales cuya escritura decimal presenta cierta regla de formación, pero sin ser periódica. Por ejemplo: 0,101100111000…; 0,2468101214…
Representación en la recta numérica
Todo número irracional se puede representar de manera exacta o de manera aproximada en la recta numérica. Aquellos números irracionales que se expresan mediante un radical de índice 2 se pueden representar de forma exacta utilizando la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
¿Cómo hacerlo?
Representamos √5 en la recta real, de manera exacta y aproximada.
De manera exacta:
- Construimos sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de catetos 2 cm y 1 cm, ya que la hipotenusa es √(2² + 1²) = √5.
- Con centro en 0 y radio igual a la hipotenusa √5, trazamos un arco que corta a la recta en P.
- El punto P representa √5.
De manera aproximada:
- Con la calculadora hallamos √5.
- Aproximamos: √5 = 2,23606… ≈ 2,2
Aproximación de números irracionales
Entre los principales casos de aproximación tenemos:
- Aproximación por defecto o truncamiento. Consiste en eliminar las cifras a partir del orden considerado.
- Aproximación por exceso. Se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero se aumenta en una unidad la última cifra que se deja.
- Redondeo. Se observa la cifra decimal posterior a la que se quiere aproximar. Si es mayor o igual que 5, aumentamos en 1 la cifra decimal del orden a aproximar; en caso contrario, se deja igual.
¿Cómo hacerlo?
La figura (limitada por un rectángulo y una semicircunferencia) representa la superficie del jardín de Julia. ¿Cuál es el perímetro de dicha superficie? (Aproxima por defecto al milésimo).
Hallamos la longitud de la semicircunferencia y truncamos al milésimo:
Calculamos el perímetro del jardín:
30 + 21 + 30 + 32,986 = 113,986
El perímetro del jardín de Julia mide 113,986 metros.
Comprobamos nuestros aprendizajes
Propósito: expresamos con diversas representaciones y lenguaje numérico nuestra comprensión sobre las operaciones con números racionales usando redondeos o aproximaciones. Asimismo, planteamos afirmaciones sobre relaciones numéricas que descubrimos.
Situación significativa A
El reloj que se muestra está programado para dar la temperatura ambiental cada dos horas. Luis ha estado anotando las temperaturas desde la madrugada, registrándolas en la siguiente tabla:
| Hora | 4 a. m. | 6 a. m. | 8 a. m. | 10 a. m. |
| Temperatura (°C) | 15,4 | 18,5 | 26,6 | 32 |
a. ¿Cuál es el promedio de la temperatura entre las 8 y las 10 a. m.?
b. ¿Entre qué horas se produjo el mayor aumento de temperatura?
c. Se sabe que al mediodía la temperatura es el doble de la que se registra a las 6 a. m. ¿Cuál es la temperatura al mediodía?
Resolución
a. Como disponemos solo de dos datos en ese intervalo, el promedio de estas temperaturas es:
(26,6 + 32) / 2 = 29,3 °C
b. Elaboramos una tabla para apreciar los aumentos de temperatura:
| Hora | 4 a. m. | 6 a. m. | 8 a. m. | 10 a. m. |
| Temperatura (°C) | 15,4 | 18,5 | 26,6 | 32 |
| Incremento | … | 3,1 | 8,1 | 5,4 |
Por simple inspección, observamos que el mayor aumento se produjo entre las 6 y las 8 a. m.
c. Calculamos la temperatura al mediodía: 2 × 18,5 = 37 °C
Responde:
- ¿Habrá otros valores de temperatura entre las 8 y las 10 a. m.? ¿Qué pasaría con el promedio? Propón dos medidas más en el intervalo y observa qué ocurre con el promedio.
- Por lo general, ¿qué esperamos que ocurra con la temperatura entre las 6 a. m. y el mediodía? Para esta situación significativa, propón algunas temperaturas poco probables en el intervalo de 6 a 10 a. m.
Respondemos:
1. Sí, es muy probable que existan otros valores de temperatura entre las 8 y las 10 a. m., porque la temperatura cambia de manera continua y el reloj solo la registra cada dos horas. Por ejemplo, podríamos proponer 28,7 °C a las 8:40 a. m. y 30,5 °C a las 9:20 a. m. (valores intermedios coherentes con el aumento de 26,6 °C a 32 °C). Con estos datos adicionales, el promedio ya no se calcularía solo con dos valores, sino con cuatro: (26,6 + 28,7 + 30,5 + 32) ÷ 4 = 29,45 °C, un resultado más cercano a la tendencia real del cambio de temperatura.
2. Entre las 6 a. m. y el mediodía esperamos que la temperatura aumente de forma gradual y continua, ya que el sol calienta progresivamente el ambiente conforme avanza la mañana. Serían poco probables, por ejemplo, una temperatura de 10 °C a las 7 a. m. (más baja que a las 6 a. m.) o de 45 °C a las 9 a. m., porque ambos valores rompen la tendencia creciente que muestran los datos registrados.
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