Olimpiada de Matemática Fase 3 Nivel 3 ONEM 2019

XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2019)
Tercera Fase - Nivel 3

 

26 de setiembre de 2019

 

EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN NÚMERO ENTERO POSITIVO.

 

1. Una empresa de venta por internet determina el costo de envío de un paquete de la siguiente forma: si lo que has comprado pesa p kilogramos y deseas recibirlo luego de n días, el costo de envío (en soles) es:

24(p + 2) / n + 2.

Franco pidió un producto para recibirlo en dos días. Gustavo pidió dos productos (iguales a los que pidió Franco) para recibirlo en cuatro días. Si Franco pagó 1 sol más de lo que pagó Gustavo por concepto de costo de envío, ¿cuántos soles pagó Franco por el mismo concepto?

 

2. Encuentre el menor entero positivo k para el cual la siguiente proposición es falsa: “Si la suma de los dígitos de un entero positivo de seis dígitos es k, entonces al menos tres de sus dígitos son iguales”.

 

3. En la siguiente figura, ABC y ADC son triángulos rectángulos, rectos en B y D, respectivamente. Si CAD = DAB = x, AB = 7 y CD = 3, calcule el valor de 42 sen x.


4. Sean a y b dos divisores del número 3920 tales que 0 < a < b < 3920. Determine cuántos valores distintos puede tomar el máximo común divisor de a y b.

 

5. Sea ABC un triángulo rectángulo, recto en B, tal que BAC = 41◦. Sea M el punto medio del lado AC. La mediatriz del segmento AM intersecta al segmento AB en P y la mediatriz del segmento MC intersecta al segmento BC en Q. Determine la medida del ángulo BQP.

Aclaración: La mediatriz de un segmento es la recta que es perpendicular a dicho segmento y pasa por su punto medio.

 

6. Un entero positivo n es llamado aceptable si con 2n2 fichas del tipo 1 y n2 fichas del tipo 2 se puede armar un tablero de 3n × 3n (sin salirse del tablero).

Si hacemos una lista con todos los números aceptables, ordenados de menor a mayor, determine el cuarto número de la lista.

Aclaración: Considere que las fichas se pueden rotar.

 

7. Sean C = {1, 2, 3, . . . , 3000} y k el número de subconjuntos de C que tienen exactamente 1000 elementos. Determine el mayor número primo de tres dígitos que es divisor del número k.

 

8. Sean x y y números reales tales que:

x2 − xy + y2 = 5x + 6y − 13.

Determine el mayor valor posible de 8y/x.

 

9. Un conjunto finito X está formado por n números reales distintos. Se sabe que para cualesquiera dos elementos distintos a y b de X , existe un elemento c de X tal que los números a, b, c forman una progresión aritmética en algún orden. Determine el mayor valor posible de n.

 

10. Sea M el conjunto de los 64 puntos del espacio que tienen coordenadas enteras (a, b, c) tales que a, b, c {0, 1, 2, 3}. Una rana debe ir del punto (0, 0, 0) al punto (3, 3, 3) de acuerdo a las siguientes reglas:

·       Solo puede saltar a puntos de M.

·       No puede pasar más de una vez por el mismo punto.

·       En cada salto puede ir del punto (x, y, z) a uno de los puntos (x + 1, y, z), (x, y + 1, z), (x, y, z + 1) o (x, y, z − 1).

Determine el número de maneras distintas en que la rana puede lograr su objetivo y dé como respuesta la suma de los dígitos de dicho número.


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1 Comentarios

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  1. Estimados lectores, amantes de las matemáticas, pueden dejar sus soluciones a los problemas en esta sección de los comentarios.

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