Olimpiada de Matemática Fase 4 Nivel 3 ONEM 2019

XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) 2019

Cuarta Fase - Nivel 3 - 27 de octubre de 2019

1. Determine para que números enteros n ⪁ 3 es posible encontrar números enteros positivos a₁

 < a₂  < … < a_n tales que 1/a₁ + 1/a₂ + … + 1/a_n = 1 y a₁a₂ … an es un cuadrado perfecto.

2. Halle todos los números reales k que tienen la siguiente propiedad: Para cualesquiera números reales no nulos a y b se cumple que al menos uno de los siguientes números:

a; b; 5/a₂ + 6/b₃

es menor o igual que k.

3. En el trapecio ABCD, la base AB es menor que la base CD. El punto K se escoge de tal forma que AK es paralelo a BC y BK es paralelo a AD. Los puntos P y Q se escogen en los rayos AK y BK, respectivamente, de tal forma que ÐADP = ÐBCK y \BCQ = ÐADK.

a) Demuestre que las rectas AD, BC y PQ pasan por un mismo punto.

b) Suponga que las circunferencias circunscritas de los triángulos APD y BCQ se intersecan en dos puntos, demuestre que uno de esos puntos pertenece a la recta PQ.

4. Un tablero que tiene algunas de sus casillas pintadas de negro es llamado aceptable si no hay cuatro casillas negras que forman un subtablero de 2 x 2.

Halle el mayor número real l tal que para todo entero positivo n se cumple la siguiente propiedad: si un tablero de n x n es aceptable y tiene menos de ln2 casillas negras, entonces se puede pintar de negro una casilla adicional de tal forma que el tablero siga siendo aceptable.