XIX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) 2023 Etapa UGEL - Nivel 2 Fase 2
Aclaración: En todos los casos el resultado es un número entero positivo.
1. En el siguiente diagrama se muestra la preferencia de un grupo de personas respecto a tres redes sociales
Si la cantidad de personas que prefieren la red social 2 es 5 mas que la cantidad de personas que prefieren la red social 3. Determine la cantidad de personas que prefieren la red social 1.
2. Arturo, Víctor y Sandra son tres hermanos cuyas edades son 11, 13 y 16, respectivamente. Cada uno recibió 105 soles y gastó cierta cantidad de dinero, proporcional a su edad. Si la cantidad de dinero que tiene ahora Arturo es el doble de lo que tiene Sandra, ¿Cuántos soles tiene Víctor?
3. En una universidad solo hay carreras de ciencia o ingeniería. Uno de cada dos estudiantes que estudian ciencia es mujer y tres de cada diez estudiantes que estudian ingeniería son mujeres. Sabemos que la cantidad de hombres es a la cantidad de mujeres como 11 es a 7. Si la cantidad total de estudiantes es 900, determine la cantidad de mujeres que estudian ciencia.
4. El profesor le dictó un número de tres dígitos a sus alumnos. Mario se olvidó de escribir el digitó de las unidades y obtuvo un número de dos dígitos que es 2/21 del número correcto. Rodolfo se olvidó de escribir el dígito de las decenas y obtuvo un número de dos dígitos que es 3/28 del número correcto. Encuentre el número que dictó el profesor.
5. Un juego consiste en 10 cajas con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 limones, respectivamente. Cada vez que Gladys coloca una moneda en el juego, los limones de dos cajas se juntan en una sola caja y se aumenta un limón a esta unión. Gladys recibe un premio si todas las cajas llegan a tener la misma cantidad de limones. Determine la menor cantidad de monedas que debe gastar Gladys para poder obtener un premio.
6. Sea ABCD un rectángulo de área 80. Sean M y N puntos de los lados CD y AD, respectivamente tales que las áreas de los triángulos ABN y BCM son 30 y 20, respectivamente. Halle el área del triangulo BMN.
7. En un grupo de 10 niños cada uno escogió un entero positivo y lo escribió en una tarjeta. A cada uno de los 10 niños se le hizo la pregunta: “¿Cuál es la suma de los otros 9 números?” Los nueve primeros niños respondieron 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120, 121, 122 y el décimo niño respondió un número que ya había dicho uno de los niños anteriores, ¿Cuál fue la respuesta del décimo niño?
8. Los números del 1 al 9 son distribuidos aleatoriamente en las casillas de un tablero de 3 × 3 (uno por casilla). Sean a, b y c los números de tres dígitos formados por los números de la primera, segunda y tercera fila, respectivamente, leídos de izquierda a derecha. Por ejemplo en
tenemos que a = 129, b = 546 y c = 783. Sea p la probabilidad de que a > b > c. Determine el valor de 120p.
9. Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que AB = 12, AD = 10, BC = CD, ∠BAD = 30◦ y ∠BCD = 90°. Determine el valor de AC^2
10. Encuentre la cantidad de enteros positivos n, menores que 110, que tienen exactamente 8 divisores positivos y, además, la suma de ellos es igual a 2n + 12.