Prueba de la XIX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática Etapa DRE - Nivel 1 Fase 3
En todos los casos el resultado es un número entero positivo.
1. Luego de un estudio estadístico se ha determinado el promedio de edad de una persona que escucha cada uno de los siguientes géneros:
|
Género |
Edad Promedio |
|
Pop |
30 años |
|
Rock |
40 años |
|
Reggaetón |
24 años |
Una aplicación de música estima la edad de una persona de la siguiente forma: calcula qué porcentaje del tiempo de uso de la aplicación esta persona escucha cada género y multiplica cada porcentaje por la edad promedio, luego, suma los resultados para obtener la edad estimada de la persona. Por ejemplo, si una persona escucha 40 % de Rock y 60 % de Pop su edad estimada es 40 % × 40 + 60 % × 30 = 34. Determine la edad estimada de una persona que escucha 40 % de Pop, 25 % de Reggaeton y 35 % de Rock.
2. Un colegio tiene cierto presupuesto para comprar computadoras. Si se decide comprar 8 computadoras, sobrar´ıa la décima parte del presupuesto. Además, se sabe que har´ıan falta 520 soles para poder comprar 9 computadoras. ¿Cuántos soles cuesta una computadora?
3. Tengo dos perritos: Timmy y Taco. Cada uno tiene una porción de comida establecida según su peso. Pero a veces, por confusión, intercambian sus comidas. Cuando esto sucede Taco come 20 % menos de lo normal y Timmy come m % más de lo normal. Calcule el valor de m.
4. Encuentre el mayor n´umero natural que est´a formado por cuatro d´ıgitos distintos y tiene la propiedad de que el producto de dos de sus d´ıgitos es igual al producto de los otros dos d´ıgitos.
5. Un triángulo T cumple las siguientes dos propiedades:
- Considerando sus tres ángulos, uno de ellos es el doble de otro.
- Considerando sus tres ángulos, uno de ellos es el triple de otro.
Si el menor valor posible de la medida del mayor ángulo de T es n◦, calcule el valor de n.
6. La amplitud de un n´umero natural se define como la diferencia entre su mayor dígito y su menor d´ıgito. Por ejemplo, el número 22 tiene amplitud 0, el n´umero 649 tiene amplitud 5 y el n´umero 1008 tiene amplitud 8.
Sea A un n´umero natural de tres dígitos que tiene amplitud 0, B también es un n´umero natural de tres dígitos que tiene amplitud 0 y C es un n´umero natural de cuatro dígitos que tiene amplitud 1. Si A + B = C, determine el mayor valor posible de C.
7. En la siguiente figura se muestra el octágono regular ABCDEF GH. El punto P es un punto de la diagonal AE tal que las áreas de los triángulos ABP y BP C son 5 y 6, respectivamente. Calcule la diferencia de las áreas del pentágono AP F GH y el tri´angulo P F E.
8. En algunas casillas del tablero de 8×8 mostrado se va a colocar una moneda, de tal manera que cada fila, cada columna y cada una de las dos diagonales del tablero contenga exactamente una moneda. Determine cuántas monedas puede haber como m´ınimo en las casillas sombreadas:
9. Se tiene cuatro cajas que tienen 101, 104, 116 y 164 piedras, respectivamente. Una operación consiste en retirar simultáneamente 1 piedra de una caja y dos piedras de otra caja. ¿Cuántas operaciones se debe hacer como m´ınimo para conseguir que las cuatro cajas tengan la misma cantidad de piedras?
10. En cada casilla de un tablero de 3 × 3 se escribe un entero positivo, de tal manera que los nueve números son distintos. Se sabe que al multiplicar los tres n´umeros de cada fila, cada columna y cada diagonal se obtiene el mismo n´umero, es decir, los ocho productos son iguales. Si uno de los números del tablero es 2023, determine el menor valor posible del n´umero que debe ser escrito en el centro del tablero.
