¿Cuándo se dice que una función es cuadrática?

Nos proponemos

Reconocer una función cuadrática en situaciones de la vida diaria para distinguir una función cuadrática de las funciones lineales y afines, tanto de forma gráfica como algebraica.

Empecemos con un caso de la construcción

En la imagen, se puede ver el puente de la bahía de Sídney, en Australia, visto desde el mar. Observe la fotografía.

 Ahora, responda:

1. ¿Es simétrica la estructura? Si es así, trace en la imagen el eje de simetría.

2. ¿Cuál es el punto más alto del puente?, ¿este punto pertenece al eje de simetría?

3. Si la curva del puente pudiera proyectarse bajo el mar, ¿cómo cree que continuaría? Explique.

Si se relaciona la línea horizontal del puente, donde transitan los vehículos, con el eje X, se pueden ubicar algunos puntos que representen los del puente para identificar cuál es la función asociada a la curva de la imagen.

4. Escriba las coordenadas de los puntos anteriores en la tabla. Luego, verifiquen que son puntos de la gráfica de la función f(x) = – 2/25x^2 + 2.

5. Esboce la gráfica de la función en el gráfico anterior. ¿Cómo podría describir esta curva?

6. ¿Con cuáles puntos de la gráfica se puede relacionar la ecuación f(x) = – 2/25x^2 + 2 = 0? Justifica.

7. ¿Cómo se puede interpretar el punto más alto del puente en el contexto de la función f(x)? Explica.

Veamos Matemática e historia sobre las Secciones cónicas

Se les llama cónicas a cuatro curvas planas: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas, formadas mediante la intersección de un cono circular recto con un plano, siempre que este plano no pase por el vértice del cono.

Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección resultante es una circunferencia. Si el plano está ligeramente inclinado, el resultado es una elipse. Si el plano es paralelo al costado del cono, se produce una parábola. Si el plano corta ambas extensiones del cono, produce una hipérbola.

Realicemos las Actividades

1. Las siguientes construcciones presentan formas parabólicas.

Parábola A

Parábola B

¿Qué características posee cada una de estas parábolas?

a. Realiza un bosquejo de la parábola presente en ambas situaciones.

b. Determina si cada parábola es cóncava o convexa.

A: _________________ B: ____________________

c. En cada caso, traza el eje de simetría de la parábola y marca el punto de intersección entre el eje de simetría y la parábola. Dicho punto se conoce como vértice de la parábola.

d. Luego, determina si el vértice de la parábola es un punto mínimo o máximo según su posición.

En A el vértice es un punto _______ y en B es un punto _____________.

Conoce los términos tratados

Parábola: corresponde a la gráfica de una función cuadrática. Se dice que una parábola es cóncava (o también cóncava hacia arriba) si se abre hacia arriba y que es convexa (o también cóncava hacia abajo) cuando se abre hacia abajo.

El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza su eje de simetría.

Conclusiones

• Se dice que una función es cuadrática cuando se puede escribir de la forma: f(x ) = a x^2  + bx + c , con a, b, c ∈ ℝ y a ≠ 0. Se puede distinguir el término cuadrático a x^2 , el término lineal bx y el término independiente c.

• La gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, curva simétrica que se observa en la figura. Una parábola se dice cóncava hacia arriba si la curva se abre hacia arriba y cóncava hacia abajo si se abre hacia abajo.

• Toda parábola posee un punto máximo o mínimo llamado vértice, por donde pasa el eje de simetría de la parábola. Este punto será máximo cuando la parábola es cóncava hacia abajo y mínimo cuando es cóncava hacia arriba.