Definición de Función lineal

Definición de función

Consideremos a los conjuntos no vacíos A y B y una relación F subconjunto de AxB: La relación binaria F es una función de A en B si y sólo si verifica simultáneamente las siguientes condiciones: 

1. Condición de existencia. Para cada x que pertenece a A, Existe un único elemento que pertenece a B tal que (x;y) pertenece a F.

2. Condición de unicidad. Sea (x;y) que pertenece a F y (x;z) que pertenece a F, entonces y = z.

Una función es un conjunto de pares ordenados tales que dos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente.

Definición de una función real de variable real

Dada la función F: A ➡ B. si los conjuntos de partida A y de llegada B son subconjuntos del conjunto de los números reales se dirá que F es una función real de variable real, debido a ello F tendrá una representación grafica la cual es un conjunto de puntos en el plano RxR (plano xoy) generado al establecer la relación de correspondencia unívoca existente entre la variable independiente x y su imagen la variable dependiente y, es decir:

F = {(x;y) Ì RxR / x Ì  Dom(F) ^ y = F(x)}

La igualda mostrada: y = F(x) nos expresa la regla de correspondencia de la función real F, es evidente notar que: Dom(F) Ì  R ^ Ran(F) Ì  R.

Teorema

Una realcion F Ì  RxR es una función real de variable real si y sólo si toda recta vertical corta a la gráfica de F en un solo punto.

Funcion lineal

Es una función polinomial de primer grado. Su regla de correspondencia está dada por: y = F(x) = mx + b. Donde “m” y “b” son constantes y m ≠ 0.

Su dominio es Dom(F) = R, su rango es Ran(F) = R y su gráfica viene dada por:

Observación:

Al coeficiente “m” se le denomina pendiente de la recta generada por la ecuación: y = mx + b, cumpliéndose lo siguiente: tg(α) = m. O también, la pendiente (m) es igual a (y mayor - y menor) divido por (x mayor - x menor).

Modelación de funciones lineales

Problema 1: El costo fijo de producción de turrones es de 4000 soles al mes y el costo variable de producir cada kilo es de 8 soles. ¿Cuál es el costo de producir 30 kg de turrones?

A) S/. 4000 

B) S/. 4030 

C) S/. 4240

D) S/. 4480 

E) S/. 4560

Problema 2: Cuando el precio es de S/. 90 se venden 8 sortijas y si el precio es de S/. 70 se venden 6 sortijas. Si la demanda es lineal, ¿cuántos relojes se venden si el precio de cada sortija es S/. 130?

A) 10 

B) 11 

C) 12

D) 13 

E) 14

Problema 3: Sean x e y el número de unidades de dos productos A y B. Los costos de producción de ambos son S/. 3 y S/. 5, respectivamente. Si ambos productos se venden en S/. 6 cada uno, ¿cuál es la ganancia (g) en función de x e y?

A) g(x; y) = 3x + 5y 

B) g(x; y) = 2x + 3y

C) g(x; y) = 3x + 2y

D) g(x; y) = 3x + y 

E) g(x; y) = 2x + 3

Problema 4: La sopa caliente de pasta de letras está a una temperatura de 55 ºC. Si al colocarlo en un recipiente con hielo en dos minutos llega a los 35 ºC, ¿cuál será su temperatura dentro de t minutos (t < 5)?

A) (55t + 10) ºC 

B) (55t – 10) ºC

C) (40t – 15) ºC

D) (55 – 10t) ºC 

E) (45 + 10t) ºC

Problema 5: La dosis en miligramos (mg) de antibióticos se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministran 40 mg y para cada uno de 4 kg se suministran 65 mg. Calcule la función que da la dosis de medicamentos dependiendo del peso.

A) 2x – 35 

B) 20x + 15 

C) 25x – 35

D) 25x + 10 

E) 25x – 20

Problema 6: Un diagramador en 8 horas diarias de trabajar diseña 12 páginas. Si por página le pagan 2,5 soles y por el diseño de páginas adicionales le pagan 3 soles, ¿cuánto cobra (c) si trabaja x días y en cada día diseño y páginas (y > 12)?

A) c = 2,5 xy 

B) c = 3xy

C) c = 2,5xy – 30

D) c = 3xy – 24 

E) c = 3xy – 6x

Problema 7: Un fabricante de electrodoméstico produce 3000 unidades cuando el precio es de $940 y 2200 unidades cuando el precio es de $740. Suponga que el precio P, y la cantidad de unidades producidas están relacionadas linealmente. Determina la función de oferta.

A) f(x) = x/4 + 190 

B) f(x) = 4x + 120

C) f(x) = x + 1900

D) f(x) = 2x + 400 

E) f(x) = 3x + 600

Problema 8: La función de demanda para la línea de celulares P = 1200 – 2q, en donde P es el precio por unidad cuando los consumidores demanda q unidades semanales. Determina el precio si la demanda es de 300 celulares.

A) S/. 300 

B) S/. 400 

C) S/. 500

D) S/. 550 

E) S/. 600

Problema 9: El costo (c) de procesar un kilo de cacao es de S/. 1,50 y los costos fijos por día son de y soles si para producir 500 kilos el costo es S/. 1000. ¿Cuál será el costo de producir 800 kilos en dos días?

A) S/. 1400 

B) S/. 1500 

C) S/. 1700

D) S/. 1650 

E) S/. 1800

Problema 10: Una empresa de mensajería cobra por cada paquete entregado una cantidad que depende del peso del mismo. Si por cada kilogramo cobra 12 soles, ¿cuánto se debe pagar por un paquete que pesa 10 kg?

A) 100 

B) 110 

C) 120

D) 130 

E) 140