Descubriendo el Vértice de la Función Cuadrática

Meta de Aprendizaje:

- Identificar la forma general y la forma vértice de una función cuadrática.

- Determinar las coordenadas del vértice de una función cuadrática a partir de su forma general y forma vértice.

- Interpretar el vértice como el punto máximo o mínimo de la parábola en contextos gráficos y algebraicos.

- Aplicar el concepto del vértice para resolver problemas contextualizados.

Materiales:

- Pizarra o proyector

- Marcadores o plumones

- Hojas de papel cuadriculado

- Calculadoras (opcional)

- Fichas de trabajo con las situaciones problemáticas (ver sección siguiente)

Definiciones en la Función Cuadrática:

La forma general de una función cuadrática: f(x)=ax²+bx+c.

Introduce la forma vértice de una función cuadrática: f(x)=a(x−h)²+k, donde que el punto (h;k) representa el vértice de la parábola.

Mediante la completación de cuadrados de la forma general, se deduce las fórmulas para encontrar las coordenadas del vértice:

h=−b/2a

k=f(h)=a(−b/2a)²+b(−b/2a)+c=c−4ab²

Donde 'a' en ambas formas (determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo).

Ejemplos

Ejemplos paso a paso de cómo encontrar el vértice a partir de ambas formas de la función cuadrática.

Ejemplo 1: Dada f(x)=2x² −8x+5, encontrar el vértice utilizando la fórmula.

Ejemplo 2: Dada g(x)=−3(x+1)² +4, identificar directamente el vértice.

Ficha de Aprendizaje: Situaciones Problemáticas sobre el Vértice de la Función Cuadrática

Nombre del Estudiante: ____________________________ Grado: Cuarto de Secundaria

Instrucciones: Resuelve las siguientes situaciones problemáticas mostrando tu procedimiento. Recuerda identificar la función cuadrática involucrada y utilizar el concepto del vértice para responder a la pregunta.

1. La altura (en metros) de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por la función h(t)=−5t² +20t, donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué tiempo lo hace?

2. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular utilizando 100 metros de alambre. Si el área del terreno cercado está dada por la función A(x)=x(50−x), donde x es el ancho del rectángulo, ¿cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para obtener el área máxima? ¿Cuál es esa área máxima?

3. El beneficio (en soles) de una empresa por la venta de q unidades de un producto está modelado por la función B(q)=−0.1q² +50q−1000. ¿Cuántas unidades debe vender la empresa para maximizar su beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?

4. La trayectoria de un proyectil está descrita por la ecuación y=−0.02x² +0.8x, donde x es la distancia horizontal (en metros) y y es la altura (en metros). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?

5. Dada la función cuadrática f(x)=3(x−2)² +1, identifica las coordenadas de su vértice y determina si este punto representa un máximo o un mínimo de la función.

6. Encuentra el vértice de la parábola representada por la función g(x)=−x² −6x+4. ¿La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo?

7. Un puente tiene una forma de arco parabólico que puede ser modelada por la función y=−0.01x² +0.5x, donde y es la altura del arco (en metros) a una distancia horizontal x (en metros) desde uno de sus extremos. ¿Cuál es la altura máxima del arco?

8. La temperatura T (en grados Celsius) de un objeto después de t minutos está dada por la función T(t)=0.2t² −4t+30 para 0≤t≤10. ¿En qué momento la temperatura del objeto es mínima? ¿Cuál es esa temperatura mínima?

9. Determina la ecuación de una función cuadrática cuyo vértice es el punto (−1,3) y pasa por el punto (0,5). (Pista: Utiliza la forma vértice). 

10. El costo total C(x) (en soles) para producir x unidades de un artículo está dado por la función C(x)=0.5x² −20x+500. ¿Cuántas unidades deben producirse para minimizar el costo total? ¿Cuál es el costo mínimo?