TRIÁNGULOS
INTRODUCCIÓN
EXPERIENCIA: MANIPULANDO TRIÁNGULOS
Con tiras de papel perforadas en sus extremos podemos construir un triángulo uniendo simplemente las tiras con broches latonados de patitas, como muestra la figura adjunta.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdeE76qdSrSElc_uUoi9lp0f8DLxA9JYAlbtwv-I4bkLKl10kRh04UQvcElux8G8NxYbwJLQ5tWfDzxm4JE14cA9LA87CQS7Y8HXnJhhRlLyzJ1yxjb-sfJQwP0PIxsf7nWhXl-K5IqUj6/s320-rw/MANIPULANDO+TRI%25C3%2581NGULOS.png)
Construye tus propios triángulos con
tiras de papel perforado en 6, 6 cm, así como con tiras de 12, 15 y 21 cm.
¿Es
posible construir un triángulo con tiras de 6, 9 y 18 cm? ayúdate con la figura
adjunta.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0fFMA5OYDD-2K-Qp293q2ChAqphotiRILXTu2eP4kRRyoKlByNP67R7U9Ygx6Ud6x2qF1JUBkam89LHZvNHUImwTPPT8FyVzefxybX6nxXSkgY1wU3I6LzUArWzs8vXF2Ycjk1FU3ETcs/s320-rw/Construye+tus+propios+tri%25C3%25A1ngulos.png)
DEFINICIÓN
Es
la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante
segmentos.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjI-bBeJ9Z04jvI3TIDKxOqQJ4ruM3xAwYnXduAYoJnLkiDBr5XdAGX90ZsvDzl_8LF_YDNXFq_KDrOQDWQB-p8jupjT51iFuORSHCTJWWxn84S_8-uqYW1vASBwzu7TgtpOKg8QpbqM6Vg/s0-rw/figura+geom%25C3%25A9trica.png)
ELEMENTOS
• Vértices : A,
B y C
• Lados
: AB, BC Y AC
NOTACIÓN: triángulo ABC.
REGIONES INTERIORES Y EXTERIORES A UN
TRIÁNGULO.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwxnyBvWLEy4z0MquNRMg9WnxFWZG094EQAZnDfQP1pETjWIhq_ti5ZgiShIeSIMNpIpoZk6a52YwalZpXhvA728HFci2SO-C_r4FKtUPBpLywDwFpeYoQ4XExqFvlFVXHn94UqGAlIL6s/s320-rw/REGIONES+INTERIORES+Y+EXTERIORES+A+UN+TRI%25C3%2581NGULO.png)
La región triangular es la reunión del
triángulo con todos sus puntos interiores.
ANGULOS EN UN TRIÁNGULO
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5Hoh8P3HTtjuYu704IZClFpMNVFtrJLh6YyVFxwtR_bVQ9OFnUyYx6mPQmUl71PTtgDoQguia-4DePApyDZBmNw72DItPTJuKUsNsiIKagGuWL9pHJ0IBLzHUbsg7Qoqo1qXcWq4Pvh47/s0-rw/ANGULOS+EN+UN+TRI%25C3%2581NGULO.png)
• Medida
de los ángulos
– internos: a,
b y q
– externos: g,
f y w
• Perímetro del triángulo
(2 p)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIuG9QopmQUFqNe69kEm699HRp1BVDlnqrdXGRi8wWNA8KSX0A_5u_dGM8GTlfWUwR-hdQz2cQfA8A4ivXHZPi6DTF1ijw6fJ4phZ08pW9xP6yWaNvWC0RNspN868VdXbhw51NwbIHFZMw/s0-rw/Per%25C3%25ADmetro+del+tri%25C3%25A1ngulo+%25282+p%2529.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrVtcLjQMh83HkrFSzRRFpQu1ppmqeZDmNZn027y8HP_tq8MrDFoiPIjEW6IAOhUcWFN554yQGhHAv9YWc5dTSTqChd31AEnud2YwmwD7Z9ug6aFKEcdXAdndv1nrftdyI6cnnK5Qs2Su5/s0-rw/Semiper%25C3%25ADmetro+del+tri%25C3%25A1ngulo+%2528p%2529.png)
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO
TEOREMA 1: En todo triángulo la suma de
las medidas de los ángulos internos es igual a 180°
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieKIeZw7gWdRXz7z5uWxvHvZTt9dLCAAtHCF0VIUm5MWSy8aU8hJ-H3TExvzg5Bjv37eBajMzZew8HCm66oWx18j15YpvJOVKLsZNVVvPI8cTQ_aKGVxPvyeZtsFibBK9VcN-Oh6jtUZ6d/s320-rw/TEOREMA+1+En+todo+tri%25C3%25A1ngulo.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhQDnWA3VQpPTqaqR3t3WnRTxj62s8F-zsKCYHeukX9dWakB16BFnmiLwXg__XPFY-NkXxl4ExjpFbZa84Z1HxtOqy1hSOTtwLrFwfp2ZOB9WGB-nSvwhuMTfREcRmReBEiToBzyOFvGxN/s320-rw/TEOREMA+1+En+todo+tri%25C3%25A1ngulo+OBSERVACION.png)
TEOREMA 2: En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos exteriores no adyacentes a él.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqnoJ5YS2rxOdk_gxlmoVLXQNT51QlHHDNNT2RYGNHlUNEmV8vBvvvGLnqXvTA-kTeGueqAvVavVav7jCpQf9CsmrG2RoMtsyYZ01c1GqRC9-9ZS0soPHB0WVEf453nsD8QtJeBn7ro2xs/s320-rw/TEOREMA+2+En+todo+tri%25C3%25A1ngulo+la+medida.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFllO_KU1f9VtTOrPtFPS_rf9BHfPeH5ekLn-E4BVbk3qar67XZ-kJGJ-3DkqlHv2A-ei0fSZOqjxu5L27KCV_cv93ls-a3D9Txv8umvZRAxu2MRtdId5xLiKT6RkHlgnutw9_mboJA4o-/s320-rw/TEOREMA+2+En+todo+tri%25C3%25A1ngulo+la+medida+OBSERVACION.png)
TEOREMA 3: En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos externos tomados uno por vértice es igual a 360°.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9OqJcgJ3HBlTFwGZtMXKTqagNwJ4AcXa9LZwfA3r9h5rBtKhNvJjjuxYZbFe8On0LjghTXeSVKkFdVi-Zb0Iggv9fzURtSZVS5hKyXI_ZOpgpMQqTTDVKDG-BVK0jxPei_SHh-gsGJS_S/s320-rw/TEOREMA+3+En+todo+tri%25C3%25A1ngulo+la+suma+de+las+medidas.png)
TEOREMA 4: En todo triángulo al lado mayor de longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjH3rvTcFqE0bTbxZRAzHc4ai9fKre-QAYDb7rkYDNSAhwoNO9WzgOthFX2yE9vHvyHBoLhOofreqXqy41ZlaniNbUS_7-k5GYInmYH-BjMmjLYVpkwc30Mh6b6hNejp0T9tu8DO69zqPEh/s320-rw/TEOREMA+4+En+todo+tri%25C3%25A1ngulo+al+lado+mayor+de+longitud.png)
TEOREMA 5: En todo triángulo la longitud de uno de sus
lados es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que
la suma de las mismas.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMD5tL0h6u_BORbmFw6tus5kki0lp3w6b9NEqgRPTZ23OTDF_gOERUKf82ksAwwNszQMdHFMmQsIuBZVeSd2DgkjI7fRiF4bWSfGdtc47jHvbPVexAeidjjsBZ-6Z_j-X-4mI7K5Bb2GGB/s320-rw/TEOREMA+5++En+todo+tri%25C3%25A1ngulo+la+longitud+de+uno+de+sus+lados.png)
PROPIEDADES ADICIONALES
1. En
la figura se demuestra:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3HKLcv5vSE6W4OyJG6a6m19rMq-yIosng-kqn8Oo9b64WhrkvMx4wUmU8PAU7mNg55p2mUW1tkKuYVTU7Gnanh1h27wNno7wmcwu95esojlQF4a51lkkwETAYbOgDViNIsnKX_qFxFf4F/s0-rw/En+la+figura+se+demuestra+1.png)
2. En la figura se demuestra:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQkCuWgrPQXJ6IVoYbCTzESXS949JCzHwE3ayunrKPMNEOXJ418MHOK3R2aNoHC9hqhavKOJTI6OeK2-5bSSCgWTOZw8n_bJTE2-n9fRGWMIBEB3mw5pb84uVzJ6XUrLd3ETkAK5lwNUce/s0-rw/En+la+figura+se+demuestra+2.png)
3. En la figura se demuestra:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZx-4VTeaSqnVfBYzEfSmcDtSj_r0I3tWQ45fWiMooMicbVXXiPbLvPZTGIVdsEsd9cGHnBIokjdlhYU6BHVY5qIRoFiQU7auPP4WIJf-OQiTBnDcEeLrdP-DtujVf57lBDCTFPxOUYN8Y/s320-rw/En+la+figura+se+demuestra+3.png)
4. En la figura se demuestra:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij8Zr0jUvfNlWzPQk4H_Kzy6JA_F9hh7bEJYYRUEg6l5Km-7wmIjLShzv1Xnl1lS3cUC7_XsrqUcQKBpou4J8PP3IOOFprRLBjMPV3CLd6uWAjDWMteI8m1zusutjiU8br9q6EoNyWXd-H/s320-rw/En+la+figura+se+demuestra+4.png)
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Los
triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus ángulos o la longitud de
sus lados.
I. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS
a. Triángulo rectángulo. - Es aquel triángulo que
tiene un ángulo recto.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRa2Jg_1qBsCkEiHTE3Z70Fd_8GZvQZ5xB_f7Che0wzr5VWcCx2uDM9MQ7npi2roFEI0iQovpOUy2uC1B8FSJhgaqj56yALcwTBdqcSrs6JO3JdYrEtP9QUdlfU9ckDOYd7VyJJP2qwV5d/s320-rw/Tri%25C3%25A1ngulo+rect%25C3%25A1ngulo.png)
b. Triángulo
Oblicuángulo. - Es aquel triángulo que no tiene un ángulo recto y puede ser:
b.1. Triángulo acutángulo. - Es aquel triángulo que tiene sus ángulos interiores agudos.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjaMP6Bm2gK30lKrZnEiRx10oxp8vyIvEJYAyJvu5JmmQxa2bk4EEO-aP8L0B1IG7ejlRJuWhRX5oCZ1Ck9XwnWaPs4mAMpWJ3CY8Buzx7AzLILxEESSnrlbe0vXW68obiuxU-6UbvMo2Jq/s320-rw/Tri%25C3%25A1ngulo+acut%25C3%25A1ngulo.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSM1t153c4Rrg81qg2U3ZRcgW51CcO-OybYw7j1BMOrADl-MvtiQZu3szStM_w2d5qbkS7Yk6gVvG-NKee8bQ0JKTl1eJK9XneFXLwVzZUILGSKUDrsxDgBaZgTtOfSJ5JzyMfPJn-COpg/s0-rw/Tri%25C3%25A1ngulo+Obtus%25C3%25A1ngulo.png)
II. SEGÚN LA LONGITUD DE
SUS LADOS
a. Triángulo
Escaleno. - Es aquel triángulo cuyos
lados tienen diferente longitud.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg64CUDknvXeSSyE2RDkchyphenhyphenFHo_S3Lcl9QLbMGsrXqyFLaLeH7UY3fiYwxjmM4BDrFDikfgEntxwbVjv8SeZcm-lsBbk0lPJ8gkpBo5JBhubUXP0Nr7uocewxCIiREeAXQbWbZJ-gdMYFdx/s320-rw/Tri%25C3%25A1ngulo+Escaleno.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj55dxATyHfNDpkErw8_z33OvfO-VE2ICWSGZUmiJgSZDexaNNze-FK1bo8IaJ-eaRbGtZBojC_XGILGXSFCKgXOkmhx69pcU6H2Ov3CqhstwmUgitm2Aieq4s8EBEUwYmbK4hyphenhyphencppyW8Qt/s320-rw/Tri%25C3%25A1ngulo+Is%25C3%25B3sceles.png)
c. Triángulo Equilátero. - Es aquel triángulo cuyos lados son de igual longitud.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgksdHUJ-A1We6uKUUNcQAlmTz18gipkLF_ByXWzPbNrcvZuHlHuaU-T0OHDu4WYZse8T7UGIbcQOKy8Nx5Tvw7OsJpFAdFUbImZrnGCzlqwlrq3m5A4AgEqRsBuN-PTo_mvBaOZM9uKSy2/s320-rw/Tri%25C3%25A1ngulo+Equil%25C3%25A1tero.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbP-2sK3llG9kzzRSTOuqdECOTvJeLYZPpJ_8ZK_lVP79B2OzcqQBi_umF-mBfbcDY-2r8rkh_FD4ZKg-gKrYhCQLv8qBXWlQgN70mkEot34I2WkA480z05WX8pY8C3ynYBVYcNYxAzya8/s0-rw/FORMULA+1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8guRLzcuVPIEn5Vru7dASKoaPbJHnNOEWipZE0owXvvcn2jmeSfXMpu4p5E-sNrS1ayokW4PPoE5Do-qj2C71fMD0AO3QmPILXqgN_YXNvHxJjn4sD_9LK1Ukh7uxOml8ObRdFzVSqod7/s0-rw/DEMOSTRACION+2.png)
Por teorema:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbvTZ73gtVJpdxcMznZIGGn06CpI0TMzb37BdfOZmjjMNFwzvdg96ev1x-KcEt3YXxDT_4pv0KC_WSnEwBpy4s2nW1eCIqcVA2NjE_kuHhgxQ02kfAHcVn9ronUqvw3h3o9UU2nhLW9E4P/s320-rw/DEMOSTRACION+1.png)
2. Problema: En la siguiente figura demostrar que:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjO8PdRmsE7UI1trHPtLxIvEu9g7AOmbalwREkcwDzukg_VRWMRe_sWm8e9D6D58JNQyCZrBphfaI3jqUaxDe7l88rjea9SxfQjjkh7AuNfIPlUQMivS7h5BfAoiUhgEcNctLUIBse7PD5e/s0-rw/En+la+siguiente+figura+demostrar+que.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdNGxvu2575f4Wu3h06n5snMn-natWwoP854pPPUaTWRoxobG9PmKDDRqIbOQfXnKZFYLeKuSo2gMUtlGU1LAStRrxLqspzuE87s21Gd7SW3TH2uFSaJkxTatqRcWM6yo3dt20pnlC-qMM/s0-rw/En+la+siguiente+figura+demostrar+que+2.png)
Resolución:
PRACTICA
1. En la figura calcule x.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglrVUxKR2OG1fLFPJkvI2W6itOJjuERAQhDX2Q58eAhbznmGefXfos8BMNVO13YTUhUQB42TEPrP7D53mRSoV_JFAJhfJrQgIXhAJ7xoI7hPKpX4vWWtDVbsfv-v66dXF6XwXPOxCgO03H/s320-rw/PRACTICA+TRIANGULO+1.png)
Rpta.:
...............................................
2. En
la figura: AB = BC, BQ = BE. Calcule x.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6C0NQ75QspJ5XDSk4uKk9y2HlWbS7izx415CdLJ_dxFQuZ8m8PoSNpSenvEi8o2ePSaeTKzsIrDIJEN__cS94lTL1CInua1hd8xHA_9bNx6_iCciRLlCt2ac4shBgJxvsZ9VXs0efIYiM/s320-rw/PRACTICA+TRIANGULO+2.png)
Rpta.:
...............................................
3. En
la figura, a + b = 70º, calcule x si:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7qwW1jjDLQb1ym3sJysayjYFspuiqbz6YHSmHhYi37L99sAzCWOmkRFzdg7h48GpmIb-N4_dNoTFCWm7EWS3D1SrEtIjMf-1SjmPnqs6-qFoT6FxvEb6WePTFJSAMNu6vD7fI9NPzjpec/s0-rw/PRACTICA+TRIANGULO+3.png)
Rpta.:
...............................................
4. En la figura: AB = BC = AD. Calcule x.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHs-UBFhADYxvL9TyKgXvOr_toBh4rmke5ZLKCYk1nqfqVYHG7dI7GQdev4kIU6EurDkcZ65Jo0QoHWQhjhLGSrMsHAMceL4l6ZoAWRavMwl2QTuIFbJTHdDKjOXS0bu1YfswOAGOj6Hgd/s320-rw/PRACTICA+TRIANGULO+4.png)
Rpta.:
...............................................
5. En
la figura: a – b = 60º. Calcule x.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkIvXDI_WdsUnrKts1pgxNpXphemZ40a-MTYS74CY8ABNGRwKRI4Qgr2woGlH8sBMgzmf6Gu_eUPZL7cgs7iAnV-97KXkc85E70cfnyd1Cfg9hutiggpyZ8IYgFfz80ZhcVKOG5q8rQ3Bw/s0-rw/PRACTICA+TRIANGULO+5.png)
Rpta.:
...............................................
6. En
la figura, calcule el mayor valor entero de q si x + y + z > 270º.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxXATMd0yMp3XXEZ9VIGr-3TWlkSWTEWHne-GvNfFd9o5Hd0c7IpSYR0fhNWuZ9hJetSFctHPaPT5FHR2y5yw8JH3gmRjCGg_I_dIj3QErlFrMJuw5YdBNKjxOSoTdeL65RaoTtSiDHjjW/s320-rw/PRACTICA+TRIANGULO+6.png)
Rpta.: ..........................................
7. En
un triángulo ABC, AB = 2x – 1, BC = 6 – x y AC = 3x – 1. x es un número entero.
Calcule la
Rpta.: ..........................................
8. En la figura, a + b = 2q y 2(AB) + CD = 6. Calcule el mayor valor
entero de BC.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLtKgEBMuitKSHSREyHLrDLKp0zXoJfm8Tc0F4N7rdoz9fGtyxrY8tStAAv0txQZWsBKFRu7X5hzKQB9lyX_aK0r8-I-nQz4aSfNH10xs75AOEYzi2aO4yAX6QH5HbEVASXVqZIOAR0OWY/s320-rw/PRACTICA+TRIANGULO+8.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioCfi0ccVoGILBZoxiGMTsEnGoQ2KexvDd4mTHwmh9FDpXEm4OF1tgxcgkCkRkDZXAMbjauPcNXo0rBtxvGl2fKY0hm-b-4X3TIt5tW-SchAFHr5aXgAFrP2ntGiNX9RNEnlCJnvSnqTax/s320-rw/PRACTICA+TRIANGULO+9.png)
Rpta.:
...............................................
10. En la figura, calcule x.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAE7A0fAxWSJng_tn5Qv92EY7y6syQrYOqkCKQAsVqJUz8iCxG66tNhyCRWS22m2XQxZk98tS-u1nLzRZyym5o9d2mDrWoVhXiW-yT3Wdu9_XepNTRjzDKTTZ1g1v4GhBKYwHP-Mm-WlZN/s320-rw/PRACTICA+TRIANGULO+10.png)