Los Triángulos

TRIÁNGULOS

INTRODUCCIÓN


Acerca de Euclides, J. Babini en su libro Historia sucinta de la matemática, nos dice: “Casi nada se sabe de Euclides, fuera de las noticias que menciona Proclo en su resumen histórico, según el cual Euclides fue un sabio alejandrino que floreció hacia el 300 a.C., que publicó numerosas obras científicas, destacándose entre ellas los célebres elementos, cuya importancia científica y didáctica se pone en evidencia ante el hecho de que hasta hace pocos años fue considerado como sinónimo de geometría, y su extraordinaria difusión le permite rivalizar con las obras cumbres de la literatura universal: la Biblia, la Divina Comedia, el Quijote...

Los Elementos no contienen toda la geometría griega, ni es un resumen de toda ella; sin duda contiene una gran parte de la matemática que los griegos anteriores a Euclides y el propio Euclides elaboraron, pero esa parte no fue tomada al azar, sino seleccionada de acuerdo con un criterio prefijado que convierte a ese conjunto de conocimientos en un sistema. Esta tendencia al sistema es tan vigorosa en Euclides, y tan rígido es su resultado, que no sólo no se conocen Elementos posteriores a los de Euclides, sino que éstos han servido de modelo a un tipo de construcción científica, de método científico, que, usado desde entonces en la matemática, se extendió y se extiende actualmente a otros sectores científicos.

Por supuesto que los Elementos, ni por su contenido ni por su orientación, son fruto exclusivo de Euclides; su contenido proviene en gran parte de los pitagóricos y de Eudoxo, y en su orientación han influido especialmente Platón y Aristóteles. Del platonismo, del cual era adepto, Euclides tomó la independencia de la ciencia de toda finalidad práctica y por tanto la abstracción y la primacía del conocer sobre el hacer; de Aristóteles tomó el riguroso método deductivo, la separación entre principios y teoremas, y la distinción de los principios en definiciones y axiomas.

El método Euclídeo, que actualmente se prefiere denominar método axiomático, consiste en denunciar previamente los supuestos a hipótesis básicos sobre los que se construirá la ciencia, y edificar luego ésta en forma rigurosamente deductiva. Este método es de difícil realización, tanto por la elección de las hipótesis básicas como por el desarrollo deductivo, de ahí que la crítica moderna haya denunciado que en los Elementos el método axiomático no aparece revestido de todas las precauciones necesarias, ni cumple con todas las exigencias que le impone la lógica, circunstancias que evidentemente no disminuyen el mérito de Euclides de haber aplicado por primera vez, hace 23 siglos, un método fecundo para la ciencia.

Los elementos comprenden 13 libros, la mayoría de los cuales se abren con una serie de definiciones, a las que en el libro I se agregan los axiomas, que Euclides, distribuye en dos grupos: postulados y nociones comunes”.

El más conocido de los postulados es el llamado quinto postulado de Euclides, según el cual, por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela a ella y solamente una.

El libro de los Elementos, vigente aún en nuestros días, ha servido como texto único de matemáticas hasta finales del siglo XIX, momento en que aparecieron otras nuevas geometrías de la mano de Gauss, Lobatchewski, Bolyay y Riemann. Es tas geometrías, llamadas geometrías no euclidianas, se basan en la negación del quinto postulado de Euclides, si bien conservan los restantes.

Es preciso aclarar que las distintas geometrías no son contradictorias entre sí, sino complementarias. En nuestro libro nos limitaremos al estudio de la geometría euclidiana.

EXPERIENCIA: MANIPULANDO TRIÁNGULOS

Con tiras de papel perforadas en sus extremos podemos construir un triángulo uniendo simplemente las tiras con broches latonados de patitas, como muestra la figura adjunta.

Construye tus propios triángulos con tiras de papel perforado en 6, 6 cm, así como con tiras de 12, 15 y 21 cm.

     ¿Es posible construir un triángulo con tiras de 6, 9 y 18 cm? ayúdate con la figura adjunta.


DEFINICIÓN

Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.

ELEMENTOS

•   Vértices    :    A, B y C

•   Lados        :   AB, BC Y AC

NOTACIÓN:  triángulo ABC.

 

REGIONES INTERIORES Y EXTERIORES A UN TRIÁNGULO. 

La región triangular es la reunión del triángulo con todos sus puntos interiores.

 

ANGULOS EN UN TRIÁNGULO

•   Medida de los ángulos

          –   internos:   a, b y q

          –   externos:  g, f y w

     •   Perímetro del triángulo (2 p)

•          Semiperímetro del triángulo (p)

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO

TEOREMA 1: En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180°

TEOREMA 2: En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos exteriores no adyacentes a él.

 

TEOREMA 3: En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos externos tomados uno por vértice es igual a 360°.

TEOREMA 4: En todo triángulo al lado mayor de longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.

TEOREMA 5:  En todo triángulo la longitud de uno de sus lados es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas. 

PROPIEDADES ADICIONALES

 

1.  En la figura se demuestra: 


2.  En la figura se demuestra:

3.  En la figura se demuestra:


4.  En la figura se demuestra:

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

     Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus ángulos o la longitud de sus lados.

I.   SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS

     a. Triángulo rectángulo. - Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto.

b.  Triángulo Oblicuángulo. - Es aquel triángulo que no tiene un ángulo recto y puede ser:

         b.1.   Triángulo acutángulo. - Es aquel triángulo que tiene sus ángulos interiores agudos.

b.2.     Triángulo Obtusángulo. - Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso.

II. SEGÚN LA LONGITUD DE SUS LADOS

     

a. Triángulo Escaleno. -  Es aquel triángulo cuyos lados tienen diferente longitud.


           
b.         Triángulo Isósceles. -  Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.
 


c.  Triángulo Equilátero. - Es aquel triángulo cuyos lados son de igual longitud.

 


1.         En la figura demostrar que:



Demostración:                

Por teorema:



2.  Problema: En la siguiente figura demostrar que: 


 

Resolución:


PRACTICA

 

1.   En la figura calcule x.

Rpta.: ...............................................

 

 

2.   En la figura: AB = BC, BQ = BE. Calcule x.

Rpta.: ...............................................

 

 

3.   En la figura, a + b = 70º, calcule x si:

            AB = AC y DC = DE

Rpta.: ...............................................

 

 

4.   En la figura: AB = BC = AD. Calcule x.

Rpta.: ...............................................

 

5.   En la figura:  a – b = 60º. Calcule x.

Rpta.: ...............................................

 

6.   En la figura, calcule el mayor valor entero de q si  x + y + z > 270º.

     Rpta.: ..........................................

 

7.   En un triángulo ABC, AB = 2x – 1, BC = 6 – x y AC = 3x – 1. x es un número entero. Calcule la

 

     Rpta.: ..........................................

 

 

8.   En la figura, a + b = 2q y 2(AB) + CD = 6. Calcule el mayor valor entero de BC.

Rpta.:            

Rpta.: ...............................................

 

10. En la figura, calcule x.


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