Actividad 3 Representamos una función cuadrática

Actividad 03: Representamos una función cuadrática al determinar el área máxima para realizar actividades físicas.



Experiencia de aprendizaje Nº 6: Conservamos nuestra salud y el ambiente con responsabilidad.

Área: Matemática 3°

Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio.

Fecha: 01/09/2021

¿Qué aprenderé en esta actividad?

En esta actividad, utilizaremos la función cuadrática para determinar el área máxima en el que podemos realizar nuestras actividades físicas. A partir de ello, plantearemos conclusiones sobre la utilidad de la función cuadrática para determinar los espacios en los que podemos realizar actividades físicas en beneficio de nuestra vida saludable, para luego considerarlas en nuestro plan integral.

 ¿Qué realizaras para lograr esta actividad?

En esta actividad, determinarán el espacio en el que realizarán sus actividades físicas. Para ello, resolverán un problema que consiste en determinar el área rectangular máxima que se puede cercar con una cuerda de 20 m, considerando una pared como uno de los lados que no necesita cuerda. Para modelar este problema, hallarán la expresión cuadrática para el área como función dependiente de uno de los lados (X). Luego, mediante el tanteo de valores para X, en una representación tabular, determinarán el valor para el cual el área se hace máxima. Para corroborar este resultado, elaborarán la gráfica de la función en el programa GeoGebra y constatarán que las coordenadas del punto máximo de la gráfica coincidan con los valores determinados en la representación tabular.

 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

 

 Lee la siguiente información

Nuestros niveles de oxígeno en la sangre jamás habían resultado tan importantes como hasta ahora. ¿Tenía que haber una pandemia para aceptar que esa dificultad al respirar mientras caminamos no es normal? Ahora que somos más conscientes de su importancia, ¿cómo podemos aumentar estos niveles de oxígeno en la sangre?

Los especialistas nos recomiendan realizar ejercicios de forma regular, como los aeróbicos, correr, bailar o cardio, ya que aceleran la respiración y la hacen más profunda. Esto aumenta la cantidad de oxígeno en la sangre, lo que induce a que el corazón lata con mayor velocidad y aumente el flujo sanguíneo hacia los músculos y de regreso a los pulmones.

 Reflexiona

 A partir de la lectura, respondemos las siguientes interrogantes:

1.- ¿Qué actividades físicas serían las más recomendables para nuestra familia?

En la superficie podemos trotar o correr, bailar, saltar la cuerda, hacer cardio.

2.- ¿Cuál será el espacio adecuado para realizar nuestras actividades físicas?

El espacio adecuado para realizar actividades físicas de tener forma rectangular.

Reconoce un problema muy vinculado a la realidad

María, después de escuchar la información, decide adecuar un espacio contiguo a su casa para cuidar su salud, realizando ejercicios físicos y mejorar los niveles de oxígeno en la sangre. Ella considera que la superficie debe tener forma rectangular, la cual delimitará con 20 m de cuerda. Sabiendo que solo debe colocar la cuerda sobre tres lados, ya que el cuarto limita con su casa, ¿cuáles serán las dimensiones de la superficie destinada para hacer ejercicios si debe tener la máxima área? ¿Cuál será el área de dicho espacio? ¿Qué tipos de ejercicios podría realizar en el espacio delimitado por la cuerda?

Identifica los datos y relaciones que están presentes en la situación

 

1.- Hagamos una lista de datos que se encuentran en la situación.

El espacio tiene forma rectangular y La longitud de la cuerda es 20 m y delimitará a tres lados de la superficie.

2.- ¿Qué nos pide responder la situación?

Las dimensiones de la superficie y hallar el mayor área posible para que sea máxima.

3.- Establecemos relaciones entre los datos y las condiciones de la situación, a fin de encontrar la solución al problema.

Sumaremos los tres lados de la superficie, el resultado debe ser 20 metros de la cuerda, el ancho sera x y el largo, y. Para hallar el área multiplicaremos el largo por el ancho de la superficie.

4.- Realizamos la representación gráfica de la situación, en tu cuaderno.


Hacemos suposiciones o experimentamos

 

1.- Ahora vamos a suponer posibles medias que tendrían los lados del rectángulo. Debemos tener en cuenta que la longitud de la cuerda siempre debe ser 20 m.

 2.- ¿Qué valores asignarías a los lados del rectángulo? ¿Cuánto sería su área? Organizamos los valores que suponemos y completamos la siguiente tabla:

Ancho (x)

1

2

 3

4

5

6

Largo

18

16

 14

12

10

8

6

Total, de cuerda utilizada

20 m

20 m

 20 m

 20 m

 20 m

 20 m

 20 m

Área del rectángulo

18 m2

 32 m2

 42 m2

 48 m2

 50 m2

 48 m2

 42 m2

Observamos la tabla y respondemos:

¿Qué valores varían? ¿Qué valor es fijo?

Valores que varían: ancho, largo y área. Valor fijo: 20 metros de la cuerda.

¿Qué expresión algebraica nos permite obtener toda la longitud de la cuerda?

Expresión algebraica: 2x + y = 20.

¿El área máxima del rectángulo se encuentra en la tabla?

Sí. El área máxima es 50 metros cuadrados.

¿Qué medidas tienen los lados del rectángulo para que su área sea la máxima?

El ancho tiene 5 m y el largo 10 m.

Tomemos en cuenta que...

El perímetro de un rectángulo es igual en la suma de las medidas de los 4 lados. En este caso, solo se sumarán tres lados del rectángulo. Asimismo, el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la medida del largo por la medida del ancho.

Realizamos la formulación matemática

1.- ¿Qué expresión algebraica te permitirá calcular el área del rectángulo?

Área = x * y.

2.- Empleamos la expresión algebraica que nos permita obtener la medida de la cuerda y la expresión del área. Luego, planteamos un nuevo modelo que nos permita resolver el problema. ¿Cuál es la expresión algebraica que nos permite resolver el problema?

Á𝒓𝒆𝒂(𝒙)=−𝟐𝒙𝟐+𝟐𝟎𝒙.

𝒇(𝒙)=−𝟐𝒙𝟐+𝟐𝟎𝒙

3.- ¿Qué nombre recibe esta expresión matemática?

Función Cuadrática.

4.- ¿Qué magnitudes intervienen en la función? ¿Qué magnitud es la variable dependiente y la independiente?

Área y ancho del rectángulo. La variable dependiente es el área y la variable independiente es el ancho.

5.- Describe las características de la expresión.

Tiene grado 2 por ser una función polinómica, Tiene dos términos, el término cuadrático y lineal, por ende es incompleta, Posee dos coeficientes, -2 y 20, también llamados escalares o valores constantes.

Validamos la solución

1.- Asignamos nuevos valores a la medida del ancho y la reemplazaremos en la expresión de la función cuadrática, para ver si se puede obtener una mayor área del rectángulo. Probaremos con algunos valores decimales e iremos completando la tabla:

Ancho (x)

4,5

4,6

 4,7

4,8

4,9

5,0

5,1

Área del rectángulo f(x)

49,5   m2

 49,68 m2

49,82 m2

49,92 m2

49,98 m2

50 m2

49,98 m2

 

2.- A partir de los resultados obtenidos, ¿Cuánto es el área máxima del rectángulo?

El área máxima del rectángulo es 50 metros cuadrados..

3.- ¿Podemos decir que nuestro modelo es útil para calcular el área de otros rectángulos donde varía el perímetro?, ¿por qué?

El modelo servirá para calcular el área de cualquier rectángulo porque está en función de una longitud, el ancho(x).

4.- Utilizamos GeoGebra para representar gráficamente la función cuadrática, empleando el modelo obtenido en la fase de la formulación matemática. ¿Cuál es el punto máximo? ¿Qué forma tiene la gráfica?

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜=(5;50), llamado vértice (v). La gráfica tiene forma parabólica.

Para culminar, resolvemos las actividades del Cuaderno de trabajo de Matemática.

Resolvamos problemas 3 (páginas 30 y 31).

Comprobamos nuestros aprendizajes

Propósito: Seleccionamos y empleamos estrategias heurísticas, métodos gráficos, recursos y procedimientos matemáticos para determinar términos desconocidos en funciones cuadráticas. Asimismo, planteamos afirmaciones sobre el cambio que produce el signo del coeficiente cuadrático de una función cuadrática en su gráfica, las relaciones entre coeficientes y variación en la gráfica y otras relaciones que descubrimos. También justificamos y comprobamos la validez de nuestras afirmaciones mediante ejemplos o propiedades matemáticas.

Situación significativa

Jorge decidió cercar una parte de su terreno, para lo cual compro en oferta 300 m de malla. El deseo de Jorge es cercar el máximo terreno rectangular posible. ¿Cuáles serían las dimensiones del terreno cercado y que área tendría?


 Resolución

Representamos mediante un rectángulo el terreno, para plantear una ecuación relacionando los lados del terreno y, así, hallar el perímetro y el área:

Ancho del terreno: x

Largo del terreno: y

Como se conoce el perímetro, se tiene:

2x + 2y = 300

x + y = 150 ‒→ y = 150 – x

Calculamos el área: A = x . y

Reemplazamos "y": A = x(150 ‒ x)

A = x2150x

Obtenemos una función cuadrática donde el coeficiente del término cuadrático es negativo. Entonces, la gráfica de esta función será una parábola que se abre hacia abajo.

Se pide hallar el área máxima. Entonces, como estrategia utilizaremos la fórmula para hallar el vértice, ya que este punto será el valor máximo de la función; además, de A = –x2 + 150x, obtenemos a = –1, b = 150 y c = 0.

Reemplazamos y resolvemos:

Por tanto, el ancho deberá medir 75 m y el área, 5625 m2.

Respuesta: Para que Jorge pueda cercar la máxima parte de su terreno con 300 m de malla, deberá considerar un cuadrado de lado de 75 m que tendría un área de 5625 m2.

1.- Describe el procedimiento utilizado para dar respuesta a la pregunta de la situación significativa.

Se ha identificado los datos, calculo del perímetro, el área en términos del ancho y el vértice, hallando la respuesta a la situación.

2.- Por que el vértice se considera como punto o valor máximo? ¿En qué situación el vértice sería el punto o valor mínimo?

Vemos que el coeficiente del termino cuadrático es a = -1 < 0, por tanto se trata de una grafica cóncava hacia abajo. Para que el vértice tenga valor mínimo el valor del escalar del termino cuadrático debe ser a > 0.

3.- Escribe las diferencias entre área y perímetro de una figura geométrica.

El perímetro es la medida de la longitud del contorno de la figura, mientras que el área es la medida de la extensión de la superficie.

4.- ¿A que corresponden los valores a, b y c en la formula del vértice?

Los valores a, b y c corresponden a  los valores fijos de la función cuadrática.

Resolvamos problemas 4 (páginas 32 y 33).

Evaluamos nuestros avances

 

Ahora, nos autoevaluamos para reconocer nuestros avances y lo que requerimos mejorar. Coloca una “X” de acuerdo con lo que consideres. Luego, escribe las acciones que tomarás para mejorar tu aprendizaje.

Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio.

Criterios de evaluación

Lo logré

Estoy en proceso de lograrlo

¿Qué puedo hacer para mejorar mis aprendizajes?

Establecí relaciones entre datos, valores desconocidos y variación entre magnitudes y las transformé a funciones cuadráticas.

 

 

 

Evalué si la expresión algebraica que planteo representa las condiciones del problema, como los datos, términos desconocidos o variación entre dos magnitudes.

 

 

 

Expresé con representaciones gráficas, tabulares y con lenguaje algebraico mi comprensión sobre comportamiento gráfico de una función cuadrática.

 

 

 

Seleccioné y combiné estrategias, métodos, recursos y procedimientos más convenientes para representar funciones cuadráticas, según las condiciones del problema.

 

 

 


RECURSOS

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Ver la solución en video AQUI


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