La situación
Si la rutina dura cuatro semanas, ¿cuánto tiempo correrán el último día de la cuarta semana? ¿Es factible ejecutar este plan?
1. Comprende el problema
Explica el problema con tus propias palabras y responde en tu cuaderno. Intenta primero; luego abre la respuesta.
¿Qué datos identificamos en el problema?
Corren 3 días a la semana durante 4 semanas (12 días en total). El primer día corren 10 minutos y cada día siguiente un tiempo igual a 3/2 del tiempo del día anterior.
¿Qué tipo de sucesión forman los tiempos de cada día?
Una sucesión geométrica: cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante.
¿Qué información necesitamos para resolverlo?
El primer término (a1 = 10 min) y la razón geométrica (r = 3/2 = 1,5).
¿Qué nos pide calcular el problema y cómo lo hacemos?
El tiempo del día 12 (tercer día de la cuarta semana), usando el término general de la progresión. Luego debemos decidir si ese tiempo es posible de cumplir: no lo es, como veremos.
2. Identifica los datos y represéntalos
¿Cuántos días han planificado correr?
Tres días por semana, es decir, 12 días en cuatro semanas.
¿Cuánto correrán el segundo día y cómo lo calculamos?
Los 3/2 de 10 minutos. La fracción actúa como operador: 10 × 3/2 = 15 minutos.
¿Cómo varían los tiempos de un día a otro?
Cada día se multiplica el tiempo anterior por 1,5; es decir, aumenta 50 % respecto del día anterior. No se suma una cantidad fija: el aumento en minutos es cada vez mayor.
Tiempos de los 12 días (en minutos)
| Día | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Min | 10 | 15 | 22,5 | 33,75 | 50,625 | 75,94 | 113,91 | 170,86 | 256,29 | 384,43 | 576,65 | 864,98 |
Total por semana: semana 1 = 47,5 min · semana 2 ≈ 160,3 min · semana 3 ≈ 541,1 min · semana 4 ≈ 1 826,1 min (más de 30 horas de carrera en una sola semana).
3. Deduce el modelo para un día cualquiera
| Día (n) | Cálculo | Tiempo |
|---|---|---|
| 1 | 10 × 1,50 | 10 min |
| 2 | 10 × 1,51 | 15 min |
| 3 | 10 × 1,52 | 22,5 min |
| 4 | 10 × 1,53 | 33,75 min |
| … | … | … |
| n − 1 | 10 × 1,5n−2 | |
| n | 10 × 1,5n−1 |
¿Qué relación hay entre el número de términos y la razón?
El número del término disminuido en 1 es el exponente de la razón. Al multiplicar esa potencia por el primer término (10) se obtiene el término n-ésimo.
Término general de una progresión geométrica:
Comprobación con los primeros términos: a2 = 10 · (3/2)1 = 15 · a3 = 10 · (3/2)2 = 22,5 · a4 = 10 · (3/2)3 = 33,75.
Respuesta al problema: día 12
a12 = 10 · (1,5)11 ≈ 864,98 minutos, es decir, unas 14 horas y 25 minutos corriendo en un solo día. El plan no es factible.
4. Evalúa si el plan se puede ejecutar
Comparamos cada tiempo con una referencia de salud. Para personas adultas, la OMS recomienda entre 150 y 300 minutos semanales de actividad aeróbica moderada; para adolescentes, un promedio de 60 minutos diarios de actividad moderada a intensa (que incluye todo tipo de movimiento, no solo correr). Una rutina inicial razonable ronda los 30 minutos por sesión.
Día 5: a5 = 10 · 1,54 = 50,625 min
Ya supera los 30 minutos recomendados: para quien empieza a correr, es un salto exigente.
Día 8: a8 = 10 · 1,57 ≈ 170,86 min
Casi 3 horas. No es realista y está muy lejos de la referencia.
Día 10: a10 = 10 · 1,59 ≈ 384,43 min
Más de 6 horas seguidas: no es posible.
Día 12: a12 = 10 · 1,511 ≈ 864,98 min
Más de 14 horas: imposible y muy lejos de lo recomendado.
Afirmaciones que podemos plantear
- El plan solo es saludable hasta el día 4 (33,75 min), porque se acerca a los 30 minutos por sesión que se suelen recomendar. A partir del día 5 el tiempo ya supera esa referencia.
- A partir del día 7 (casi 2 horas) la carga es excesiva y aumenta el riesgo de dolor muscular y lesiones; desde el día 8 el plan es impracticable.
- Una progresión geométrica con razón 1,5 crece demasiado rápido para un entrenamiento: el cuerpo necesita aumentos graduales para adaptarse.
- Si una persona tiene sobrepeso, dolor articular o alguna condición de salud, conviene que consulte a un profesional y avance de forma gradual, porque correr genera impacto sobre huesos y articulaciones.
Importante: esta actividad es un ejercicio matemático. Antes de iniciar cualquier rutina real de ejercicio, conviene consultar con un docente de Educación Física o un profesional de la salud.
5. Compara la progresión geométrica y la aritmética
Para decidir, comparamos con un plan aritmético que empieza igual (10 min, 15 min…) pero suma 5 minutos cada día: an = 10 + 5(n − 1).
| Término | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 | a6 | … | a12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Geométrica (× 1,5) | 10 | 15 | 22,5 | 33,75 | 50,6 | 75,9 | … | 864,98 |
| Aritmética (+ 5) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | … | 65 |
¿Qué pasa con los términos de las progresiones?
Los términos de una progresión geométrica con razón mayor que 1 crecen mucho más rápido que los de una aritmética, porque en la primera se multiplica por la razón y en la segunda se suma una diferencia constante.
¿Qué decisión tomamos al comparar ambas?
Para planificar ejercicio conviene la progresión aritmética: el aumento es constante (crecimiento lineal) y el cuerpo se adapta mejor. El crecimiento geométrico es exponencial, y produce cambios bruscos que el cuerpo no tolera.
Propuesta de mejora: una razón más cercana a 1
Una progresión geométrica sí puede servir si la razón es pequeña. Con a1 = 10 y r = 1,1 (aumento de 10 % por sesión): a12 = 10 · 1,111 ≈ 28,53 minutos, un valor perfectamente razonable. Todo depende de la razón elegida.
6. Reflexiona sobre tu aprendizaje
¿Qué situaciones favorecieron tu aprendizaje, qué dificultades tuviste y qué hiciste para superarlas?
Organizar los tiempos en tablas ayuda a comprender la situación y a no equivocarse al plantear el término general; para ello hay que relacionar con cuidado los primeros términos.
¿Las progresiones geométricas ayudan a elaborar un plan de entrenamiento?
Ayudan solo cuando la razón es cercana a 1 o cuando se usan pocos días (en esta situación, hasta el día 4). Con razón 1,5 el plan deja de ser realizable muy pronto.
¿En qué otras situaciones usamos progresiones geométricas?
Interés compuesto de un préstamo o ahorro, crecimiento de poblaciones (bacterias, animales), depreciación del valor de un equipo, desintegración de sustancias radiactivas y propagación de una noticia o enfermedad.
Autoevaluación
| Criterio | Lo logré | Estoy en proceso | ¿Qué puedo hacer para mejorar? |
|---|---|---|---|
| Establezco relaciones entre datos, valores desconocidos y regularidades, y las transformo en expresiones algebraicas (modelos) que incluyen la regla de formación de una progresión geométrica. | |||
| Expreso con representaciones gráficas, simbólicas y algebraicas mi comprensión de la regla de formación de una progresión geométrica, y reconozco la diferencia entre un crecimiento aritmético y uno geométrico. | |||
| Selecciono y combino estrategias heurísticas, métodos gráficos y procedimientos matemáticos para determinar términos desconocidos. | |||
| Planteo afirmaciones sobre la relación entre la posición de un término y su regla de formación, y sobre las diferencias entre crecimientos aritméticos y geométricos. | |||
| Justifico y compruebo la validez de mis afirmaciones mediante ejemplos, propiedades matemáticas o razonamiento inductivo y deductivo. |
Preguntas frecuentes
¿Qué es una progresión geométrica?
Es una sucesión en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando el anterior por un número constante llamado razón (r).
¿Cuál es la fórmula del término general?
an = a1 · rn−1, donde a1 es el primer término y n la posición del término.
¿Cuánto corren los estudiantes el último día de la cuarta semana?
Corren a12 = 10 · 1,511 ≈ 864,98 minutos (unas 14 horas y 25 minutos), por lo que el plan no es factible.
¿En qué se diferencia una progresión aritmética de una geométrica?
En la aritmética se suma siempre la misma diferencia y el crecimiento es lineal; en la geométrica se multiplica siempre por la misma razón y el crecimiento es exponencial.
Referencias
Adaptado de Macmillan Education. (s. f.). Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas. Unidad 3.
Organización Mundial de la Salud. (2020). Directrices de la OMS sobre actividad física y hábitos sedentarios.
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