Actividad 03: Planteamos Afirmaciones Sobre la Utilidad de las Progresiones Geométricas Para Planificar Rutinas de Actividades Físicas
Competencia: Resuelve
problemas de regularidad, equivalencia y cambio.
Área: Matemática.
META:
Plantear afirmaciones sobre la utilidad de las progresiones
geométricas para planificar rutinas de actividad física.
LEE LA SIGUIENTE SITUACIÓN:
Los estudiantes de 3. ° y 4. ° de secundaria,
luego de haber planificado sus actividades físicas utilizando la progresión
aritmética, ahora están planteando una nueva rutina para correr. Luego de
discutir varias propuestas, deciden que correrán 3 días a la semana. El primer
día correrán durante 10 minutos y cada día siguiente correrán un tiempo igual a
los 3/2 del tiempo que corrieron el día anterior.
Si esta propuesta la realizarían durante cuatro
semanas, ¿en cuánto tiempo recorrerán el
último día de la cuarta semana?, ¿consideras que es factible ejecutar este plan
para correr?
Comprende el problema
Explica el
problema con tus propias palabras y responde las siguientes preguntas en el
cuaderno:
♥ ¿Qué datos identificamos en el problema?
Respuesta sugerida: Recorren 3 días a la semana, primer día correrán
durante 10 minutos, los días siguientes un tiempo igual a los 3/2 del tiempo del
día anterior.
♥ ¿Qué tipo de sucesiones se pueden formar con los
tiempos que recorrerán cada día?
Respuesta sugerida: Los tiempos de cada día al relacionarlos resulta
una sucesión geométrica.
♥ ¿Qué información o recursos necesitamos para
resolver esta situación problemática?
Respuesta sugerida: Se necesita el primer término de la progresión y
la razón geométrica.
♥ ¿Qué nos pide calcular el problema? ¿Cómo podemos
hacerlo?
Respuesta sugerida: Se pide hallar el tiempo del tercer día de la
cuarta semana y este tiempo es posible de poder realizarlo.
Identifica los datos y
represéntalos
Identifica
los tiempos que correrán los estudiantes cada día durante las 4 semanas.
♥ ¿Cuántos días han planificado correr?
Respuesta sugerida: Los estudiantes de tercero y cuarto de
secundaria han llegado a un común acuerdo de correr tres días a la semana.
♥ ¿Qué tiempo correrán el primer día?
Respuesta sugerida: Los estudiantes, por dato, el primer día
correrán un tiempo de 10 minutos.
♥
¿Cuánto tiempo correrán el segundo día? ¿Cómo calculamos ese dato?
Respuesta
sugerida: Los
estudiantes el segundo día recorren los 3/2 de 10 minutos. Para hacer el
cálculo de los tiempos se utiliza la fracción como operador que correrán a
partir del segundo día. Por lo tanto, multiplicamos 3/2 por 10 y resulta 15
minutos.
♥ ¿Cómo es la variación de los tiempos de un día a
otro?
Respuesta sugerida:
Anotamos
todos los tiempos que hemos obtenido:
10 min; 15
min; 22.5 min; 33.75 min; 50.625 min; 75.9375 min; 113.90625 min; 170.859375
min
Deduce el modelo para determinar
los tiempos en un día cualquiera
Organiza los
tiempos que correrán los estudiantes de 3.° y 4.° grado en la siguiente tabla.
|
Caminata |
||||||||||||
|
Día |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Min |
10 |
15 |
22.5 |
33.75 |
50.625 |
75.9375 |
113.90625 |
170.859375 |
256.2890625 |
384.43359375 |
576.650390625 |
864.9755859375 |
Responde las
siguientes preguntas:
♥ ¿Cómo varían los tiempos cada día?
Respuesta
sugerida:
♥ Entonces, ¿cuánto tiempo correrán los
estudiantes el día 5?
Respuesta
sugerida: El día 5 recorren 50.625 minutos.
♥ ¿Cuánto tiempo correrán el día 12?
Respuesta
sugerida: El día 12 emplean un tiempo de 864.97 minutos
aproximadamente.
Deduce el modelo para determinar
los tiempos en la semana 3 y 4
Calcula
directamente los tiempos que correrán los estudiantes cada día durante las 4
semanas. Luego, responde las preguntas.
|
DIA |
|
TIEMPO |
|
1 |
Þ |
10 min |
|
2 |
Þ |
15 min |
|
3 |
Þ |
22.5 min |
|
4 |
Þ |
33.75 min |
|
… |
Þ |
|
|
… |
Þ |
10*(1.5) n-2
|
|
n |
Þ |
10*(1.5) n-1
|
♥ ¿Cómo calculamos el primer y segundo término
utilizando la razón?
Respuesta
sugerida: El primer término lo calculamos 10*(1.5) 0 y el
segundo, 10*(1.5) 1
♥
¿Qué relación hay entre el número de términos y la razón?
Respuesta
sugerida: El número de términos, disminuido en 1, sirve como exponente de
la razón y multiplicado con 10, que es el primer término, permite hallar el
enésimo término de la progresión geométrica.
♥
Entonces, el término general an de la progresión geométrica es:
Respuesta
sugerida: an =
10*(1.5) n-1
♥
Los términos de la sucesión son:
a1
= 10; r = 3/2 = 1.5; n = 1; an = a1*(1.5) n-1
♥ Escribimos el segundo término (a2) en
función del primero:
a2 = 10 × (3/2) (2 – 1)
a2 = a1 x r (2 – 1)
♥ Escribimos el tercer término (a3) en
función del primero:
a3 = 10 × (3/2) (3 – 1)
a3 = a1 x r (3 – 1)
♥ Escribimos el cuarto término (a4) en función del
primero:
a4 = 10 × (3/2) (4 – 1)
a4 = a1 x r (4 – 1)
Evalúa la posibilidad de ejecutar
el plan de entrenamiento
Plantea
afirmaciones sobre la posibilidad de ejecutar este plan de entrenamiento.
♥ ¿Cuánto tiempo correrían los estudiantes el día
5? ¿Es posible correr durante ese tiempo? a5 = 10 x (1.5)(5 –
1) Þ a5 = 10 x (1.5)(4) Þ a5 = 33.75 minutos. Este tiempo si es prudente para poder correr ¿Por
qué? Se recomienda, para mejorar la salud y nuestro estado físico, una media de
running de 30 minutos diarios durante 5 días.
♥ ¿Cuánto
tiempo correrían los estudiantes el día 8? ¿Es posible correr durante ese
tiempo? a8 = 10 x (1.5)(7) Þ a8 = 170.86 minutos aproximadamente ¿Por qué? El tiempo se acerca a 3 horas,
lo cual es un tiempo imposible y está muy lejos de la media.
♥ ¿Cuánto
tiempo correrían los estudiantes el día 10? ¿Es posible correr durante ese
tiempo? a10 = 10 x (1.5)(9) Þ a10 = 384.43 minutos aproximadamente ¿Por qué? Son más de 5 horas, lo cual ya
no es posible.
♥ ¿Cuánto
tiempo correrían los estudiantes el último día? ¿Es posible correr durante ese
tiempo? a12 = 10 x (1.5)(11) Þ a12 = 864.98 minutos aproximadamente ¿Por qué? Son más de 14 de horas, esto es
imposible correr y está muy lejos de lo recomendado.
♥ ¿Qué
afirmaciones podemos plantear a partir de este análisis?
Podemos
afirmar lo siguiente:
-
Para que resulte saludable para la salud el tiempo apropiado es hasta el cuarto
día, ya que está cerca a la media (30 minutos diarios) que recomiendan los
especialistas.
-
Correr una hora por día mejora tu estado de ánimo y te libera de tensiones y
malestar. Tu mente estará despejada, además mejora y fortalece tu corazón, ya
que las paredes engrosan y los ventrículos crecen para bombear más sangre.
-
A partir del día 8 resulta imposible correr porque ocasiona una carga muscular
lo cual produce dolores o molestias en los músculos desde dos horas en
adelante.
-
A pesar que correr es bueno para mantenerse saludable, pero existen situaciones
que debes evitar, tal es el caso si sufres obesidad, tal actividad ocasiona un
impacto directamente en los huesos y articulaciones, y usted puede terminar con
una lesión.
Compara la sucesión geométrica y la
aritmética para tomar decisiones
Anota la sucesión geométrica que se
forma con los tiempos.
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
|
|
Þ |
Þ |
Þ |
Þ |
Þ |
Þ |
|
|
10 min |
15 min |
22.5 min |
33.75 min |
50.625 min |
75.9375 min |
… |
Anota la sucesión aritmética que se
forma con los tiempos del plan anterior.
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
|
|
Þ |
Þ |
Þ |
Þ |
Þ |
Þ |
|
|
4 min |
8 min |
12 min |
16 min |
20 min |
24 min |
… |
Responde las
siguientes preguntas.
♥ ¿Qué
pasa con los términos de las progresiones?
Respuesta sugerida: Los términos de la progresión geométrica crecen
con mayor facilidad que los de la progresión aritmética. Esto sucede porque
para la primera se multiplica la razón y para la segunda, se suma.
♥ ¿Qué
decisión podemos tomar al comparar estas dos series numéricas?
Respuesta sugerida: Podemos considerar la progresión aritmética si se
trata de realizar ejercicio físico porque el incremento tiene una relación proporcional
de causa efecto; en el otro caso, es parabólico, lo cual es un cambio brusco para
el cuerpo.
Reflexiona sobre tu aprendizaje
Responde las
siguientes preguntas en el cuaderno.
♥ ¿Qué situaciones favorecieron el logro de tu
aprendizaje? ¿Qué dificultades tuviste al desarrollar la actividad? ¿Qué
hiciste para superarlas?
Respuesta sugerida: Trabajar los tiempos en las tablas en una buena
estrategia que facilita la comprensión de la situación. Si no se hace lo
primero puede llevar a errar en el planteamiento del termino general. Pero,
para ello se tiene que relacionar de manera cuidadosa unos cuantos términos.
♥ ¿Las progresiones geométricas nos ayudan a
elaborar un plan de entrenamiento para realizar actividad física?
Respuesta sugerida: Si nos ayudan cuando tomamos pocos días, como es
el caso de la situación, hasta una semana (7 días) es realizable la actividad física;
pero, si se supera este tiempo se vuelven imposible de realizar la actividad física.
♥ ¿Es posible que los tiempos de nuestro plan de
entrenamiento aumenten en forma geométrica?
Respuesta sugerida: Si es posible que nos ayuden para hacer nuestro
plan de entrenamiento para unos pocos días.
♥ ¿En qué otras situaciones podemos hacer uso de
las progresiones geométricas?
Respuesta sugerida: Si podemos aplicar para hacer el calculo de
intereses de un préstamo financiero, para medir crecimiento poblacional de alguna
especie, en la compra de algún artículo.
Autoevaluación
|
Criterios de
evaluación |
Lo logré |
Estoy en
proceso de lograrlo |
¿Qué puedo
hacer para mejorar mis aprendizajes? |
|
Establezco
relaciones entre datos, valores desconocidos y regularidades. Transformo esas
relaciones a expresiones algebraicas (modelos) que incluyen la regla de
formación de una progresión geométrica. |
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Expreso
con diversas representaciones gráficas, simbólicas y con lenguaje algebraico,
mi comprensión sobre la regla de formación de una progresión geométrica y
reconozco la diferencia entre un crecimiento aritmético, para interpretar un
problema en su contexto. |
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Selecciono
y combino estrategias heurísticas, métodos gráficos, recursos y
procedimientos matemáticos más convenientes para determinar términos
desconocidos. |
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Planteo
afirmaciones sobre la relación entre la posición de un término y su regla de
formación en una progresión geométrica y las diferencias entre crecimientos
aritméticos y geométricos. |
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Justifico
y compruebo la validez de mis afirmaciones mediante ejemplos, propiedades
matemáticas, o razonamiento inductivo y deductivo. |
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Referencias:
-
Adaptado de Macmillan Education. (s. f.). Sucesiones. Progresiones
aritméticas y geométricas. Unidad 3.
RECURSOS
Ficha de Aprendizaje en pdf Descargar
Ficha de Aprendizaje en Word Descargar